精品课程《数学分析》课外训练方案 第十八章隐函数定理及其应用 基本概念 在此之前,我们所接触的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如 y=x+l, u=e(sin xy+sin y=+ sin zx) 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数,其自变量与因变量之间的对应法 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。 1、先看由一个方程F(x,y,)=0所确定的隐函数求导法以及由方程组/(x,y,=,L,)=0 所确定的隐 lG(x,y,=,)=0 函数求导法 根据复合函数求导法则,在F(x,y)两边对x求导,得到 F1+F-y=0→F,≠0时,y= 当方程中的变量多于2个时,例如,设方程F(x,y,z)=0确定了是x和y的函数,并且 关于,y的偏导数都存在,在此前,如何求,? 对F(x,y,z)=0关于x,)求导,利用链式法则 aF aFaF az aFaF az 0 (F2≠0) 0 ax az ax -8F(F2≠0) 说明 需要假定-(F)≠0, 假设是很重要的 C二 (2)这里只用到了“链式法则”; (3)对F(x,y,z)=0求导,只在假定z是x和y的函数的情况下,求导数,如何确定z=x(x,y) (4)不要死记公式,要掌握思想方法 2、方程组的情形 设由方程组 F(x,y,=,l,v)=0 IG(x,y, 2,u,)=0 确定了u,v是x,y,的函数:u=u(x,y,z),v=v(x,y,z)并且它们具
精品课程《数学分析》课外训练方案 1 第十八章 隐函数定理及其应用 一、基本概念 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 y x 1 , u e (sin xy sin yz sin zx) xyz = + = + + 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。 1、先看由一个方程 所确定的隐函数求导法以及由方程组 所确定的隐 函数求导法。 F(x, y,z) = 0 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 根据复合函数求导法则, 在 F(x, y) 两边对 x 求导, 得到： y X X Y y F F F + F ⋅ y = ⇒ F ≠ y = − ' ' 0 0 时， 当方程中 的变量多 于 2 个时, 例如, 设 方 程 F(x, y,z) = 0 确 定 了 z是x和y 的函数, 并且 , ? y z x z z x y ∂ ∂ ∂ ∂ 关于 ， 的偏导数都存在，在此前，如何求 对 F(x, y,z) = 0 关于x，y求导，利用链式法则： 0 ( 0); 0 ( z z F F F F z z x F F z z y F F x z x x F F x z y y z z 0) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = ⇒ = − ≠ + = ⇒ = − ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 说明： （1）求 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , 需要假定 ( ) ≠ 0, ∂ ∂ Fz z F ，这一假设是很重要的； （2）这里只用到了“链式法则”； （3）对 F(x, y,z) = 0求导，只在假定 z是x和y 的函数的情况下，求导数，如何确定 z = z(x, y) 。 （4） 不要死记公式，要掌握思想方法。 2、方程组的情形 设由方程组 确定了 ： ⎩ ⎨ ⎧ = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v u,v是x, y,z的函数 u = u(x, y,z), v = v(x, y,z) 并且它们具
精品课程《数学分析》课外训练方案 有对各个变元的连续偏导数,如何求偏导数? F2 F. F 解决方案:F+FU2+FF1=0 GG G+GU+Gv=0 F F (≠0) 求U,V及U,V的方法与求Ux,Vx完全相同 、隐函数存在定理 定理1(隐函数存在定理)设二元函数F(x,y)满足下列条件: ()在矩形区域D={(x,y)x-x0,当x∈O1(x0时有F(x,f(x)=0,并且y0=f(x) (2)On(x连续:(3)O2(x有连续的导数。 注:(1)定理的几何意义:条件(1)表明曲面z=F(x,y)是光滑的;条件(2)表明曲面和坐标平面=0 有一个交点,条件(3)(不妨设F(x0,y)>0)表明在(x,y00)的附近,对固定的x,设y为正向,曲面 是单调增加的。定理的结论是:在点(x0,y00)的附近曲面和z=0有一条唯一的光滑交线.(2)定理的结论 是局部性的,即在点(x0,y)的某个邻域内由方程F(x,y)=0可以唯一确定一个可微的隐函数。例如: F(x,y)=x+y 在点(,1)的某个邻域D1内由方程x2+y2-1=0可以确定唯一的y=√1-x2。在点的某个邻域D2内由方 程x2+y2-1=0可确定唯一的y=-1-x2.(3)定理的条件是充分的,非必要的。如上例中的函数: F(x,y)=x2+y-1=0在(-1,0)和(1,0)两点,F,=0,破坏了定理中的条件(3),从而定理失 效。从图中可以看出,对于在右邻域或左邻域内的任何一个值x,将获得两个值y: √1 唯一性条件破坏。 定理2(方程组情形的隐函数存在定理) 设(1)F(x,yu,y)和G(x,y,uv)在点P(x0,y0,u,V0)的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数:(2)
