81一致收敛性 第十三章函数列及函数项级数 S1一致收敛性 1.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛, 并说明理由: (1)∫n(x) 々2,n=1,2,…,D=(-1,1) (2)fn(x)= 1+n2x2,n=1,2,…,D=(-∞,+∞); (n+1)x+1,0≤x≤ (3)fn(x)= +1 <x≤1 (4)fn(x)=x,n=1,2,…(i)D=[0,+∞); (i)D=[0,1000 (5)/n(x)=sinx,n=1,2,…,(i)D=[-L,L]; (i)D=(-∞,+∞) 解(1) Limon(x)=1x1=f(x)x∈D=(-1,1) lim seB Ifn(c)-f(r)1=lim sUB 1 lim =0 故 |x1,(n→∞),x∈(-1,1) (2)imfn(x)=0=f(x),x∈(-∞,+∞) 17
第十三章函数列及函数项级数 :1fn(x)-f(x)=1+n21 0 故12-230,(n→∞),x∈(-,+) (3)当x=0时, limf(0)=1 当01-1,就有fn(x)=0; lim f,(x) 0,于是在[0,1]上的极限函数为f(x) 0,00),若 318
S1一致收做性 对每一个自然数n.有1fn(x)-f(x)≤an,x∈D,则{fn}在D)上 一致收敛于∫ 证因|fn(x)-f(x)≤an,(x∈D,n=1,2,…),且an→ 0,(n→∞),所以 lim sup I fm(x)-f(x)|≤iman=0,故f(x) ),x∈D 3.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性 (1)∑ 1)!x∈[ (2)∑1x2,x∈ ∑n,1x1>r>0;(4)∑x,x∈[0, (5)∑ (-1) r+ n ,x∈(-∞,+∞); (6)∑ 解(1)Vx∈[ (n-1)! 令 =n→0(n→∞),所以∑ (2)令n(x)=(-1)”,n(x)=, (n2-1):收敛,从面∑xn1在一r,]上致收敛 则Vx∈(-∞, +∞),1∑u4(x)长≤1,(n=1,2,),又对每一个x∈(-∞, +∞),{vn(x)单调递减,且由0≤,x2 )知 vn(x)字0(n→∞),x∈(-∞,+∞),由狄利克雷判别法知 ∑ (1+x2)x在(-∞,+∞)上一致收敛 319
第十三章函数列及函数项级数 (3)当1x1≥r>0时,有,n≤n,且lmn=1.当11时,∑收敛,所以∑”在1x1≥r>1上一致收敛 当00,彐N>0,当n>N时,对一切x∈D,都有 uk(x)-S(x)N时,对任一x∈D e(x)4(x)-g(x)s(x)|=|g(x)|∑a(x)-s(x)<
§1一致收敛性 故∑g(x)u(x)在D上一致收敛于g(x)S(x) 5.若在区间Ⅰ上,对任何自然数n,1un(x)≤vn(x),证明当 ∑vn(x)在I上一致收敛时,级数∑un(x)在I也一致收敛 证因∑vn(x)在I上一致收敛,所以,Ⅴe>0,3N>0,当 n>N时,对一切x∈1和一切自然数p,都∑vn(x)|<e,从而 1n(x)≤21an(x)≤ 故∑un(x)在I上一致收敛 6.设un(x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数.证明:若 ∑un(a)与∑an(b)都绝对收敛则级数∑un(x)在[a,b]上绝对 且一致收敛 证因un(x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数,所以 1un(x)1≤|un(a)|+|an(b)1,(n=1,2,…,x∈[a,b])由 ∑|n(a)1与∑|un(b)1收敛知:∑(un(a)1+n(b)1)收 敛故∑an(x)在[a,b]上绝对并一致收敛 7.在[0,1]上定义函数列wn(x) 0 x≠1=1,2,… 证明:级数∑an(x)在[0,1]上一致收敛,但它不存在优级数 证因an+1(x)+un+2(x)+…+an+p(x) n+2 所以,当0≤x≤1时,恒有 1 n t p 0,其它点
第十三章函数列及函数项级数 an+4(x)1∠1,(n,p=1,2,…,于是Ve>0,取N=[],则 当n>N时,对一切x∈[0,1]和一切自然数p,都有 unx+k(x)0,取N=[1]+1,当n>N时,对一切x∈[-1,1]和 E 322
