第九章定积分 第九章定积分 81定积分概念 1.按定积分定义证明:kax=k(b-a) 证(1)设e>0,对[a,b]的任一分割 T: a= x0
§1定积分概念 从而 ∑E△x=∑(-1=-e 对属于分割T的所有积分和∑(T),都有 1∑、(T)-(e-e") ∑的△x-∑e△ =1∑e(-)△x1(n在与出之间) ≤eH‖T‖△x ‖T‖e(b-a) 故对任给E>0,取8∠c(b-a)对[a,b上的任意分割T,当 lT‖
第九章定积分 示(-△1(n位于与之间) T‖△x≤T‖(b-a) 故对任给e>0,取8
§3可积条件 (7)令x=t2,则原式= dt=2(1 =2(t-ln11+th)=4-2ln3 (Inx)d 2.利用定积分求极限: (1)lim1(1+23+…+n3) (3)m叫n2+1n2+2+…,(n+n)2 (n+1)2+ n(5nn+sin+…+sin卫 (4)lm1 2解(1)令J={m·,可以看出这和式是函数在区 间[0,1]上的一个积分和,所以 (2)原式=lim[ (1+1 (1+x)2 b=1 (3)原式=tmn +…+-1 (1)2 n1+x2=平 4)原式=1m(m0+m+
第九章定积分 §3可积条件 1.证明:若T是T增加若干个分点后所得的分割,则 证由性质2,S(T)≤S(T),S(T)≥S(T) 从而S(T)-S(T)≤S(T)-S(T) 即∑a4△x≤∑a△x 2证明:若f在[a,b]上可积,aC[a,b],则f在[a,]上也可 积 证由定理93,因[a,]C[a,b],显然 3.设f,g均为定义在[a,b]上的有界函数证明:若仅在[a,b]中有 限个点处f(x)≠g(x),则当f在[a,b]上可积时,g在[a,b]上也可积, 且(x)dx=g(x 证设F=g-f,则F是[a,b]上只有有限个点处不为零的函数 由定理9.5,F在[a,b]上可积,且对[a,b]上任何分割T,取每个 的介点E,使F(G)=0,就有 ∑F(E)△x 由F在[a,b]上的可积性,知 F=n2F(后)△x=0 又对任意T,和每个△1上的任意一点 ∑g()△x=∑(g()-)△x+∑f(")△x =∑F(")△x+∑f()△x 由F,f在[a,b]上可积,令‖T‖→0,右端两式极限都存在,从而 左端极限也存在,故g在[a,b]上也可积,且
84定积分的性质 4.设f在[a,b]上有界,{an}c[a,b], Lima=c.证明:若f在[a, b]上只有an(n=1,2,…)为其间断点,则f在[a,b]上可积 证设c∈(a,b),f在[a,b]上的振幅为a,任给>0(N时,an∈U(c, 4),从而在a,c-4Utc+L,上至多只有有限个间断点由定 理9.5,93知存在[a,c-42,e+cb]上的分割T,T使得 x
第九章定积分 ∑()g(n)△x =∑G)(g(G)+g(n)-g()△x f()g()△x+∑(:)o△x 所以1yx-8(△x≤M△x 令‖'T‖→0,右端极限为0,从而 f(G)g(G)△x=g 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小 (2)xdx与 sin xdx 解(1)因为在(0,1)上,x2
s4定积分的性质 (2)因为1=e0 证由f在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,则必彐点x∈[a, b],使f(x0)≠0,则由f的连续性,知存在(x-8,x+8)使在(x-8, x+6)上f(x)≠0 则(x)=P+”P+P=p+0>0 注:若x为a或b,可取单侧邻域 5.设f与g都在[a,b]上可积,证明 Mx)=21x,g(x),m(x)=21(x),g(x) 在[a,b]上也都可积 证由于f(x),g(x)可积,f(x)±g(x)在[a,b]上也可积,由上1
第九章定积分 f(x)±g(x)|在[a,b]上也可积,又 M(x) f(x)+g(x)+1f(x)-g(x)1 m(x)=f(x+g(x-lf(x-g(x, 且可积函数的和,差,数乘仍可积,所以M(x),m(x)在[a,b]上均可 7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足{(x)}≥m>0.证明 在[a,b]上也可积 证因f可积,对任给c>0,必存在某一分剖T使得∑a△x
§4定积分的性质 9证明若f与g都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M、 m分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界则必存在某实数(m≤H≤ M),使得 f(x)g(x)dx=pg(x)dx 证不妨设g(x)>0(g(x)