精品课程《数学分析》课外训练方案 2 有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导数？ 解决方案： ⎩ ⎨ ⎧ + + = + + = 0 0 x u x v x x u x v x G G U G V F F U F V ⇒ (≠ 0) = v v u u v v x x x G F G F G F G F U (≠ 0) = v v u u x x u y x G F G F G F G F V 求 完全相同。 U y Vy U z Vz U x Vx , 及 ， 的方法与求 , 3、隐函数存在定理 定理 1（隐函数存在定理） 设二元函数 F(x, y) 满足下列条件： 在 内连续； 在 内有连续的导数。 也即，存在 ，当 时有 ，并且 则 在 的某个领域内，由方程 可以确定唯一的函数 ， 在矩形区域 内，有关于 的连续偏导数； (2) ( ) (3) ( ) 0 ( ) ( , ( )) 0 ( ) (1) ( , ) ( , ) 0 ( ) (2) ( , ) 0 ; (3) ( , ) 0; (1) {( , ) | , } , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f O x f O x x O x F x f x y f x x y F x y y f x F x y F x y D x y x x a y y b x y y η η η > ∈ η = = = = = ≠ = − 0 ( , ,0) 0 0 x y ( , ,0) 0 0 x y z = 0有一条唯一的光滑交线.（2）定理的结论 是局部性的，即在点(x0 , y0 ) 的某个邻域内由方程 F(x, y) = 0 可以唯一确定一个可微的隐函数。例如： F(x, y) = 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某个邻域 D1内由方程 1 0 可以确定唯一的 2 2 x + y − = 2 y = 1− x 。在点的某个邻域 内由方 程 可确定唯一的 D2 1 0 2 2 x + y − = 1 . 2 y = − − x （3） 定理的条件是充分的，非必要的。如上例中的函数： F(x, y) = 1 0 在（-1，0）和（1，0）两点， 2 2 x + y − = Fy = 0 ，破坏了定理中的条件（3），从而定理失 效。从图中可以看出，对于在右邻域或左邻域内的任何一个值 x ，将获得两个值 y ： 2 y = 1− x ， 2 y = − 1− x 。 唯一性条件破坏。 定理 2（方程组情形的隐函数存在定理） 设（1） F(x, y,u,v)和G(x, y,u,v)在点P0 (x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数；（2）
精品课程《数学分析》课外训练方案 F,Fr, Fu,F F(xo,y,lo,v)=0,G(x0,yo,,v0)=0;(3)F,G关于x,y,u,v的 Jacobi矩阵 点P的秩为2。则:存在点B的一个邻域,在此邻域内由方程组F(x,y,l,v)=0,G(x,y,l,v)=0;可以 确定唯一的函数:u=l(x,y),v=v(x,y)满足 F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0 G(,, u(x, y),(x,y))=0; 并且u、v都是关于x和y存在连续偏导数。 、基本要求 1、熟练掌握并运用隐函数存在定理; 2、求函数极值。 三、基本方法 1、运用隐函数存在定理计算和证明导数的有关问题; 2、会用拉格朗日数乘法计算函数的极值 四、典型例题 例1设x2=w,y2=ln,x2=ny及∫(x,y,z)=F(u,V,),证明 xf +y +f=uF+vF +wF ww x=x(u, v, w) 证方程组{y2=m确定了函数组{y=y(u,,),先求这个函数组对各变元的偏导数,为此,对 2=(u20,v) 方程组求微分得 2xdx=wdy+rdw 2yd=wd+uh,即dy=d+ch 2-dc=vdu+udv y 2y 0 ay ay ay 将函数组代入方程∫(x,y,=)=F(,v,w),得关于变元l,v,w的方程
精品课程《数学分析》课外训练方案 3 F(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0，G(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0；（3） F，G 关于 x,y,u,v 的 Jacobi 矩阵： 在 点 的秩为 2。则：存在点 的一个邻域，在此邻域内由方程组 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x y u v x y u v G G G G F F F F , , , , , , P0 P0 F(x, y,u, v) = 0，G(x, y,u, v) = 0； 可以 确定唯一的函数：u = u(x, y), v = v(x, y) 满足： ； ， ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 = = G x y u x y v x y F x y u x y v x y 并且 u 、v 都是关于 x 和 y 存在连续偏导数。 二、基本要求 1、熟练掌握并运用隐函数存在定理； 2、求函数极值。 三、基本方法 1、运用隐函数存在定理计算和证明导数的有关问题； 2、会用拉格朗日数乘法计算函数的极值。 