第九章定积分 第九章定积分 81定积分概念 1.按定积分定义证明:kax=k(b-a) 证(1)设e>0,对[a,b]的任一分割 T: a= x0<x1<"<xm1<x=b 属于T的所有积分和 ∑(T)=∑k(x-x-1)=k(b-a) 从而 1∑(T)-k(b-a)|=1k(b-a)-k(b-a)|=0<e 据定积分定义知kdx=k(b-a) 2.通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集e},把定积分看 作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分: (1)xdx提示:2=42(+12 (2) e'dx: (3)edx (4).2(0<a<b).(提示:=√x-1x) 解(1)S=lin 1 (2)即为下面(3)中a=b=0倩形 (3)对[a,b]的任意一个分割T,由微分学中值定理知:在[x-1,x 上存在,使
§1定积分概念 从而 ∑E△x=∑(-1=-e 对属于分割T的所有积分和∑(T),都有 1∑、(T)-(e-e") ∑的△x-∑e△ =1∑e(-)△x1(n在与出之间) ≤eH‖T‖△x ‖T‖e(b-a) 故对任给E>0,取8∠c(b-a)对[a,b上的任意分割T,当 lT‖<8,便有∑(T)-(e-e)|<e所以 idx =e-e (4)对[a,b]上的任意一个分割T: a=x<x1<…<xn=b 取=√x-1x,i=1,…,n,则 互二x1=S(1-1)=1 从而对属于分割T的所有积分和,都有 1∑(T)-(1-1)1
第九章定积分 示(-△1(n位于与之间) T‖△x≤T‖(b-a) 故对任给e>0,取8<,对[a,b]上的任意分割T当‖T <8时,便有!∑(T)-( 1<ε,所以 §2牛顿一莱布尼兹公式 1.计算下列定积分 (1)(2x+3)dx (2) dx e d (5).tan'xdx; )+r (8)1(mx)2dx 1.解(1)原式=(x2+3x)=4 (2)原式=8(1+12)=(x+20)1=2 (3)原式= InIn I=ln2 (4)原式=1 (c+e)=2(e+-2) (5)原式=「5(m2x-1x=(mmx-x)语=3-T 9 (6)原式=(x3+2x=44
§3可积条件 (7)令x=t2,则原式= dt=2(1 =2(t-ln11+th)=4-2ln3 (Inx)d 2.利用定积分求极限: (1)lim1(1+23+…+n3) (3)m叫n2+1n2+2+…,(n+n)2 (n+1)2+ n(5nn+sin+…+sin卫 (4)lm1 2解(1)令J={m·,可以看出这和式是函数在区 间[0,1]上的一个积分和,所以 (2)原式=lim[ (1+1 (1+x)2 b=1 (3)原式=tmn +…+-1 (1)2 n1+x2=平 4)原式=1m(m0+m+
第九章定积分 §3可积条件 1.证明:若T是T增加若干个分点后所得的分割,则 证由性质2,S(T)≤S(T),S(T)≥S(T) 从而S(T)-S(T)≤S(T)-S(T) 即∑a4△x≤∑a△x 2证明:若f在[a,b]上可积,aC[a,b],则f在[a,]上也可 积 证由定理93,因[a,]C[a,b],显然 3.设f,g均为定义在[a,b]上的有界函数证明:若仅在[a,b]中有 限个点处f(x)≠g(x),则当f在[a,b]上可积时,g在[a,b]上也可积, 且(x)dx=g(x 证设F=g-f,则F是[a,b]上只有有限个点处不为零的函数 由定理9.5,F在[a,b]上可积,且对[a,b]上任何分割T,取每个 的介点E,使F(G)=0,就有 ∑F(E)△x 由F在[a,b]上的可积性,知 F=n2F(后)△x=0 又对任意T,和每个△1上的任意一点 ∑g()△x=∑(g()-)△x+∑f(")△x =∑F(")△x+∑f()△x 由F,f在[a,b]上可积,令‖T‖→0,右端两式极限都存在,从而 左端极限也存在,故g在[a,b]上也可积,且
