第七章实数的完备性 第七章实数的完备性 81关于实数集完备性的基本定理 1验证:数集{(-1)+1}有且只有两个聚点1=-1和6 证:因为(-12+2:(-11+2k+:∈1(=-1y+1 且m(-12+是=1,m(-11++工=-1,所以1和-1 为{(-1)+}的聚点 反证法:假设x为不同于1和-1的聚点,则取=2minx- 1,1x+11存在N=1/0当n>N时(-1)+落在U(x,) 外部即落在∪(x,)至多只有有限点这于聚点定义相矛盾 2.证明:任何有限集都没有聚点 证明:设S为有限集,x为其聚点,由聚点定义存在互异{xn}cS 且有 lim xn=x,数列{xn}有无限项,这于S为有限集相矛盾 3.设{an,bn}是一严格开区间套,即 a1<a<…<an<…<b<…<b<b1 且limn(bn-an)=0.证明存在唯一一点,有 n2<<bn,n=1,2, 证作闭区间列{[xn,yn]},其中 b, + bni 由于a<x<an+1,bh1<yn<bn,故有
§1关于实数集完备性的基本定理 (1)(an+1,bh+1)C[xn,yn]c(an,bn),从而 II C[,,y] (2)bn+1-an+1<yn-xn<bn-an,从而由lim(bn-an)=0,得 Lim(yn -xn)=0 所以{[xn,yn为闭区间套,由区间套定理,存在一点,使得氏∈ xn,yn],n=1,2,…,由(1)有an<E<bn(n=1,2,…),满足条件an< E<bn(n=1,2,…),点的唯一性与区间套定理同样证得 4.试举例说明:在有理数集内,确界原理,单调有界原理聚点定理 和柯西收敛准则一般都不能成立 解:设an=(1+1)bn=(1+1)1,则{a。}1b}均是有理数列 (1)点集{an1n=1,2,…}非空有界,但在有理数集内无上确界 (2)数列{an}单调递增有上界,但在有理数集无极限 (3)点集{an1n=1,2,…}有界无限,但在有理数集无聚点 (4)数列{an}满足柯西收敛准则,但在有理集内无极限 5设H={(n2,)|n=1,2,…}是一个无限开区间集,间 (1)H能否覆盖(0,1)? (2)能否从H中选出有限个开区间覆盖(0,)? (3)能否从H中选出有限个开区间覆盖(,1)? 解(1)H能覆盖(0,1),因为对任意x∈(0,1),存在n,使 2 <x< (2)不能从H中选出有限个开区间覆盖(,),因对H中任意有 限个开区间,设其中左端点最小出+2,则当0<x<1 时,这 有限个开区间就不能覆盖x 181
第七章实数的完备性 (3)能从H中选出有限个开区间覆盖(1,1).例如选取(1, n),n=1,2,…,99即可 6.证明:闭区间[a,b]的全体聚点的集合[a,b]本身 证设x∈[a,b],若x∈(a,b),取δ=min{x-al,lx-b计 则δ>0,且U(x,8)C[a,b],从而对任给正数e(b,若xb同样可证 7.证明:单调数列{xn}若存在聚点,则一定是唯一的,且是{xn}的 确界 证设递增数列{xn}的聚点,设a为任一实数且a≠,不妨设a 同理可证),取e=52a>0,由聚点定义,U(,)中含有 xn}的无限多个项,设x∈U(y,e),由{xn}的递增性,当n≥N时,xn ≥ⅪN,故U(a,e)中最多含有{x2}的有限多个项x1,x2,…,xN-1,所以a 不可能是{xn的聚点由a的任意性为{xn}的唯一聚点 现在证明:= sipix},事实上, (1)为{x2}的上界,反之,若存在x>,则当n>N时,有 xn>5,取E=x->0,则在U(,e)内最多含有|xn}的有限多个项 xn,n=1,2,…,N-1,与聚点相矛盾 (2)=sp{xn},因为对任给正数e,存在xn∈U(,e),从而 xn>y-E,结合(1)便知!=sup{xn}对递减数列类似可证 8.试用有限覆盖定理证明聚点定理 证设E为直线上有界无穷点集,则存在M>0,使EC[-MM
§2闭区间上连续函数性质的证明 假设[MM]中任何点都不是E的聚点,则对每一个x∈[-MM],必存 在相应的82>0,使得在U(x,2)内至多含有E的有限多个点.设 H={U(x,82)1x∈[-M,M],则H是[-M,M]的一个开覆盖,由有限 覆盖定理H中存在有限个开邻域:U(x,8x)(=1,2,…,n)构成[ M,M]的一开覆盖当然也覆盖了E由邻域U(x,8)的原意,在其内 至多含有有限个点,这于E为无穷点集相矛盾所以[一M,M]中至少 有E的一个聚点 9.试用聚点定理证明柯西收敛准则 证只需证明充分性,设数列{an}满足条件:对任给正数e,总存 在某一个自然数N,使得当m,n>N时,都有!an-anN1时,有|an-aN+11N时,|an-amN(任取k>N,使n>n)时,有 lan-A|≤|an + A|<+ 故 §2闭区间上连续函数性质的证明 1.设f为R上连续的周期函数证明:f在R上有最大值与小值 证设f的周期为T,由于f在闭区间[0,T]上连续,故有最大值 f(日)和最小值f(),,∈[0,T].任给x∈(-∞,+∞),则存在某整 数k,使得x∈[kT,(k+1)T],于是x-kT∈[0,T],从而有