§1一致收敛性 一切自然数p,都有Sn+p(x)-Sn(x)|< 故所给级数在[-1,1]上一致收敛 (2)对任意自然数n取xn=y·3”∈(0,+∞),有 2 I sin|=2x0(n→∞) 所以∑2sin在(0,+∞)内不一致收敛 (3)因为 H11+(k-1)x21+k2 1+n n 。1Sn(x)-11≥ 因此所给级数在(0,+∞)内不一致收敛 (4)记un(x)=(-1),(x)=(=x)”,则 ∑a4(x)≤1,x∈[-1,0],对每一个x∈[-1,01,{vn(x)单调 递减,且(x2|≤1 →0(n→∞),即vn(x)→0( x∈[-1,0]由狄利克雷判别法知∑在[-1,0]上一致收敛 (5)记un(x)=(-1)n,vn(x)= 与(4)类似可得 在(-1,1)上一致收敛 (6)取0=3sn2,对任意自然数N存在n=N,p=N+1 ∈[0,2]使
第十三章函数列及函数项级数 4n+1(x0)+an+2(xo)+…+an+p(x0) in-N+2 2(N+1)N+22(N+1 N+1N+2 2N+1 故∑在[0,2x]上不一致收敛 9证明级数∑(-1)x(1-x)在[0,1]上绝对并一致收敛但 由其各项绝对值组成的级数在[0,1]上却不一致收敛 证易见|Rn(x)≤(1 再求函数un+1(x)=(1-x)x+在[0,1]上的最大值 由vn(x)=(n+2)z"(n+12-x),知m(x)在x=n 时达到在[0,1]上的最大值所以 1Rn(x)|≤n+2(n+ +1)n+1< n+20, lim sup,Rn(x)≤m 故∑(-1)yx(1-x)在[0,1上一致收敛对∑(-1)2(1-x)各 项绝对值组成的级数∑x(1-x)由于Sn(x)=(1-x)x =1-x imsn(x)=5(x)|1,0≤ 可见gs(x)-5(x)1=1→0(n→∞ 故所给级数在[0,1]上绝对并一致收敛,但其各项绝对值组成的
一致收敛函数列与函数项级数的性质 级数在[0,1]上却不一致收敛 10.设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)= Lnf(x),n=1,2,…,证明函数列{fn在(a,b)内一致收敛于∫ 证由于 1;()-()=1[n(x)-m(x)≤1n=12… 所以,ve>0,取N=[1]+1,则当n>N时对一切x∈( b),均有fn(x)-f(x)|0,3N >0,当n>N时,有|un(a)+un(b)1<e从而对一切x∈[a,b], 有 1un(x)-0|≤1n(a)+n(b)-01<E 故un(x)*0(n→∞),x∈[a,b],又对每一个x∈[a,b], un(x)递减,由狄氏判别法知所给级数在[a,b]上一致收敛 S2一致收敛函数列与函数项级数的性质 1.讨论下列各函数列{fn}在所定义的区间上:(a)fn与 的一致收敛性;(b)fn}是否具有定理139;13.10;1311的条件与结 论 (1)fn( x+n,x∈[0,b 2r +n
第十三章函数列及函数项级数 (2)fn(x)=x-,x∈[0,1] (3)n(x)=nxem,x∈[0,1] 解(1)(a) lim f(x)=1=f(x),x∈[0,b] Sup, I f,(x)-f(x)|= sup iw+n/≈b→0( bx十n fn(x)=v2, limfn(x)=0=g(x),r E [0, b If (x)-g(r)i= sule 故{Gn}与{fn都在[0,b]上一致收敛 (b)因{ 在[0,b]上一致收敛,且每一项都连续.所以 2x+具有定理139,13.10的条件,从而具有定理结论.又{fn} 在[0,b]上一致收敛,每一项在[O,b]上连续,所以2+2}具有定理 13.11的条件,结论 (2)(a)limf,(x)=x=f(x),x E [o, 1 a1(x)-f(x)1器/”1=1→0(m→∞)所以 x-x*x(n→∞),x∈[o,n] fn(z)=1 limin (z 1,0≤x<1, 0 fn(x)的每一项在[0,1]上连续,{fn(x)的极限函数在[0,1] 上不连续,故{fn(x)}在[0,1]上不一致收敛 (b)因{fn}在[0,1]上一致收敛,且每一个项连续,所以{fn(x) 具有定理13.9,13.10的条件,从而具有定理结论,由于{fn(x)在[0 1]上不一致收敛,所以{n}不具有定理13.11的条件.又∫(x)=x =1≠imfn(x),从而不具有定理13.10结论