四、典型例题 例 1 设 x 2 = vw ， y = uw， 及 2 z = uv 2 f (x, y,z) = F(u, v,w) ，证明 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + 证 方程组 确定了函数组 ，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对 方程组求微分得 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z uv y uw x vw 2 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z u v w y y u v w x x u v w ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + zdz vdu udv ydy wdu udw xdx wdv vdw 2 2 2 ， 即 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + dv z u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 2 2 2 2 2 2 故 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ w z v z u z w y v y u y w x v x u x ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 2 2 2 0 2 2 2 0 z u z v y u y w x v x w 将函数组代入方程 f (x, y,z) = F(u, v,w) ，得关于变元u, v,w 的方程
精品课程《数学分析》课外训练方案 f(x(u,v, w),y(u,v,w),(u,v, w))=F(u, v, w) 在这方程两边分别对l,v,w求偏导,得 F F ax fa+f+f=F 将上面三式分别乘以l,v,w后再相加,得 ∫+2+f+f2+f+f uF+vE+wF 将x2=w,y2=,2=m代入即得xx+y,+1=Fn+vF,+wF 例2若2=f(x,y)有连续二阶偏导数,满足方程02=_a32 ax2a12=(),证明:若把==f(x,y)中y看 成x的函数,则它满足同样形状的方程yy= 证由二=∫(x,y)确定y是x,z的函数,则有=f(x,y(x,),方程两边分别对x,二求偏导,得 0 af af ay (1) af ay (1)式再分别对x,二求偏导,得 了f,2fba2f/yay ax away ax ay ax ay ax 0= f ay af ay ay af ay (4) andy az ay ax az ay axa (2)式再对z求偏导,得 0= 82f(y2+y02 (3)(5)式
精品课程《数学分析》课外训练方案 4 f (x(u, v,w), y(u, v,w),z(u, v,w)) = F(u, v,w) ， 在这方程两边分别对u, v,w 求偏导，得 x y z Fu u z f u y f u x f = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x y z Fv v z f v y f v x f = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x y z Fw w z f w y f w x f = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 将上面三式分别乘以u, v,w 后再相加，得 + + z uv f y uw f y z 2 2 z uv f x vw f x z 2 2 + y uw f x vw f x y 2 2 + + u v wFw = uF + vF + 将 x 2 = vw ， y = uw， 代入即得 2 z = uv 2 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + 。 例 2 若 z = f (x, y) 有连续二阶偏导数，满足方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ，证明：若把 z = f (x, y) 中 y 看 成 x,z 的函数，则它满足同样形状的方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 。 证 由 z = f (x, y) 确定 y 是 x,z 的函数，则有 z = f (x, y(x,z)) ，方程两边分别对 x,z 求偏导，得 x y y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 = （1） z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ 1 = （2） (1) 式再分别对 x,z 求偏导，得 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) x y y f x y y f x y x y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = (3) x z y y f z y x y y f z y x y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 2 0 （4） (2) 式再对 z 求偏导，得 2 2 2 2 2 0 ( ) z y y f z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = （5） 由（3）（5）式