84定积分的性质 4.设f在[a,b]上有界,{an}c[a,b], Lima=c.证明:若f在[a, b]上只有an(n=1,2,…)为其间断点,则f在[a,b]上可积 证设c∈(a,b),f在[a,b]上的振幅为a,任给>0(N时,an∈U(c, 4),从而在a,c-4Utc+L,上至多只有有限个间断点由定 理9.5,93知存在[a,c-42,e+cb]上的分割T,T使得 x<,△x< 记T为T,r的分点并添上点c-4,c+4作成的[a,b]上的分 割,则有 2x≤叫△x+叫+一+)+△x < 由定理9.3知:f在[a,b]上可积 5.证明:若f在区间△上有界,则 g(x)-2(x)=、1f(x)-(x)1 84定积分的性质 1.证明:若f与g在[a,b]上可积,则 ∑()g(n)△x 其中,是△;内的任意两点T={△},i=1,2,…,n. 证f与g在[a,b]上可积,由定理91知f,g在[a,b]上有界,且g 在[a,b]上可积,设f(x)|<M,x∈[a,b],则对[a,b]上任意分割T 有
第九章定积分 ∑()g(n)△x =∑G)(g(G)+g(n)-g()△x f()g()△x+∑(:)o△x 所以1yx-8(△x≤M△x 令‖'T‖→0,右端极限为0,从而 f(G)g(G)△x=g 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小 (2)xdx与 sin xdx 解(1)因为在(0,1)上,x2<x,所以 xdx<.xdx (2)因为在(0,]上six<x,所以 3.证明下列不等式 (1)5< (2)1<exdx< X (3)1<2x< (4316<xd<6 证(1)因为1< 1-1cn2 2,x∈(O,)所以
s4定积分的性质 (2)因为1=e0 证由f在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,则必彐点x∈[a, b],使f(x0)≠0,则由f的连续性,知存在(x-8,x+8)使在(x-8, x+6)上f(x)≠0 则(x)=P+”P+P=p+0>0 注:若x为a或b,可取单侧邻域 5.设f与g都在[a,b]上可积,证明 Mx)=21x,g(x),m(x)=21(x),g(x) 在[a,b]上也都可积 证由于f(x),g(x)可积,f(x)±g(x)在[a,b]上也可积,由上1
第九章定积分 f(x)±g(x)|在[a,b]上也可积,又 M(x) f(x)+g(x)+1f(x)-g(x)1 m(x)=f(x+g(x-lf(x-g(x, 且可积函数的和,差,数乘仍可积,所以M(x),m(x)在[a,b]上均可 7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足{(x)}≥m>0.证明 在[a,b]上也可积 证因f可积,对任给c>0,必存在某一分剖T使得∑a△x< m2e.设x,x是属于分割T的小区间△上的任意两点,则 1-1x=f(x)-f(x2 f(x) f(x) 用表示在△上的振幅则有≤所以 故在[a,b]上也可积 进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理98)中的 中值点∈(a,b) 证若m=M,则f(x)≡m,x∈[a,b],则可取为[a,b]上任意 点若m<M,此时必有 m(b-a)< f(x)dx< M(b-a) 若上述不等式任意一个取等号,例如若m(b-a)=|(x)dx,则 (f(x)-m)dx=0,而f(x)-m≥0,必有f(x)≡m,对x∈[a,b],矛 盾故E∈(a,b)
§4定积分的性质 9证明若f与g都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M、 m分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界则必存在某实数(m≤H≤ M),使得 f(x)g(x)dx=pg(x)dx 证不妨设g(x)>0(g(x)<0情形类似)因在[a,b]上,m≤ f(x)≤M,从而 g(x)dx≤f(x)g(x)dx≤Mg(x)dx f(xg(x)dx g(x)dx 故必存在p∈m,M],使(x)g(x)dx=g(x)dx 10.证明若f在anb]上连续,且(x)kx=x(x)x=0,则在 (a,b)内至少存在两点x1、x,使f(x1)=(x)=0.又若x(x)dkx= 0,这时f在(a,b)内是否至少有三个零点? 证由f=0知在(ab)内存在零点设在(a,b)内只有一点 ,使f(x1)=0,则由 可得 f≠0 又因f在[a,x1]与[x1,b]每个区间内不变号,故由推广的积分第 中值定理
