复旦大学：《数学分析》条件极值问题与 Lagrange乘数法

教案 条件极值问题与 Lagrange乘数法 1.教学内容 讲解 Lagrange乘数法的原理,并介绍如何应用 Lagrange乘数法求解条件极值问 题 2.指导思想 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题, Lagrange乘数法是解决条件极值 问题的一个有效的工具,也是数学分析课程教学上的一个难点,讲好这一节课程, 对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义 3.教学安排 1.在考虑函数的极值或最值问题时,经常需要对函数的自变量附加一定的条 件。例如,求原点到直线 x+2y+3=6 的距离,就是在限制条件x+y+z=1和x+2y+3z=6的情况下,计算函数 f(x,y,2)=√x2+y2+2的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 以三元函数为例,条件极值问题的提法是:求目标函数 f(x,y, z) 在约束条件 G(x,y,=)=0, (x,y,z)=0 下的极值。 假定∫,F,G具有连续偏导数,且 Jacobi矩阵 GGG 在满足约束条件的点处是满秩的,即 rank J=2 先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程 设曲线上一点(x0,y,0)为条件极值点,由于在该点 rank J=2,不妨假设在 (x,y,2)点C≠0,则由隐函数存在定理,在(xn,3,=0)附近由该方程可 以唯一确定 y=y(x),z=(x),x∈O(x0,p)(y=y(x0),-0=x(x0)) 它是这个曲线方程的参数形式 将它们代入目标函数,原问题就转化为函数 Φ(x)=f(x,y(x),(x),x∈O(x0,P) 的无条件极值问题,x0是函数Φ(x)的极值点,因此Φ(x)=0,即 dy (x0,yo,=0)+Jr(x,y1o,=o)x+f(x,yo,=0)x=0 这说明向量

教案 条件极值问题与 Lagrange 乘数法 1. 教学内容 讲解 Lagrange 乘数法的原理，并介绍如何应用 Lagrange 乘数法求解条件极值问 题。 2. 指导思想 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题， Lagrange 乘数法是解决条件极值 问题的一个有效的工具，也是数学分析课程教学上的一个难点，讲好这一节课程， 对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义。 3. 教学安排 1．在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条 件。例如，求原点到直线 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 的距离，就是在限制条件 + + zyx = 1 和 + + zyx = 632 的情况下，计算函数 222 ),,( ++= zyxzyxf 的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数 zyxf ),,( 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0),,( ,0),,( zyxH zyxG 下的极值。 假定 具有连续偏导数，且 ,, GFf Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = zyx zyx HHH GGG J 在满足约束条件的点处是满秩的，即 J = 2rank 。 先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程。 设曲线上一点 为条件极值点，由于在该点 ),,( 000 zyx J = 2rank ，不妨假设在 zyx 000 ),,( 点 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ zy HG ，则由隐函数存在定理，在 附近由该方程可 以唯一确定 ),,( 000 zyx ,(),(),( ) = = ∈ xOxxzzxyy 0 ρ （ )(),( 0 00 0 = = xzzxyy ）。 它是这个曲线方程的参数形式。 将它们代入目标函数，原问题就转化为函数 ),()),(),(,()( =Φ ∈ xOxxzxyxfx 0 ρ 的无条件极值问题， 是函数 0 x Φ x)( 的极值点，因此 0)( Φ′ x0 = ，即 0),,(),,(),,( 000 + 000 + 000 = dx dz zyxf dx dy zyxfzyxf x y z 。 这说明向量 1