精品课程《数学分析》课外训练方案 o/。(2y3=92c+1(y2+9a2y axon ax ayay af 0a f ay. af a- Oxy ax ay- ax ayay 2 af ayr af ay ax2 a=2 ay ay2 ax Oxy Ox ay2ax ayay, 2 af ay ayr af ay a-f ayay ax2 dz2 Oy ay2 ax a: axdy az ay2 ax 由(4)式 a2fay、ma a-f ay ay, af ay oXo f ayay ay- ax az ay axdz af ay2, af ay Oyr af ay, df ay ay axa= ay2 ax a- ay2 axa 04== a2 因为 a+a.3(9)2-f912@,0/@y ax az ay axa= ay2 Ox az ay2 ax az ay axa 结合(4)式得 a2y2y()2= axap)3+2可fo10,0fy ax az axay az ay ax az ay axa 885)2 2ya2y_02 ax az l=f(x,y,,1 例3设{8(,=)=0,问什么条件下是x,y的函数啊?求ancn h(二,D)=0
精品课程《数学分析》课外训练方案 5 2 2 2 2 2 ( ) z y y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y y f x y x y f z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ( ) ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = (由（5）式) ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 由（4）式 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x z y y f z y x y y f z y x y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 因为 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ，则 ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 结合（4）式得 2 2 2 2 2 ( ) y f z y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) 2 [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y f z y x y y f x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 ( ) x z y y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 即 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 。 例 3 设 ，问什么条件下u 是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t x, y 的函数啊？求 y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ,
精品课程《数学分析》课外训练方案 解当gh对各变元有连续的偏导数,且g≠0时,方程组(80=0=0可确定函数组 a(=,D) h(=,D)=0 t=y),代入u=f(xy1)即得是x,y的函数n=f(xy:()(y) l=f(x,y,2,) 对方程组{g(y,,D)=0求微分,得 h(二,D)=0 f dx+f, dy+f=+f,dt (1) dy+gd+gdt=0 h d+hdt=o 记J=8),若J≠0,由(2)(3)式 a(=,) 1-8,中8_-gh中 0 h dt g,h小 h 代入(1)得 d=J女+J,dy+ 8,h,,81h2 =4+1+g,p=+U,+8:anO O(二,1) 故 f, a(h,f) d(= 1) 注利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数,会使计算简单一些。 例4求函数∫=xz在条件x2+y2+z2=1,x+y+2=0下的极值 解令L=xy+A( 1)+(x+y+z) L =y=+27x+u=0 27y+ L.=xy+2x+=0
