第二十一章重积分 第二十二章曲面积分 §1第一型曲面积分 1.计算下列第一型曲面积分: (1)(x+y+z)d,其中S为上半球面 z2=a2z≥0; (2)(x2+y3)d,其中S为主体/x2+y2≤z≤1的边界曲面 ds,其中S为柱面x2+y2=R2被平面z h所截取的部分; (4)‖ roads,其中S为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分 解(1)因z=√a-x-y2,2=,:3= /1+ 从而 十y (nax+2a√a2-x2) (2)面积S由两部分S1,S2组成其中S1:z=√x2+y2,S2:z=1
§1第一型曲面积分 x2+y2≤1它们在axy面上的投影区域都是x2+y2≤1, 由极坐标变换可得 s0s22 (x2+y2)ds+(x2+y2)ds drdr 27RH 2rh 31 6x(1-x)3=3 4.计算2dS,其中S为圆锥表面的一部分 S: y= rinsing D 0≤g≤2x 这里0为常数(0<0<2) 解由于 E=x,+y?+2=sin20(cosp+ sin2)+c0s20 F=xx+yyg+x,p甲 rsinpoospsin8+ rsinooospsin8+0=0 G in+r2cos sin20+0=r'sin20 由P3s的公式(11)可得
第二十一章重积分 2ad=2∞0√P2smb-0dmlp =‖r3 ssinbcos2ardq =2xsn0o3·4a4="22in0 S2第二型曲面积分 1.计算下列第二型曲面积分 (1)y(x-z)dydz+x2ddx+(y2+x)dndy,其中S为x= y=z=0,x=y=z=a平面所围的正方体并取外侧为正向; )(x+y)dydz+(y+z)dadx+(z+x)dy,其中S是以 原点为中心,边长为2的正方体表面并取外侧正向; (3) rydz+ yzdzdr+ caddy,其中S是由平面x=y 0和x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向; (4)‖xddx,其中S是球面x2+y2+x2=1的上半部分并取外 侧为正向 (5)2ax+y2ax+x2zb,其中S是球面(x-a)2+ b)2+(z-c)2=R2并取外侧为正向 解()因y(x-z)dyz=」dyny(a-z)l .y-=2)+e2=号
§2第二型曲面积分 r2dzdr= dz[z2dr-dzx2dx=0 4(3+a)b-dy 所以原积分 (2)由对称性知只须计算其中之一即可 由于‖(x+y)dk=d,(1+y)dz-」dy,(-1+y)dz (-1+y)dy=8 故原积分=3×8=24 (3)由对称性知 原式=3x(1 dx(x-x2-xy =3x(1-x2-2(1-x)]d (4)作球坐标变换 A I=ossIn, y sinSing, 2=cosp a sin using 故dxdx=[dp.sn20sn2ggb、不 (5)由轮换对称只计算‖2adby 由z-c=±√R2-(x-a)2-(y-b)2,利用极坐标变换可得: b=工+=()0b)地
第二十一章重积分 (c -VR2(x-a)2-(y-b)2drdy rRsc 故原式 2.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面 x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量 解设流量为E,则 E=‖ kdydz+ oddo=K(+‖)ddz+ yazd 球曲球后 0+ (其中yddr利用球坐标变换计算) 3.计算第二型曲面积分 I=f(x)dxdz+g(y)dzdx+ h(z)drdy 其中S是平行六面体(0≤x≤a,0≤y≤b,0≤z≤c)表面并 取外侧,f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数 解设平行六面体在yz,z,xy平面上的投影区域分别为D ax,Dx,则有 I=2‖[f(a)-f(0)]ayz+‖[h(c)-h(0)]ddy D =[f(a)-f(0)]bc+[g(b)-g(0)]a+[h(c)-h(0)]ab 4.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x2+y2 +z2=a2,z=0的磁通量 解设磁通量为Φ,则 φ= xyz+ yazd+ addy 由轮换对称性,并利用球坐标变换,有