grad f(x0,y2=0)=f2(x0,yV0=0)i+/,(x0,y0-0)j+f(x,y0,=0)k 与向量r=几女 dx dx 正交,即与曲线在(x02y0,0)点的切向量正交,因此 grad f(x0,y0,=0)可看作是曲线在(x0,y0,-0)点处的法平面上的向量。由定理 12.5.1,这个法平面是由 gradS(x0,y0,=0)与 grad(x0,y0,0)张成的,因此 grad f(x0,yo,=0)可以由 gradS(x0,y0,=0)和 grad H(x0,y,=0)线性表出,或者说, 存在常数A0,{0,使得 gradf(xo, yo, =0)=no grad G(xo, yo, =0)+Ho grad H(xo, yo, =) 这就是点(x0,y0,0)为条件极值点的必要条件。 将这个方程按分量写开就是 f2(x0,yo,0)-40G2(x0,yo,=0)-{0H2(x0,yo,-0)=0, f(x0,yo,=0)-G,(x0,y0,=0)-H,(x,y0,-0)=0 f2(x,y,0)-20G2(x0,y0,=0)-40H2(x0,y0,=0)=0. 于是,如果我们构造 Lagrange函数 L(,y, =)=f(,, =)-iG(,y, 3)-uH(x,y,=) (A,称为 Lagrange乘数),则条件极值点就在方程组 f -2Gr-uh f,-1G,-H,=0 f2-6G2-HH2=0 G=0. 的所有解(x0y0,-0,10,4)所对应的点(x0,y20)中。用这种方法来求可能的条件 极值点的方法,称为 Lagrange乘数法 2.作为一个例子,现在用 Lagrange乘数法来解决本节开始提出的问题,即 求函数 F(x,,=) 在约束条件 y+z=1 x+2y+3=6 下的最小值(最小值的平方根就是距离)。为此,作 Lagrange函数 L(x,y,,,)=x2+y2+22-A(x+y+2-1)-(x+2y+3z-6), 在方程组 Ly=2y--2A=0 34=0, y+z-1=0, 2y+3z-6=0 把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以x、y、z后相加,再利用第四、第五 式得到

000 = x 000 i + y 000 j + z zyxfzyxfzyxfzyxf 000 ),,(),,(),,(),,(grad k 与向量 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dx dz dx dy τ ,,1 正交，即与曲线在 点的切向量正交，因此 可看作是曲线在 点处的法平面上的向量。由定理 12.5.1，这个法平面是由 与 张成的，因此 可以由 和 线性表出，或者说， 存在常数 ),,( 000 zyx zyxf 000 ),,(grad ),,( 000 zyx zyxG 000 ),,(grad zyxH 000 ),,(grad zyxf 000 ),,(grad zyxG 000 ),,(grad zyxH 000 ),,(grad 00 λ ,μ ，使得 zyxf 000 ),,(grad =λ0 zyxG 000 ),,(grad + μ 0 zyxH 000 ),,(grad ， 这就是点 为条件极值点的必要条件。 ),,( 000 zyx 将这个方程按分量写开就是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = − − = .0),,(),,(),,( ,0),,(),,(),,( ,0),,(),,(),,( 00000000000 00000000000 00000000000 zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf z z z y y y x x x λ μ λ μ λ μ 于是，如果我们构造 Lagrange 函数 = − λ − μ zyxHzyxGzyxfzyxL ),,(),,(),,(),,( （λ, μ 称为 Lagrange 乘数），则条件极值点就在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = =−−= =−−= =−−= 0 ,0 ,0 ,0 ,0 H G HGfL HGfL HGfL zzz z yy y y xxx x μλ μλ μλ 的所有解 ),,,,( λ μ 00000 zyx 所对应的点 中。用这种方法来求可能的条件 极值点的方法，称为 Lagrange 乘数法。 ),,( 000 zyx 2．作为一个例子，现在用 Lagrange 乘数法来解决本节开始提出的问题，即 求函数 222 ),,( ++= zyxzyxF 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作 Lagrange 函数 ),,,,( ( )632()1 222 μλ λ μ zyxzyxzyxzyxL −++−−++−++= ， 在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =−++ =−−= =−−= =−−= .0632 ,01 ,032 ,022 2 ,0 zyx zyx zL yL xL z y x μλ μλ μλ 把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以 x 、、 zy 后相加，再利用第四、第五 式得到 2

