§1导数的概念 第五章导数和微分 S1导数的概念 1已知直线运动方程为s=10t+5t2,分别令△t=1,0.1,0.01 求从t=4至t=4+△t,这一段时间内运动的平均速度及t=4时的 瞬时速度 解设△s是在△t时间内的运动路程,则 △s=10(t+△t)+(t+△t)2-10t-5t2=10+10+5△t 当t=4时,公=50+5△t,此即从t=4到t=4+△t之间的平 均速度 1时, 55;￥△t=0.1时△=50.5;当△t=0.01时 50.05.其瞬时速度为im公=m(50+5△z) 2.等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比试由此给出变 速旋转的角速度的定义 解设0为任一确定时刻,to到t转过的角度为△.记 △t=t-to,则在△t时间内,旋转的平均角度为a △6 若lmn△存在,则此极限可定义为变速旋转在t时刻的角速度 3.设f(x)=0,f(x0)=4,试求极限linf(xo+△x) 解由题设n1(x+△2)=122=4,面m区a2=0 故linf(xo+△x 103
第五章导数和微分 4.设f(x)= ar+b,r0时f(x)=3x2 x3,x<0 当x<0时,f(x)=-3x2,当x=0时,由f+(0)=im
81导数的概念 f-(0)=lm-x3-0=0得f(0)=0 f(x)=/3x2 ≥0 (2)当x>0时,f(x)=1,当x0 0,x<0 8.设函数f(x)= sin,z≠0 (m为正整数) 0 试问:(1)m等于何值时,f在x=0连续; (2)m等于何值时,f在x=0可导 (3)m等于何值时,f在x=0连续. 解(1)当m为任意正整数时,都有lmx"m1=0=f(0) 因此,当m为任意正整数时,f在x=0连续 (2)当m为大于1的正整数时,有linf(x)-f(0) mnxm-in1=0这时,∫在x=0处可导,且f(0)=0 当m=1时 limrm-Isin1不存在故∫在x=0不可导 (3)当m为大于2的正整数时,若x≠0,则 trams 1 nisin limf(r)=limzm-2(mzsin I )=0=f(0).故f在x=0 连续
第五章导数和微分 当m=2时,因lmg( msin I-0∞x)不存在,所以厂在x=0 不连续 9.求下列函数的稳定点 (1)f(r)=sinx -cosr (2)f(r) 解(1)f(x)=csx+sinx令osx+sinx=0 2(2x+ +y2sinc)=0即 sin(+x)=0 x=kπk∈z∴x=k丌- 为稳定点(k∈z) (2)f(x)=1-1,令1-1=0∴x=1为稳定点 10.设函数f在点x0存在左右导数试证f在点xo连续 f(x)-f(x0) 由无穷小量概念,有 x-正0 f(x)-f(x0) -工0 =f+(x0)+a,其中ima=0.于是f(x)-f(xo) =f+(x0)(x-x0)+a(x-x0)→0(x→xd),故f在xo是右连续 的同理可证f在x0是左连续的因而f在x0连续 1设g(0)=(0)=0,f(x)=地(x)ain1,x≠0 求f(0) (0 g(T)sIn g(r)sin-g(o) 1 解f()=im g(x)-g(0 sin,由于sin1是有界量 g(x)-g(0) g(0)=0,所以f(0)=0 12.设∫是定义在R上的函数,且对任何x1,x2∈R,都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),若f(0)=1证明对任何x∈R,都有 f(x)=f(r)
1导数的概念 证由于f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)对一切x1,x2∈R成立 于是对任意x∈R,有f(x)=f(x)f(0)若∫(x)≡0则结论成立 若f(x)≠0,则f(0)=1于是对任一x∈R f( f(x+△x)-f(x) △x f(x)f(△x)-f(x) △ =m(x)2-1 =f(x)m(△x)-f()=(x)f(0)=f(x) 13.证明:若f(x0)存在,则 f(x0+△x)-f( 证;mnf(z+△x)-f(x0-△x) f(xo+Ax)-f(zo)+f(xo)-f(r =f(xo)+f(x0)=2f(x0) 14.证明:若函数∫在[a,b]上连续,且f(a)=f(b)=k f+(a)·f-(b)>0,则在(a,b)内至少有一点6,使f(E)=k 证不妨设f+(a)>0f‘(b)>0.即imfx)-f(a) tmf(x)-k>0,mf(x)=(b)=m(x)一k>0;由极 限保号性质,分别存在δ1>0,62>0,使得 当x∈U+‘(a,δ1)时 f(r)- 0即∫(x)> 当x∈U·(b,)时,(x)-k>0即f(x)k,f(x2)<k 因f在[x1,x2]上连续,由介值定理知:至少存在一点 ∈(x1,x2)C(a,b),使得∫()=k