第七章实数的完备性 f()≤f(x)=f(x-kT)≤f() 所以f(6)=7-(x),f(3)= ntm,x) 2.设I为有限区间证明:若f在Ⅰ上一致连续,则f在I上有界,举 例说明此结论当I为无限区间不一定成立 证:设区间I的左右端点为a,b.由于f在I上一致连续,故对e= 1,存在8>0(80,令a=a+,b=b-,则a0,存在M>0 当x,x">M1时,有1f(x)-f(x")10当00,必存在8>0(8<2),当x,x"∈MM1+2]且1x
§3上极限和下极限 x"|0,假设在(a,b)内没有f(x)=0的根,即对每一个x∈(a,b),都有 f(x)≠0,从而对一切x∈[a,b],有f(x)≠0,由连续性,对每一个x∈ a,b]存在8>0,使得f在U(x,83)∩[a,b]上同号,而 H={U(x,82)|x∈[a,b] 是[a,b]的一个开覆盖,由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域 也构成[a,b]的一个开覆盖,设a∈U(x3)(k为1,2,…,n中某 个),由Ux,3)的原意,在U(x,x)∩[ab1内同号,故x∈U(x 6)∩a,b]时,有(x)0相矛盾.于是在(a,b)内至少存在 点x,使得f(x)=0 5.证明:在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、 f(b-0)存在且有限 证必要性设f在(a,b)一致连续,即对任给正数e,存在8> ,当x,x"∈(a,b)且1x-x"<8时,有|f(x)-f(x")1<e,特别 0 当x,x∈(a,a+8)时,有1x-x"1<8,从而也有f(x)-f(x)|< e,由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值,同理可证f(b 0)存在且为有限值 充分性设f在(a,b)连续,且f(a+0),f(b-0)存在并为有限值 补充定义:(a)=f(a+0),f(b)=f(b-0),使得f在[a,b]上连续,从 而一致连续,因此f在(a,b)上一致连续 83上极限和下极限 1.求下列数列的上、下极限:
第七章实数的完备性 (1)1+(-1)};(2)(-1)°n; (3){2n+1};(4) (5){snx};(6){4/1cos| 解记原数列为{xn} (1)由于limx2k-1=0, lim xk=2,从而对任给正数e,存在自然数 N,当k>N时,有 2+e,故由定义可知 li O, limx =2 注:一般地,若P为自然数,且 imx=Au,imxp1=At…,{mxpp:=A,1存在, 则 事实上,对任一正数e,存在自然数N,使得当k>N时 A-E<x+<A+e(=0,1 设minA,A1,…,Apl=A,则小于A+E的xn有无限项若对某 个正数e,数列{xa}中小于A-E的有无穷项,设它们是 其中n<n<…<n,…,由于自然数集N可分为有限个子集 lpk∈N,lp+1k∈N,…,{k+p-1|k∈N 且n有无限个,从而以上P个子集中,必有一个(设为第j个)含有 无限个n,因而 j(1=1,2,…) 是mx={mx叫=A可见 ≤A-E<A
3上极限和下极限 这与A0为最小者矛盾,因此 Ao = li 同理maxA,A1,…,Ay-1}= Liman (2)由于mxk=m4k+1=2,如mx+1 从而由(1)后 的注知 (3)由于lim(2n+1)=+∞,从而 Limx= liman=+∞ (4)由于 lim xBk=limx4k limx4k limxsk+ lim xgk+1 lin xgk+2 limxgk+2=2, Iim xgk+5= limxk+7=-V2, limxsk+6=-2 从而由注知 Limmxn =-2, limxn 2 (5x==mx=mn(+1)。=x (6)由于 3k+1 x={m√!c3x1{m l(i=0,1,2) 从而 mxn =lim Xo 2.设{an}{bn}为有界数列,证明 (1) (2){m+留mhn≤m(a+b) 187
第七章实数的完备性 (3)若an>0,bn>0(n=1,2,3,…),则 nan,mbn≤tiab liman limbn2 lima, bn (4)若an>0,1Bn=man 证(1)设man=A,则对任给正数e,小于A-a的an至多有限 项,小于A+E的an有无限项,即{-an}中大于-A+e的至多有限项 大于-A-E的有无限项,所以lin(-a)=-A,即 Liman = lim(an) (2)设m=a,mnhn=b,m(an+b)=c假设a+b>c,由 下极限充要条件知对任给正数e,有无限个n,使得an+bn0,则有无限个n,使得an+hn0,b>0,假设ab>c,任取正数e使ab-c>c>0,则有无限多 项满足
3上极限和下极限 h0,欲证Li1=1,对任给正数e(取e充分小, 使e>a,且ae>1),令 >0,e2 >0 则{an}中小于a+日1=;2的项有无限多个,{an}中小于a-2 1+ae的项至多有限多个,从而{}中大于=1-c的项有无 限多个,中大于1=1+e的项至多有限个,所以 11 3.证明:若{an}为递增数列,则 lim an= liman 证:若{an}有界,则由单调有界定理,极限 lima存在,从而 liman 若{an}无界,则 lima=+∞,从而对任意正数M,{an}中大于M的