1+6 请同学思考,从上式我们能得出什么结论? 答案:从方程组解出λ和,如果只有一组解,则+5就是原点到直线距 离的平方! 为此我们只要从方程组解出λ和μ即可。 把方程组中的第一、第二和第三式相加,再利用第四式得 3+6=2; 把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加,再利用第五式得 6+144=12 从以上两个方程解得 =4 于是原点到直线 ∫x+y+z=1 5 x+2y+32=6 的距离为1(-+2 注解出4和后,容易得到本题的唯一可能条件极值点为x 3 x+y+二=1, 因此原点到直线 的距离为,F 517 x+2y+3z=6 333 3.一般地,考虑目标函数∫(x1,x2,…,x)在m个约束条件 81(x1,x2, 0( 下的极值,这里∫,g,(=1,2,…,m)具有连续偏导数,且 Jacobi矩阵 agm ag 8a8a:ga 在满足约束条件的点处是满秩的,即 rankJ=m。那么我们有下述类似的结论 定理1(条件极值的必要条件)若点x=(x,x2…,x)为函数∫(x)满足约束 条件的条件极值点,则必存在m个常数λ1,λ2…,n,使得在x0点成立 gradf=d, grad g, +1, grad g, +.+Am grad g 于是可以将 Lagrange乘数法推广到一般情形。同样地构造 Lagrange函数 Lx )=f( λ 那么条件极值点就在方程组 ol af λL=0 ax, a 的所有解(x12x12…,xn,1,A2…,An)所对应的点(x1,x2…,xn)中

(2 6) μλ 222 zyx +=++ 。 请同学思考，从上式我们能得出什么结论？ 答案：从方程组解出λ 和 μ ，如果只有一组解，则 2 λ + 6μ 就是原点到直线距 离的平方！ 为此我们只要从方程组解出λ 和μ 即可。 把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得 λ + μ = 263 ； 把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得 λ + μ = 12146 。 从以上两个方程解得 4, 3 22 μλ =−= 。 于是原点到直线 的距离为 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 3 5 )24 3 22 ( 2 1 =+− 。 注 解出λ 和μ 后，容易得到本题的唯一可能条件极值点为 3 7 , 3 1 , 3 5 zyx ==−= ， 因此原点到直线 的距离为 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 3 25 3 7 , 3 1 , 3 5 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ F − = 3 5 。 3．一般地，考虑目标函数 21 L xxxf n ),,,( 在 m 个约束条件 );,,2,1(0),,,(i 21 L n = = L < nmmixxxg 下的极值，这里 i = L migf ),,2,1(, 具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n m m m n n x g x g x g x g x g x g x g x g x g J L MMM L L 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 在满足约束条件的点处是满秩的，即rank = mJ 。那么我们有下述类似的结论： 定理 1（条件极值的必要条件）若点 为函数 满足约束 条件的条件极值点，则必存在 个常数 x0 ),,,( 00 2 0 1 n = L xxx f x)( m λ λ λ m ,,, 21 L ，使得在 点成立 x0 g g m g m grad f = λ1 grad + λ21 grad 2 +L+ λ grad 。 于是可以将 Lagrange 乘数法推广到一般情形。同样地构造 Lagrange 函数 ∑= = − m i n m n ii n xxxL xxxgxxxf 1 21 21 21 21 L L λλλ L λ L ),,,(),,,(),,,,,,,( ， 那么条件极值点就在方程组 （*） ),,2,1;,,2,1( ,0 ,0 1 mlnk g x g x f x L l m i k i i kk = L = L ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑= λ 的所有解 ),,,,,,,( 21 n 21 m L xxx λ λ L λ 所对应的点 21 L xxx n ),,,( 中。 3

