第22章曲面积分 基本概念 、第一型曲面积分的定义 设S是空间中可求面积的曲面,f(x,y,)为定义在S上的函数。把S分割为n个小曲面S(i=1,…,n) ,以△S,记小块曲面的面积,分割7的细度=maxS的直径,在S,上任取一点(51,n,5)(1=1…,n), 若极限 ∑∫(51,n25;S 存在,且与分割T与(51,”,5)(i=1,…,n)的取法无关,则称此极限为∫(x,y,)在S上的第一型曲面 积分,记作f(x,y:S 2、第一型曲面积分的计算 定理1设有光滑曲面S:=x(x,y),(x,y)∈D,f(x,y,=)为S上的连续函数,则 f(,y, =dds=llf( yx)+=:+=:h 3、第二类曲面积分的计算 定理2设R是定义在光滑曲面S:z=x(x,y),(x,y)∈Dx上的连续函数,以S的上侧为正侧(这时 S的法线方向与z轴正向成锐角),则有 f(x, y, =ds=lIf(x,y, =(x, y)dxdy auss公式 定理3设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成。若函数P,Q,R在V上连续,且有一阶连 续偏导数,则 op a0 aR +1+odxdyd-= Pdyd-+ Oded+ Rdxdy 其中S取外侧。 、 Stokes公式
第 22 章 曲面积分 一、基本概念 1、第一型曲面积分的定义 设 S 是空间中可求面积的曲面， 为定义在 上的函数。把 分割为n 个小曲面 （i f (x, y,z) S S S i = 1,L, n ） ，以 ∆Si 记小块曲面的面积，分割T 的细度 { i 的直径} i n T S ≤ ≤ = 1 max ，在 上任取一点 ) Si , , i i i （ξ η ς （i = 1,L, n ）， 若极限 i n i i i i T ∑ f ∆S = → 1 0 lim (ξ ,η ,ς ) 存在，且与分割T 与 , , ) i i i （ξ η ς （ ）的取法无关，则称此极限为 在 上的第一型曲面 积分，记作 。 i = 1,L, n f (x, y,z) S ∫∫ S f (x, y,z)dS 2、第一型曲面积分的计算 定理 1 设有光滑曲面 S ： z = z(x, y) ，(x, y) ∈ D ， f (x, y,z) 为 S 上的连续函数，则 f x y z ds f x y z x y z z dxdy D x y S ∫∫ ∫∫ = + +2 2 ( , , ) ( , , ( , )) 1 3、第二类曲面积分的计算 定理 2 设 R 是定义在光滑曲面 ： ， 上的连续函数，以 的上侧为正侧（这时 的法线方向与 轴正向成锐角），则有 S z = z(x, y) Dxy (x, y)∈ S S z f x y z ds f x y z x y dxdy S Dxy ∫∫ ∫∫ ( , , ) = ( , , ( , )) 4、Gauss 公式 定理 3 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成。若函数 P ，Q ， R 在V 上连续，且有一阶连 续偏导数，则： ∫∫∫ ∫∫ = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ V S dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x p ( ) 其中 S 取外侧。 5、Stokes 公式
定理4设S是R3中的光滑曲面,S的边界L是了按段光滑的连续曲线。若函数P,O,R在V上连 续,且有一阶连续偏导数,则: dydz dex dxdy 202“2+Qb+贴在 、基本方法 利用/(x,=x=/(x,(x)+2+b和(xy,=(xy,(xy)Md 两个公式计算第一型和第二型曲面积分 2、利用 Gauss公式计算三维积分 3、利用 Stokes公式计算曲面积分 三、基本要求 1、掌握求第一型和第二型曲面积分的方法; 2、会用 Gauss公式和 Stokes公式计算曲面积分。 四、典型例题 例1求(x+y+)△S,其中S是上半球面x2+y2+2=a2,=20 解根据对称性,∫x4=』ys=0,只要计算∫即可。由 ,所以‖(x+y+)dS=a d v= a va -x-y va --) 例2计算(x+y)dd+(y+)zx+(z+x)xd,其中S是以原点为中心,边长为2的立方体表 面并取外侧为正向 解分析:观察积分结构及曲面S的图形知,x、y、z两两对称,由对称性知,只需计算其中之一即可 由(x+y)=」小(+y-」d(-1+y) =2(1+y)d-2(y-1)dy=8 故|(x+y)dz+(y+)dax+(+x)ddy=3×8=24
定理 4 设 是 R3 S 中的光滑曲面， S 的边界 L 是了按段光滑的连续曲线。若函数 P ，Q ， R 在V 上连 续，且有一阶连续偏导数，则： ∫∫ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ S P Q R x y z dydz dzdx dxdy = ∫ 。 ∂ + + D Pdx Qdy Rdz 二、基本方法 1、利用 f x y z ds f x y z x y z z dxdy D x y S ∫∫ ∫∫ = + +2 2 ( , , ) ( , , ( , )) 1 和 两个公式计算第一型和第二型曲面积分； f x y z ds f x y z x y dxdy S Dxy ∫∫ ∫∫ ( , , ) = ( , , ( , )) 2、利用 Gauss 公式计算三维积分； 3、利用 Stokes 公式计算曲面积分。 三、基本要求 1、掌握求第一型和第二型曲面积分的方法； 2、会用 Gauss 公式和 Stokes 公式计算曲面积分。 四、典型例题 例 1 求 ∫∫ + + ，其中 是上半球面 ， 。 S (x y z)dS S 2 2 2 2 x + y + z = a z ≥ 0 解 根 据 对 称性， ∫∫ ＝ ＝ 0 ，只要 计 算 即 可 。 由 S xdS ∫∫ S ydS ∫∫ S zdS 2 2 2 z = a − x − y ， 2 2 2 a x y x z x − − − = ， 2 2 2 a x y y z y − − − = ，所以 。 3 2 2 2 (x y z)dS a dxdy a S x y a + + = = π ∫∫ ∫∫ + ≤ 例 2 计算 ，其中 是以原点为中心，边长为 2 的立方体表 面并取外侧为正向。 ∫∫ + + + + + S (x y)dydz ( y z)dzdx (z x)dxdy S 解 分析：观察积分结构及曲面 S 的图形知，x、y、z 两两对称，由对称性知，只需计算其中之一即可。 由 ∫∫ ∫− ∫− ∫− ∫− + = + − − + 1 1 1 1 1 1 1 1 (x y)dydz dy (1 y)dx dy ( 1 y)dz S 2 (1 ) 2 ( 1) 8 1 1 1 1 = + − − = ∫− ∫− y dy y dy 故 ∫∫ + + + + + ＝ S (x y)dydz ( y z)dzdx (z x)dxdy 3×8＝ 24
