§1含参量正常积分 第十九章含参量积分 §1含参量正常积分 1.设f(x,y)=sgn(x-y)(这个函数在x=y时不连续),试证 由含参量积分 F 所确定的函数在(-∞,∞)上连续,并作函数F(y)的图象 解由于x∈[0,1],因此当y1时, f(x,y)=-1.当0≤y≤1时 F(y)=(xy)d=(x,y)hx+(x,y)h =(-1)dx+1dx=1-2y 所以 F(y) y<0 1-2y0≤y≤1 它在(-∞,∞)上连续 F(y)的图象见图19-1 2.求下列极限 十a2dx 图19-1 (2)lim,x2cosadx 解(1)f(x,y)=√x2+a2在区域-1≤x≤1.-1≤a≤1 上连续.因此
第十九章含参量积分 2+ adx +adr ir i dx 1 (2)f(x,y)=x2sa,在区域0≤x≤2,-1≤a≤1上连续, 因此 lim[z-2oosazdt = limz2oosazdr=[x?dr=8 设F(x)=c-y计算F(x) 解F(x) ry dy t 2re 4.应用对参量的微分法,求下列积分 (1)n(a2sin2x+b2∞x32x)dr;(a2+b2≠0) (2)1hn(1-2ac8x+a2)d 解(1)若|a|=0,|b1>0,所以b2=1b21 In(b200sr)dx=rIn 1|+2 In(cosz)dx =πln|b|-xln2=xln 同理b|=0,1a1>0 In(asin)dx rl 若1a1>0,1b1>0,设 1(b)=In I a 12sin22+1b12coxdr 则I(b)= 0 a sinr+6200s2rdz
81含参量正常积分 2 得 I(b)= b。1+t2a2 dt 1 01+t2a2 2+2)d x I(0)=2In(a'sin2z)dr=rIn a (x)=[dt+rhn]a/2 2 In(i a I+x)-In2 因而n(a2sin2x+b2s2x)d= rIna+b (2)设1(a)=(1-2amx+a3)dr, 当|a|0,因而1n(1-2acsx+a2)为连续函数,且具有连续导数,所以 I(a)= 20osx+ 2a 0 1-.x+02dx d 01 _2 n)l=0 故当1a1<1时,I(a)=c(常数),但是I(0)=0,从而I(a) 503
第十九章含参量积分 当1a1>1时,令b=1则1b11 注第(1)题也可由第(2)题推出.即 Q In(asin+bcos)dx 2,2+62a2-b 2o2x) dx 2∞sq)dg 1「"l(1-21a1+ +(lal-1b)2)do+ rhn Ia1+1b1 I a l+i l 2 tIn la|+丨bl 5.应用积分号下的积分法,求下列积分 sin(In 1 ) Int dr(b>a>0) (2) cos(In) rb x(b>a>0) 解()1记g(x)=sm(m1)因为lmg(x)=0,故令
81含参量正常积分 g(0)=0时,g(x)在[0,1]上连续,于是有 1=J。g(x)dz=」si(nx) xdy]dr sin(In )xdy]d 记f(x,y)=sn(n1)x(x>0),f(0,y)=0,则f(x,y)在0,1;a b]上连续,所以 sin(In)xdy]dr=[ sin(In 5)xdr]dy 作代换x=e后得到 sin(In xdx sintdt= 1+(1+y)2 ay arctan(1+b)-arctan(1+a) (2)类似于(1)题 cos(In) cos(In )r'dr dy 1+y-;dy= 6.试求累次积分 4+与小 并指出它们为什么与定理的结果不符 解由于,2二 3(-x (x2+y2)2-a 3、(-,z2)故有 [2y210]dx
第十九章含参量积分 4小+女=+固 dy 因为2在点0,0)不连续,所以与定理的结果不符 7.研究函数F(y) dx的连续性,其中f(x)在闭区间 [0,1]上是正的连续函数 解由于f(x)在[0,1]上是正的连续函数,故存在正数m,使得 f(x)≥m>0x∈[0,1] 当y>0时,p(9)=h≥m。2ya arctan 当y0 lim F(y)< lim marcas y 2<0 所以F(y)在y=0处不连续,当0[,4]时x(x)2在[0,1;,d 上连续所以当y≠0时,函数F(y)连续 8.设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续,证明: a[r(:+A)-f()d=f(x)-f(l(a<x<A) 证因为[f(t+h)-f(t)de f(t)dt- f(t)dt
1含参量正常积分 f(t)dt f(t)dt-f(r)dt f(e)dt-f(t)dt =f(1)·h-f(2)·h,x≤1≤x+h,a≤与2≤a+h 当h→0,1→x,2→a,所以 [(+)-(2)=(r(6)k-r(2)k f(c)-f( 9.设F(x,y) (x-yz)f(z)dz,其中f(z)为可微函数,求 F Af F2(c,y)=f(z)dx+(x-ry2)f(ry)y f(z)dz+ ry(1-y2)f(ry) (x,y)=f(xy)·x+f( ), +x(1-y2)f(xy) 2ry f(ry)+xy(1-y)f(ry) (2x-3y32)f(xy)+f(x)+x2y(1-y2)f(xy) 10.设E(k)=√1-k2sn2gdq d 其中0<k<1(这两个积分称为完全椭圆积分) (1)试求E(k)与F(k)的导数,并以E(k)与F(k)表示它们; (2)证明E(k)满足方程 (k)+1E()+E(2=0
第十九章含参量积分 解(1)E(k)= 1[21-k2sn2g kJ0√1-k2si b[E(k)-F(k)](a) F(k)=2ksin2gd甲4 (1-k2sn2g)2 (1-k'sin2)"2dp-(1-k2sin2p)idp 易证(1-k2sin2g) 2(1-k2sin2 2 1-k2 do l sin cosp(1-k2s 故有 (1-k23in2g)2d E(k) F( k(1-k2)k (2)对(1)中(a)式求k的导数后,再将(a)式代入得 E(k)=A[E(k)-F(k)-1E(k)+1F(k) F(k) 由(a),(b)有F(k)=F(k),一F(k) E(k k(1-k2)+E(k)-E(k)=E'(k)
§2含参量反常积分 代入上式后得E(k)+1E(k)+E(k)=0 §2含参量反常积分 1.讨论下列含参量非正常积分在所指定的区域上一致收敛性 dx在 (2),cxxy在任何区间[a,b](a>0)上 dt在01)上; (|)在(-∞,b](b<1)一致收敛 ()在(-∞,1)内不一致收敛 (7)x21(1-x)z在0<p≤p<∞,0<q0≤q<上 解(1)因为 dx 收敛,所以 dx在 y<∞上一致收敛 (2)因为1c2y1=1≤}而且
第十九章含参量积分 e“以dy收敛,所以 exy在[a,b](a>0)上一致收敛 (3)任何N>0,由于 e‘ sinad I≤e- sinat i dt ≤|et≤ 因而 e sindt一致有界.又关于t单调而且对任何a>0, 当t趋于∞时!一致趋于0由狄利克雷判别法知 dt在00,令A1=M,A2=2M,x0=M xoe- l= goyIM 所以。xby在0≤x≤b上不一致收敛 注另一种证法 g(x)=J0x2s10,x=0 1,0<x≤b 然而xe在0≤x≤b,0≤y 内连续,由连续性定理知 xedy在0≤x≤b上不一致收敛