判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件,我们不加证明地给 出,请有兴趣的读者将证明补上 定理2设点x=(x,x2,…,x0)及m个常数λ1,A2…,满足方程组(*),则 当方阵 (x0,A1,A2…,元n) 为正定(负定)矩阵时,x为满足约束条件的条件极小(大)值点,因此∫(x) 为满足约束条件的条件极小(大)值 注意,当这个定理中的方阵为不定时,并不能说明∫(x0)不是极值。例如, 在求函数f(x,y,2)=x2+y2-2在约束条件z=0下的极值时,构造 Lagrange函 数L(x,y,)=x2+y 在,并解方程组 Lx=2x=0, L,=2y=0 L.=-2=-2=0, =0 得x=y=z=4=0。而在(0,0,0,0)点,方阵 00 020 是不定的。但在约束条件z=0下,f(x,y)=x2+y2≥f(0,0,0)=0,即f(0,0,0) 是条件极小值。 4.例题 在实际问题中往往遇到的是求最值问题,这时可以根据问题本身的性质判定 最值的存在性(如前面的例子)。这样的话,只要把用 Lagrange乘数法所解得的 点的函数值加以比较,最大的(最小的)就是所考虑问题的最大值(最小值) 例1要制造一个容积为a立方米的无盖长方形水箱,问这个水箱的长、宽 高为多少米时,用料最省? 解设水箱的长为x、宽为y、高为z(单位:米),那么问题就变成在水箱 容积 的约束条件下,求水箱的表面积 S(x,y,2) 的最小值。 作 Lagrange函数 L(x, y, 2, 1)=xy+2x2+2yz-i(xyz-a) 从方程组 Lx=y+2=-yz=0, L,=x+22-4x=0. L=2x+2y-xy=0, =0

判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不加证明地给 出，请有兴趣的读者将证明补上。 定理 2 设点 x0 = 1 0 2 0 L xxx n 0 ),,,( 及m 个常数λ λ λ m ,,, 21 L 满足方程组（*），则 当方阵 nn m lk xx L × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ ),,,( 210 2 x L λλλ 为正定（负定）矩阵时， 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此 为满足约束条件的条件极小（大）值。 x0 )(x0 f 注意，当这个定理中的方阵为不定时，并不能说明 不是极值。例如， 在求函数 在约束条件 )(x0 f 222 ),,( −+= zyxzyxf z = 0下的极值时，构造 Lagrange 函 数 −−+= λzzyxzyxL ，并解方程组 222 ),,( ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = =−−= == == 0 ,02 ,02 ,02 z zL yL xL z y x λ 得 zyx λ ==== 0 。而在 点，方阵 )0,0,0,0( ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 020 002 zzzyzx yzyyyx xzxyxx LLL LLL LLL 是不定的。但在约束条件 下， ，即 是条件极小值。 z = 0 ),,( 0)0,0,0( 22 fyxzyxf =≥+= f )0,0,0( 4．例题 在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判定 最值的存在性（如前面的例子）。这样的话，只要把用 Lagrange 乘数法所解得的 点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大值（最小值）。 例 1 要制造一个容积为 立方米的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、 高为多少米时，用料最省？ a 解 设水箱的长为 x、宽为 、高为 （单位：米），那么问题就变成在水箱 容积 y z xyz = a 的约束条件下，求水箱的表面积 = + + 22),,( yzxzxyzyxS 的最小值。 作 Lagrange 函数 λ = + + − λ − axyzyzxzxyzyxL )(22),,,( ， 从方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− =−+= =−+= =−+= 0 22 ,0 ,02 ,02 axyz xyyxL xzzxL yzzyL z y x λ λ λ 4