第五章导数和微分 15.(图5-1)设有一吊桥,其铁链成抛物线 型,两端系于相距100米高度相同的支柱上,铁 链之最低点在悬点下10米处,求铁链与支柱所 成之角 解取铁链最低点处切线为x轴法线为y 轴1米为单位长,则铁链方程是y=2302悬点坐 图5-1 标为A(.0)0(-5.0因y==语这 样铁链在A点的切线斜率为y(50)=3倾斜角0=am3,于是铁 链在A点与支柱的夹角是p=-0=5-atm2,在B点的夹角相同 16(图5-2)在曲线y=x3上取一点P,过 P的切线与该曲线交于Q,证明:曲线在Q处的 切线斜率恰好是在P处切线斜率的四倍 证设P点坐标为(x0,x3)Q点坐标为(x1, x)由y=3x2知y(x0)=3x,过P点曲线 的切线方程为y-x=3x6(x-x0),又Q点也 在切线上,故有x1-x=3x6(x1-x0).从而x 图5-2 =-2x0于是:y(-2x0)=12x=4y(x0) 可见曲线在Q处的切线斜率的四倍 S2求导法则 1.求下列函数在指定点的导数 (1)设f(x)=3x4+2x3+5求f(0),f(1); (2)设f(x)=,求f(0),f(x); cosT (3)设f(x)=√1+√x求f(x),f(1),f(4) 解(1)f(x)=12x3+6x2f(0)=0f(1)=18
§2求导法则 (2)f(x)=x+2xsnx,f(0)=1,f(x)=-1 cos r (3)f(x)= f(1)= 1 4√2 2.求下列函数的导数 (1)y=3x2+2 (2) (3)y =x+nr (4)y= 2 (5)y=xlog (6)y=ecos (7)y=(x2+1)(3x-1)(1-x3)(8)y tanT (9)y= 1- cosz -Inx (11)y=(vr+1)arctan inx cosr 解(1) 6 ()y=(2+x+)-(2+2n)=x2+4+ (3)y=nxx-1+n=n(xn-1+1)(4)y 1m+1 5)y=3xx+m,=3x3kgx+品 (6)y=ecosI-esinr e(oos..r) (7)y=-3x6+x5-3x4+4x3-x2+3x-1 y=-18x5+5x4-12x3+12x2-2x+3 (8)y=2sec'x-tanr (9)y=(1-cos.x)2 1-cosx -sinr 1-Inx)+-(1+hnz (10)y (1-lnx)2 2
第五章导数和微分 (11)y'=arctan.t+vI+I 2√x 2x(snx+sz)-(1+x2)( cOs.- SInC (oosr + sinx )2 1+x(oosc-sinz) cosT sinr cosT十sinx 3.求下列函数的导数 (1)y=x√1 (4)y= In(Inx) (5)y= In(sinr) (6)y=lg(x2+x+1) 7)y=ln(x+√x2+1) (8)y=In √1+x- (9)y=(sinz cosx )3 (10)y=cs34x (11)y=sin√1+x (12)y=(sinx2)3 1 (13)y=arcs例王 (14)y=( arctan3)2 (15)y (16)y= arcsin(sin'r) (17)y=e+1 (2 (22)y (23)y= sin(sin(sinz)) (24)y Sinr (25)y=(x-a1)(x-a2)2…(x-an) (26)y asier b arcsin+ binz 解(1)y=√1-x2 110
82求导法则 (2)y=3(x2-1)2·2x=6x(x2-1)2 (3)y=31+x2.2(1x)+g+x2 3(1+x2)2(1+2x-x2) (4)y= Int (5)y=Q=ootr (6)y 2x+1 (x2+x+1)hn10 (8)y=n(+x1=22=m1-√1-x ln(1-√1-x2)-hnx (9)y=3(sinz +oosr)2(oosr -sinx)=3cos2x(sinz +cosx) (10)y=30s24x·(-sin4x)·4=-6094sin8x (11)y=∞√1+ (12)y=3(sinx2)2sx2·2x=6x8x2(sinx2)2 (13)y= (-1 (15)y=- 7.1+(32:3z2=6x2 arctan (14)y=2arctanz 1-x+1+x (16)y= 2sinroosz (sing)2 sina (17)y=c2+1(18)
第五章导数和微分 sinclar (cos xInx +91) (20)Iny x lnx (xt)lnx y 又(xx)=x(lnx+1)故y=x2[x2lnx(nx+1)+x2-1 (21)y=ex·(-1)sin2x+e-2o2x:2=e-2(2o2x-in2x) [1+ 2 4 (23)y= cos[ sin(sinx)oos(sinr )cosc snT- aoT n sir ar (24)y SInT (25)y=>al(x-a) ) a t bsin.x acsr(a+bsinz)-boos.(asin+ b) (a +binz) cos. a+ binz I√a2-b2 6-1 cosx i a+ bint II cosr 4.对下列各函数计算∫(x),f(x+1),f(x-1) (1)f(x)=x3;(2)f(x+1)=x3;(3)f(x-1)=x 解(1)f(x)=3x2,f(x+1)=3(x+1)2,f(x-1)=3(x-12 112