精品课程《数学分析》课外训练方案 6 解 当 g, h 对各变元有连续的偏导数，且 0 ( , ) ( , ) ≠ ∂ ∂ z t g h 时，方程组 可确定函数组 ，代入 即得u 是 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( , ) 0 ( , , ) 0 h z t g y z t ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) t t y z z y u = f (x, y,z,t) x, y 的函数 u = f (x, y,z( y),t( y)) 。 对方程组 求微分，得 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + + = = + + + 0 (3) 0 (2) (1) h dz h dt g dy g dz g dt du f dx f dy f dz f dt z t y z t x y z t 记 ( , ) ( , ) z t g h J ∂ ∂ = ，若 J ≠ 0 ，由（2）（3）式 J g h dy h g dy g J dz y t t y t − = − = 0 1 J g h dy h g g dy J dt y z z z y = − = 0 1 代入（1）得 x y z du = f dx + f dy + f J g h dy − y t J g h dy f y z + t dy J f h f h f dx f g t z z t x y y [ ] − = + + dy z t h f J g f dx f y x y ] ( , ) ( , ) [ ∂ ∂ = + + 故 x f x u = ∂ ∂ ， y u ∂ ∂ ( , ) ( , ) z t h f J g f y y ∂ ∂ = + 注 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。 例 4 求函数 f = xyz 在条件 1, 0 下的极值。 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 解 令 ( 1) ( ) 2 2 2 L = xyz + λ x + y + z − + µ x + y + z Lx = yz + 2λx + µ = 0 Ly = xz + 2λy + µ = 0 L = xy + 2λz + µ = 0 z
精品课程《数学分析》课外训练方案 得2x2+x=2y2+y=2x2+E x+y+==0 由(1)得2A(x2-y2)=(y-x),2(y2-2)=(=-y) 当x≠y≠二时得 2 故得x=2,代入(2)(3)式得 2x2+y 1解得稳定点P1( P2( 6√6√6 千2±1±1 ±1±1千2 由对称性得P3,4( ,)也是稳定点 6√6√y6 下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。 、通过判别最值来求极值 注意约束集为单位圆,是有界闭集,故∫在其上必有最大(小)值,且最值必在稳定点达到。比较稳定 点的函数值: f(P)=f(P)=(P3)26′f(2)=f(P)=)=3 6√6 最大者为极大值,最小者为极小值 2、用无条件极值的充分性判别 令F=x2+y2+2-1,G=x+y+5,则(FG)=2y21=2y-)≠0(y≠),故在PP a(, 3) 点的某邻域,方程组x2+y2+z2=1,x+y+z=0可唯一地确定可微函数组y(x),z(x)。 方程组两边对x求导,得2x+2yy+2x2=0 再求导,得
精品课程《数学分析》课外训练方案 7 得 λx + µx = λy + µy = λz + µz （1） 2 2 2 2 2 2 又 1 （2） 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 0 （3） 由（1）得 2 ( ) ( ) ， 2 2 λ x − y = µ y − x 2 ( ) ( ) 2 2 λ y − z = µ z − y 当 x ≠ y ≠ z 时得 2λ(x + y) = −µ ， 2λ( y + z) = −µ 故得 x = z ，代入（2）（3）式得 2 1 2 2 x + y = 解得稳定点 ) 6 1 , 6 2 , 6 1 (1 − P ， ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 2 − − P 。 2x + y = 0 由对称性得 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 ( 3,4 m ± ± P ， ) 6 2 , 6 1 , 6 1 ( 5,6 ± ± m P 也是稳定点。 下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。 1、通过判别最值来求极值 注意约束集为单位圆，是有界闭集，故 在其上必有最大（小）值，且最值必在稳定点达到。比较稳定 点的函数值： f 6 6 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 5 − f P = f P = f P = ， 6 6 2 ( ) ( ) ( ) f P2 = f P4 = f P6 = 最大者 3 6 1 为极大值，最小者 3 6 −1 为极小值。 2、用无条件极值的充分性判别 令 1， 2 2 2 F = x + y + z − G = x + y + z ，则 2( ) 1 1 2 2 ( , ) ( , ) y z y z y z F G = = − ∂ ∂ ≠ 0,( y ≠ z) ，故在 点的某邻域，方程组 可唯一地确定可微函数组 。 1 2 P ,P 1, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = y(x),z(x) 方程组两边对 x 求导，得 2x + 2yy′ + 2zz′ = 0 1+ y′ + z′ = 0 再求导，得