得到唯一解 由于问题的最小值必定存在,因此它就是最小值点。也就是说,当水箱的底为边 长是v2a米的正方形,高为v2a/2米时,用料最省。 例2求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4x2=1相交而成的椭圆的面积 图127.1 解椭圆的面积为mb,其中a,b分别为椭圆的两个半轴,因为椭圆的中心在 原点,所以a,、b分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最小距离。 于是,可以将问题表述为,求 f(x,y, ==x+y 在约束条件 x+y+2= 下的最大值与最小值。 作 Lagrange函数 L(x,y,,A,A)=x2+y2+z2-l(x+y+)-(x2+y2+4x2-1), 得到相应的方程组 L2=2(1-)x-2=0 L,=2(1-p)y-2=0, L=2(1-4)2-1=0 x+v+2=0 将方程组中的第一式乘以x,第二式乘以y,第三式乘以z后相加,再利用 x+y+z=0和x2+y2+4x2=1得到 请同学思考,从上式我们能得出什么结论? 答案:从方程组解出,如果只有二个解1和山2,则它们就是该椭圆的半长 轴与半短轴的平方! 所以问题转化为求的值。 将以上方程组中的第一式乘以1-4,第二式乘以1-4,第三式乘以1-后 相加,得到

得到唯一解 2 2 ,2,2 3 3 3 a = = zayax = 。 由于问题的最小值必定存在，因此它就是最小值点。也就是说，当水箱的底为边 长是3 2a 米的正方形，高为 22 3 a 米时，用料最省。 例 2 求平面 zyx =++ 0与椭球面 zyx 222 =++ 14 相交而成的椭圆的面积。 解 椭圆的面积为πab ，其中 分别为椭圆的两个半轴，因为椭圆的中心在 原点，所以 分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最小距离。 ,ba ,ba z O y x 图 12.7.1 于是，可以将问题表述为，求 222 ),,( ++= zyxzyxf 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 14 ,0 222 zyx zyx 下的最大值与最小值。 作 Lagrange 函数 ),,,,( )14()( 222 222 μλ λ μ zyxzyxzyxzyxL −++−++−++= ， 得到相应的方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =++ =−−= =−−= =−−= .014 ,0 ,0)41(2 ,0)1(2 ,0)1(2 222 zyx zyx L z L y L x z y x λμ λμ λμ 将方程组中的第一式乘以 x ，第二式乘以 ，第三式乘以 后相加，再利用 和 得到 y z zyx =++ 0 14 222 zyx =++ =++= μ 222 ),,( zyxzyxf 。 请同学思考，从上式我们能得出什么结论？ 答案：从方程组解出μ ，如果只有二个解 μ1和μ 2，则它们就是该椭圆的半长 轴与半短轴的平方！ 所以问题转化为求μ 的值。 将以上方程组中的第一式乘以 − 41 μ ，第二式乘以 − 41 μ ，第三式乘以1− μ 后 相加，得到 5

3(1-3/)=0。 分两种情况: 当1-34=0时,得 (2)当A=0时,原方程组就是 (1-)x=0, (1-4)y=0, (1-4)2=0, x+y+==0 x2+y2+4z2-1=0 此时μ=1(否则从以上方程组的第一,第二和第四式得到x=y=z=0,这不是 椭圆上的点)。 于是得到该椭圆的半长轴为1,半短轴为1,面积为z。 许多实际问题并不需要完全解出方程组来求得最值,上述解法是一种常用的 方法,可以使解决问题的方法与计算简化。 例3求函数f(x,y)=ax2+2bxy+cy2(b2-ac0)在闭区域 D={(x,y)|x2+y2≤l}上的最大值和最小值。 解首先考察函数∫在D的内部(x,y)x2+y20。而f>0,所以()点是函数f 的极小值点,极小值为f(00)=0。 再考察函数∫在D的边界{(x,y)x2+y2=l}上的极值,这是条件极值问题 为此作 Lagrange函数 L(x,y,4)=ax2+2bxy+cy2-(x2+y2-1) 并得方程组 (a-d)x+by=0 bx +(c-d)y=0 y2-1=0 将方程组中的第一式乘以x,第二式乘以y后相加,再用第三式代入就得到 f(x,y)=ax2+2bxy+gy2=1(x2+y2)=, 这说明∫(x,y)在{(x,y)|x2+y2=l}上的极大值与极小值包含在方程组关于A的 解中。下面来求λ的值 由联立方程组中的x2+y2-1=0,可知二元一次方程组 a-A)x+by=0 有 bx+(c-d)y

