第八章不定积分 第八章不定积分 §1不定积分概念与基本积分公式 1.验证下列等式,并与(3)(4)两式相比照 (1)f(x)dx=f(x)+c(2)d(x)=頊(x)+c 证:(1)∵f(x)是f(x)的一个原函数 I'(x)dx= f(x)+c (2)∵|du=u+c df(x)= f(x)+c 2.求一曲线y=f(x),使得曲线上每一点(x,y)处的切线斜率为 2x,且通过点(2.5) 解设所求曲线为y=(x),则有f(x)=2x,所以(x)=2xdx x2+c,又曲线过点(2,5),从而5=22+c,得c=1,于是所求的曲线 为y=x2+1 3证明y=2gx是x|在(一∞,-)上的原函数 证当x>0时,y=,y=2=x; 当x<0时,y=-2,y=~2x= 当x=0时,gx=0存在,且等于0; 所以y=1x1(-∞<x<+∞),故y=2gmx是1x在(-∞,+ ∞)上的原函数
§1不定积分概念与基本积分公式 4.据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函 证:一般地,设x0是g(x)的第一类间断点,若G(x)是g(x)在 U(x)上的原函数,则G'(x)=g(x),x∈U(x) 从而 ling(x)=linG(x)=G.‘(x)=G(x)=g(x) 同理img(x)=g(x0),可见g(x)在x连续,矛盾 5.求下列不定积分 ()4-x+x-2)k; (2](x-1ydx ((g为正常数):()(2+39 (5)(3+5mx)dx;(6 4-4x2 3(1+x2) (7) tan2'xdx: (8)sin'xdx (9)(_2xd;(10)9g2x2dx Cosx (1)1032d;(12)√x√x√xdx (13) N1+x (14)(cos x+ sinx)2dx (15)c0x2×d×:(16)|(ex-ex)3d 解(1)原式=「(1-x+x2-x-3)d x2+1x4-3
第八章不定积分 (2)原式=(2-2k+1)d =x-xi+In IxI+c (3)原式= x2+c= x十C (4)原式=(4+2.6+9)d Ind +2X In6 In 9 2L22n3+2(6)+c (5)原式=(3 Vi-x+ sinx)dx arcsinx- cosx + c (6)原式= 3(1+x2) 3(1+x2 x- arctan+ c (7)原式=(x2x-1)dx=anx-x+c (8)原式=」2 (9)原式=「c2x-sn2x dx=I(cosx+ sinx)dx SZTL X- cOS (10)原式=「x-nxdx= = ctanx- tanx+ c (11)原式=90dt 2)原式=xdk=1号+ (13)原式=「2dx=2+
2换元积分法与分部积分法 (14)原式=」(1+2 SIn XCOS X)dx=」(1+sm2x)dkx x-方cos2x+c (15) cosx cos2xdx 2J 3x+ cosxd =-2sin 3x- sinx+c (16)(ex-e"x)3dx=le3x-e 3x-3ex+3e"xd §2换元积分法与分部积分法 1.应用换元积分法求下列不定积分 (1)cos(3x+4)dx (2)xeRox (3) )dx(6)2x+3d ()8-3dk 37-5x (9)xsinxd (10) sin2(2x+丌 (11) dx 1+cosx (12) 1+ sinx (13))cscxdx (14) √=dx (16)|dx xnx
第八章不定积分 (19 dx (2 dx (24) (26) dx x2+a2)2 (29) 30)×x+1-1 解(1)cos(3x+4)dx= (3x+4)d(3x+4) 12x2 (列2x1=级+1= (4)(1+x) (1+x)°d(1+x) (1+x)n+1 +1 In |1+x+ 1-()2
82换元积分法与分部积分法 830k=8-318+30=-8-32 dx d(7-5x) (9) sin 2xsin 3xdx=-lrcos Sx-cos(-x)ldx sinx-isin5x+c (10) ctan (2x dx 1+ sinx (sin 2+ cos 2)2 an(4-2)+c dx d() SinX stnA COs in i ta d(1 (1-x2)2 X (15) 4+x arctan +c 1+(x)2 (6)Jx= In inx+ c (17) 到3=m c
第八章不定积分 (82=(a2 1r(x2-√2)_∫x2±√2) 十c dx (19)x(1-x) (20) tanxdx=/sinr. 1+x= In 11+ I+c dcos In I cosx|+c COS X (21) as xx=(1-sin2xPdsinx=(1-2sin2x+sin'xdsinx E sin X sin 'x+sin 5x+c (2)∫-nk=∫mdk=」 sinxdx t =-In i cosx I+ in I sinx I+c= In i tanx I+c dx de d(x2-3x+8) x2-3x+8 (25)令x+1=t,则x=t-1,dx=dt (t-1)2 (x+1) dt= In I tI 23 In Ix+1+ x+12(x+1) 26. A x=tant,-2<t< 2 dx= asec 'tdt dx dt= sectde
§2换元积分法与分部积分法 In I sect tant l+c= In vx+a2+x I+c =ln1√x2+a2+x|+c (27)令x (x2+a2)2 int +c (28)令x=sint,lt<则dx=aost 「丁mam=m I(1-c0s2t)dcost (1-2c0s2t+ cost)dcost (1-x2)是 -+c (29)令x=tdx=6t5dt 6(5+t2+t2 1+1t+1 11n\t 6x-5x-2x2-6x}-3Lr x+1 (30)令√x+1=t,x=t2-1,dx=2tdt √x+1 t+1 tdt= 2tdt-4 dt x+1+1 203
第八章不定积分 4t+4ln|t+1 1-4√x+1+4ln 2.应用分部积分法求下列不定积分 (1) arcsinxdx; (2) Inxdx (7)[ln(hx)+ _1 (8)(arcsinx)2dx 9)|x23xdx;(10)√x2±adx(a>0); Aw (1)arcsin xdx= xarcsinx-xdarcsinx Arcsin- = xarcsi7x+√1-x2+c (2)Gnxdx xinx-dx= xInx-x+c (3)xcosxdx=x2dsinx =x sinx -2xsinxdx xsinx +2 xdcosx x sinx +2xcosx-2cosxdx x sinx+2xcosx-2sinx +c Lnx inx 1
§2换元积分法与分部积分法 (5)(lnx)2 inxdx 2xInx +2 dx x(Inx)2-2xlnx+2x (6) xarctanxdx 2 arctanxd(x2+1) 1(x+1)acrtanx-3 dx 2(x+ 1)acrtanx-2x+c ([(Inx)+1 ldx=un(Lnx)dx+ dx xin(inx) xIn(Inx)+ (8)(arcsinx2dx= x(arcsinx)2 Arcsin dx x(arcsinx)2+2arcsinxd v1 x(arcsinx)2+2V1-Xarcsinx-2 dx ( arcsin X)2+2√1 (9) sec'xdx= sec xdtanx =secxtanx secxtanx+(1-sec2x)secxdx secxtanx+ secxdx secxtanx+ In I secx+ tanx 1- sec'xdx #]sec xdx=(secxtanx+In I secx+tanxI)+c (10 205