精品课程《数学分析》课外训练方案 1+y"2+yy"+z"2+z"=0 0 将P,P2点代入,解得y(P)=y(P)=0 z'(F)=z(P2)=-1 y()=2(2)=25,yve)=()= 又∫(x)=y2+xyz+xyz’, f∫"(x)=y'z+yz'+y+x"-+xy'-'+yz+xy'+xyz =2y =+2yz+ 2xy=+xyz+xyz f"(P)=、6 3 >0,f"(P2)= 0 3√6 √63√63√6 故P是极小值点,P2是极大值点。由x,y〓的对称性知,P3,B是极小值点,P2,P6是极大值点 极小值/(F)=n)=/()=2,极大值r(P)=n)=/P)=2 6√6 3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时,所有变量是独立的,但dx,d,c应满足约束条件 的微分在P的关系式: 2xdx 2ydy+ 2-dz=0 +dy+d=0 因为 dL= y=dx xzdy+ xyd=+2/(xdx +ydy+zd=)+u(dx+dy+d) d-L=2/(dx+dy+dz)+2xdydz 2ydxd=+ 2zdxdy 在P点d-2d+=0即c=0 又P满足稳定点方程 +A+=0得A=1 +M=0
精品课程《数学分析》课外训练方案 8 2 2 1+ y′ + yy′′ + z′ + zz′′ = 0 y′′ + z′′ = 0 将 点代入，解得 ， 1 2 P ,P ( ) ( ) 0 y′ P1 = y′ P2 = ( ) ( ) 1 z′ P1 = z′ P2 = − 3 2 6 ( ) ( ) y′′ P1 = z′′ P2 = ， 3 2 6 ( ) ( ) 2 1 − y′′ P = z′′ P = 又 f ′(x) = yz + xy′z + xyz′ ， f ′′(x) = y′z + yz′ + y′z + xy′′z + xy′z′ + yz′ + xy′z′ + xyz′′ = 2y′z + 2yz′ + 2xy′z′ + xy′′z + xyz′′ 0 3 6 4 3 6 2 6 4 ( ) f ′′ P1 = + + > ， 0 3 6 4 3 6 2 6 4 ( ) f ′′ P2 = − − − < 故 P1 是极小值点， P2 是极大值点。由 x, y,z 的对称性知， P3 , P5 是极小值点， P2 , P6 是极大值点。 极小值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 5 − f P = f P = f P = ，极大值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) f P2 = f P4 = f P6 = 。 3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时，所有变量是独立的，但 应满足约束条件 的微分在 的关系式： dx, dy, dz Pi 2xdx + 2ydy + 2zdz = 0 dx + dy + dz = 0 因为 dL = yzdx + xzdy + xydz + 2λ(xdx + ydy + zdz) + µ(dx + dy + dz) d L 2 (dx dy dz ) 2xdydz 2ydxdz 2zdxdy 2 2 2 2 = λ + + + + + 在 点 即 P1 dx − 2dy + dz = 0 dy = 0 dx + dy + dz = 0 dx + dz = 0 又 满足稳定点方程 P1 0 6 2 3 1 − + λ + µ = 得 2 6 1 λ = 0 6 4 6 1 − λ + µ =
精品课程《数学分析》课外训练方案 故d2L(P)=-(dx2+d2-4rd)=(ax2+d2+4ahx2)>0 6 所以尸是极小值点。由x,y,z的对称性知,P3,B也是极小值点。同理可证,P2,P,B是极大值点 楼小值()=)=)=66极大值)=)=()=66 五.自测题 a-z 、z=sin(x,y),求 2、设u=f(x,y,z),(x2,ey,z)=0,y=sinx,(f,q)具有连续一阶偏导数,且=0 3、求函数n=ln(x+√y2+z2)在点A(101)沿A指向点B(3-2,2)方向的方向导数 4、证明:若函数f(x,y)定义在R2上,且f(x,y)与f(x,y)在R2上有界,则f(x,y)在R2上连续。 5、求旋转抛物面=x2+y2与平面x+y-22=2之间的最短距离
精品课程《数学分析》课外训练方案 9 故 ( 4 ) 0 6 1 ( 4 ) 6 1 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 d L P = dx + dz − dxdz = dx + dz + dx > 所以 P1 是极小值点。由 x, y,z 的对称性知， P3 , P5 也是极小值点。同理可证， P2 , P4 , P6 是极大值点。 极小值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 5 − f P = f P = f P = ，极大值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) f P2 = f P4 = f P6 = 。 五．自测题 1、 z = sin(x, y) ，求 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 2、设u = f (x, y,z) ， ( , , ) 0 ， 2 ϕ x ey z = y = sin x ，（ f ,ϕ ）具有连续一阶偏导数，且 = 0 ∂ ∂ z ϕ ，求 dx du 。 3、求函数 ln( ) 2 2 u = x + y + z 在点 A(1,0,1) 沿 A 指向点 B(3,−2,2) 方向的方向导数。 4、证明:若函数 f (x, y) 定义在 2 R 上，且 f x (x, y) 与 f y (x, y) 在 2 R 上有界，则 f (x, y) 在 2 R 上连续。 5、求旋转抛物面 与平面 2 2 z = x + y x + y − 2z = 2之间的最短距离