λ − μ = 0)31(3 。 分两种情况： （1） 当 μ =− 031 时，得 3 1 μ = 。 （2） 当λ = 0 时，原方程组就是 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =++ =− =− =− .014 ,0 ,0)41( ,0)1( ,0)1( 222 zyx zyx z y x μ μ μ 此时μ = 1（否则从以上方程组的第一，第二和第四式得到 = zyx == 0 ，这不是 椭圆上的点）。 于是得到该椭圆的半长轴为 1，半短轴为 3 1 ，面积为 3 π 。 许多实际问题并不需要完全解出方程组来求得最值，上述解法是一种常用的 方法，可以使解决问题的方法与计算简化。 例 3 求函数 （ ）在闭区域 上的最大值和最小值。 2 2 2),( ++= cybxyaxyxf 0,,;0 2 }1|),{( 22 D = yxyx ≤+ 解 首先考察函数 在 D 的内部 的极值，这是无条件极值 问题。为此解线性方程组 f }1|),{( 22 yxyx −= f xx > 0 )0,0( f f = 0)0,0( 。 再考察函数 在 D 的边界 上的极值，这是条件极值问题。 为此作 Lagrange 函数 f }1|),{( 22 yxyx =+ 2),,( )1( 2 2 22 λ λ yxcybxyaxyxL −+−++= ， 并得方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+ =−+ =+− .01 ,0)( ,0)( 22 yx ycbx byxa λ λ 将方程组中的第一式乘以 x，第二式乘以 后相加，再用第三式代入就得到 y 2),( λ )( =+=++= λ 2 2 22 yxcybxyaxyxf ， 这说明 yxf ),( 在 yxyx 22 =+ }1|),{( 上的极大值与极小值包含在方程组关于λ 的 解中。下面来求λ 的值。 由联立方程组中的 yx 22 =−+ 01 ，可知二元一次方程组 有 ⎩ ⎨ ⎧ =−+ =+− 0)( 0)( ycbx byxa λ λ 6

非零解,因此系数行列式等于零,即 2-(a+c)2+ac-b2=0 解这个关于A的方程,得到 2ka+c)+v(a+c)2 (注意根号中(a+c)2-4(ac-b2)=(a-c)2+4b2>0)。 由于连续函数∫在紧集{(x,y)x2+y2=l}上必可取到最大值与最小值,因此 f在D的边界上的最大值为 +c)+y(a+c)2-4ac-b2) 最小值为 4(ac-b 再与∫在D内部的极值f(0,0)=0比较,就得到∫在D上的最大值为 max210=a+c)+(a+c2-4ae-b2) 最小值为 min2,0}=0。 例4设a>0,a1>0(i=1,2,…,n)。求n元函数 fo 在约束条件x1+x2+…+xn=a(x1>0.,i=12…,n)下的最大值。 解作辅助函数 g(x1,x2…,xn)=lnf(x1,x2…xn)=a1nx1+a2lnx2+…+ a In x, 因为函数nu严格单调,所以只要考虑函数g的极值就可以得到∫的极值。 作 Lagrange函数 L=a,Inx, +a2 Inx,+.+a, Inx-2(x,+x2+.+x-a) 由极值的必要条件得到 aL_互-元=0,i=1,2,…,n, ax x1+x,+… 由前n个方程得到x=马,i=12…,n,再代入最后一个方程得到 a, +a 所以 ,i=12 a1+a,+…+a 于是(x1,x2,…,xn)是函数g的唯一可能条件极值点。由于