§3高斯公式与斯托克斯公式 zdrdy= do.acos sindo=2xa dady= 2 S3高斯公式与斯托克斯公式 1.应用高斯公式计算下列曲面积分 (1) vaduz+zh+yxa,其中S为单位球面x2+y2+ z2=1的外侧; (2)x2axz+y2dalz+x2lmdy,其中S是立方体0≤x,y z≤a的表面取外侧; (3)∮x2dydz+y2ddx+x2dry,其中S为锥面x2+y2=x2 与平面z=h所围的空间区域(0≤z≤h)的表面方向取外侧 (4)∮x3dydz+y3dadx+z23dly,其中S是单位球面x2+ z2=1的外侧; (5) prydz+ yezd+2drdy,其中S为上半球面z a2-x2-y2的外侧 NF(1)p yzdydz +zxdzdx +xydxdy (2)原式=2‖(x+y+x) drdy dr dyl (x+y+z)dz
第二十一章重积分 a十 (a2x+ a )dx= 3a4 (3)原式=2‖(x+y+z) dadda 由柱面坐标变换x=rs0,y=rsin0,z=z 0≤θ≤2π,0≤r≤h,r≤z≤h 原式=2(m+in0+)h=号h (4)原式 (x2+y2+ z2)drdy (5)原式=(1+1+1) drdy=3‖dryz 2.应用高斯公式计算三重积分 (ry yz zr)dxdydz 其中V是由x≥0,y≥0,0≤z≤1与x2+y2≤1所确定的空 间区域 解原式=是(x3x+yxh+x2mb) =[‖(1-y2)yydz+‖(1-x2)zdx+ddy 2)y x')zdz+ /1-x2 d
83高斯公式与斯托克斯公式 =(1-y3)x+11-x)+}p1 3.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分 (1)中,(y2+z2)dx+(x2+x2)dy+(x2+y2)d,其中L为x+ y+z=1与三坐标面的交线,它的走向使新围平面区域上侧在曲线的 左侧; (2),x2y3dx+山+xdk,其中L为y2+x2=1,x=y所交的 椭圆的正向; (3)中,(z-y)dx+(x-z)dy+(y-x)dz,其中L是以A(a, 0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA的方向 解(1)记L为曲面S:z=1-x-y(x≥0,y≥0,x+y≤1) 的边界,由斯托克斯公式知 原式=2‖(y-z)dydz+(x-x)dxhx+(x-y)dmdy 且(y-x)dyz=dy.(y-z)d (1-y2)]dy 同理(x-x)dax=(x-y)dady=0 故原积分=0 (2)视L为该椭圆的边界则 原式= adds+ addr+(0-3x2y2)dmy
第二十一章重积分 =-3x2y2dxdy =-3x2ydxdy=0 其中S为新交椭圆面,D是S在xy面的投影城面积为 (3)原式=(1+1)dydz+(1+1)dodx+(1+1)ddy 2 dydz+ dxdx+ drdy 4.求下列全微分的原函数 (1)yzdx xzdy +xyz (2)(x2-2yz)dx +(y2-2xz)dy +(x2-2xy)d 解(1)因d(xz)=yadx+xxdy+xydz 故原函数为:u(x,y,z)=xyz+c (2)由于d[(x3+y3+z3)-2xyz]=(x2-2yz)dz +(y2-2xz)dy+(z2-2xx)dz 故原函数为u(x,y,z)=3(x3+y3+z3)-2xyz+C 5.验证下列线积分与路线无关,并计算其值 (1)/ rdx+y'dy-z3d (2)/2.=2)dx+ xdy + zdz 其中(x1,y1,x1),(x2,y2,z2)在球面x2+y2+z2=a2上 解(1)因在Q内有 a(2+3y-121)=mx+yy-xh 所以所给路曲线积分与路线无关,从而
§3高斯公式与斯托克斯公式 原积分=,zdx+,y2d (2)在内有 +y2+22)=xdr xdy +ad √x2+y2+z2 所以所给曲线积分与路线无关,且 原式= d(√x2+ x2+y2+z2 x+y+x2,由于(x1,y1,z1)和(x2,y2,x2)在球面上 原式=0 6.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于 y=3 (xcsa+ysB+ Z cOSr)ds其中cosa,oosB,osy为 曲面S的外法线方向余弦 证因φ(xosa+yosB+ z cosr)ds xdjdz ydzdx zdrdy t ay drys 3‖ rydz=3v 故原公式成立 7.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则φ∞os(n,L)d=0 其中n为曲面S的外法线方向 证设n和L的方向余弦分别是csa,∞osB,osy和ca',cos y,则 os(n, L) 由一、二型曲面积分之间的关系可得