非零解，因此系数行列式等于零，即 )( 0 2 2 λ λ bacca =−++− 。 解这个关于λ 的方程，得到 [ ])(4)()( 2 1 2 2 λ −−+±+= baccaca （注意根号中 2 2 bcabacca 22 >+−=−−+ 04)()(4)( ）。 由于连续函数 在紧集 上必可取到最大值与最小值，因此 在 D 的边界上的最大值为 f }1|),{( 22 yxyx =+ f [ ])(4)()( 2 1 2 2 1 λ −−+++= baccaca ； 最小值为 [ ])(4)()( 2 1 2 2 λ2 −−+−+= baccaca 。 再与 在f D 内部的极值 f = 0)0,0( 比较，就得到 在f D 上的最大值为 1 }0,max{ =λ [ )(4)()( ] 2 1 2 2 −−+++ baccaca ； 最小值为 0}0,min{λ2 = 。 例 4 设 aa i >> 0,0 （ ）。求 = L,,2,1 ni n元函数 n a n aa n L Lxxxxxxf 21 21 21 ),,,( = 在约束条件 21 L n =+++ axxx （ nixi > = L,,2,1,0 ）下的最大值。 解 作辅助函数 n n nn 21 L = 21 L = + lnln),,,(ln),,,( 2211 +L+ ln xaxaxaxxxfxxxg ， 因为函数 严格单调，所以只要考虑函数 lnu g 的极值就可以得到 的极值。 f 作 Lagrange 函数 lnln (ln ) 2211 ++= L+ nn − λ + 21 +L+ n − axxxxaxaxaL 。 由极值的必要条件得到 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ ==−= ∂ ∂ . ,,,2,1,0 21 axxx ni x a x L n i i i L λ L 由前 个方程得到 n λ i i a x = ， ，再代入最后一个方程得到 = L,,2,1 ni a aaa + + + n = 21 L λ ， 所以 n i i aaa aa x +++ = 21 L ， = L,,2,1 ni 。 于是 21 L xxx n ),,,( 是函数 的唯一可能条件极值点。由于 g 7

a-L x,,a) ox ox 22:3*n an 为负定矩阵,由定理2可知(x1x2…xn)为g的条件极大值点。它也是∫的唯 条件极大值点,显然它就是∫的条件最大值点。于是∫在约束条件下的最大值为 (a1+a2+…+an a1+a2+…+an 特别地,当a1=a2=…=an=1及a=1时,∫的最大值为 即当 n x1+x2+…+xn=1及x,>0(i=1,2,…,n)时成立 x 对于任意正数y1y2…,yn,只要令 y1+y2 就得到 y 1yx+y2+…+yn=(n yy2…yS2+ 这就是熟知的平均值不等式。 4 注意点 应用 Lagrange乘数法求解条件极值问题,产生的方程组变量个数可能比较大, 似乎解这个方程组往往是很困难的。但注意我们可以利用变量之间的关系(也就 是问题给出的条件),找到解方程组的简便的方法,而不要用死板的方法去解方 程组

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ × 2 2 2 2 2 1 1 21 2 0 0 0 0 00 ),,,,( n n nn n lk x a x a x a xxx xx L L O M M L L λ 为负定矩阵，由定理 2 可知 21 L xxx n ),,,( 为 g 的条件极大值点。它也是 的唯一 条件极大值点，显然它就是 的条件最大值点。于是 在约束条件下的最大值为 f f f ∏= +++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ n i aaa n a n aa a n i n n i aaa a aaa aaa aa 1 21 21 21 21 21 L L L L 。 特别地，当 21 L === aaa n = 1 及 a = 1 时， f 的最大值为 n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 ，即当 21 L xxx n =+++ 1及 i > = L nix ),,2,1(0 时成立 n n n xxx ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ 1 21 L 。 对于任意正数 21 L,,, yyy n，只要令 n i i yyy y x +++ = 21 L （ = L,,2,1 ni ）， 就得到 n n i n i nyyy y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∏= +++ 1 1 21 L ， 即 n yyy yyy n n n + + + ≤ L L 21 21 。 这就是熟知的平均值不等式。 4． 注意点 应用 Lagrange 乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较大， 似乎解这个方程组往往是很困难的。但注意我们可以利用变量之间的关系（也就 是问题给出的条件），找到解方程组的简便的方法，而不要用死板的方法去解方 程组。 8