例3证明:若S为封闭曲面,为任何固定方向,则手coyS=0,其中n为曲面S外法线方向 证设n和/的方向余弦为cosa,cosB,cosy和cosa,cosB,cosy,则cos(n,D)= cos a cosa +cos p cos B+ cos y cosy, frl Hcos(n, )ds=h( cos a cos a+ cos B cos B +cos y cosy) ds icosa dyd=+ cos B d=dx+cosy'drdy 又因/的方向固定,P=cosa,Q=cosβ,R=cosy都是常数,故-+ =0,由奥高公式 dy az 原式=Ph+gdcx+Rtdh +) dxdydz=0。 五、自测题 1.利用高斯公式求下列积分 1)‖x2dhz+yazd+-2 dxdy,其中 (a)S为立方体0≤x,y,z≤a的边界曲面外侧 (b)S为锥面x2 z2(0≤z≤h),下侧 2)Jx+ y dzdx+2dh,其中S是单位球面的外侧 3)设S是上半球面z=a2-x2-y2的上侧,求 (b)Jx'dyd:+(ry-22)d=dx+(2xy+y2=)drdy -2dvdy x dzdx y2)dh,S是 (x-a)2+(y-b)+(2-c)=R2的外侧 2.用斯托克斯公式计算下列积分: 1)x2y3ax+d+z,其中 (a)L为圆周 0,方向是逆时针 (b)L为y2+2=1,x=y所交的椭圆,从x轴正向看去,按逆时针方向; 2)5(y-)+(2-x)dh+(x-y)d,其中L是从(a00)经(0.a0)至(00a)回到(a100) 角形
例 3 证明：若 S 为封闭曲面，l 为任何固定方向，则 cos( , ) = 0 ∫∫ S n l dS ，其中 n 为曲面 S 外法线方向。 证 设n 和l 的方向余弦为cosα ，cos β ，cosγ 和 ， ， ，则 ＋ ＋ ，所以 ' cosα ' cos β ' cosγ ' cos(n,l) = cosα cosα ' cos β cos β ' cosγ cosγ ∫∫ ∫∫ = S S cos(n,l)dS ( ' cosα cosα ＋ ＋ ） ' cos β cos β ' cosγ cosγ dS dydz dzdx dxdy S ' ' ' = cosα + cosβ + cosγ ∫∫ 外 又因l 的方向固定， P = cosα' ， ， 都是常数，故 ' Q = cos β ' R = cosγ = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z R y Q x P ，由奥高公式， 原式 ∫∫ ∫∫∫ = + + = S V Pdydz Qdzdx Rdxdy ( z R y Q x P ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ） dxdydz = 0。 五、自测题 1．利用高斯公式求下列积分： 1) 2 2 2 S x dydz + + y dzdx z dxdy ∫∫ ，其中 (a) S 为立方体0 , ≤ x y z, ≤ a 的边界曲面外侧； (b) S 为锥面 2 2 2 x + = y z (0 ≤ z ≤ h) ，下侧． 2) 3 3 3 S x dydz + + y dzdx z dxdy ∫∫ ，其中 S 是单位球面的外侧； 3）设 S 是上半球面 2 2 z a = − x − y 2 的上侧，求 (a) S xdydz + + ydzdx zdxdy ∫∫ ， (b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 S xz dydz + − x y z dzdx + xy + y z dxdy ∫∫ ； 4) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 S x − + y z dydz + y − z + x dzdx + z − x + y dxdy ∫∫ ， S 是 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x − + a y − b + z − c = R 的外侧． 2． 用斯托克斯公式计算下列积分： 1) ∫ + + L 2 3 x y dx dy zdz ，其中 (a) L 为圆周 ，方向是逆时针， 2 2 2 x y + = a ,z = 0 (b) L 为 所交的椭圆，从 轴正向看去，按逆时针方向； 2 2 y z + =1, x = y x 2) ∫ − + − + − L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ，其中 L 是从(a,0,0) 经(0,a,0) 至(0,0,a) 回到(a,0,0) 三角形；
3)5(y2+2)d+(x2+x2+(x2+y2)t=,其中 (a)L为x+y+z=1与三坐标轴的交线,其方向与所围平面区域上侧构成右手法则 (b)L是曲线x2+y2+22=2Rx,x2+y2=2nx(00),它的方向与所围曲面的上侧构成 右手法则 4)5地+z+h,L是x2+y2+=2=a,x+y+=0,从x轴正向看去圆周是逆时针方向 3.计算高斯积分 其中S为简单封闭光滑曲面,n为曲面S上在点(5,n)处的外法向 -1+(7-)1(-=)kr=y1.试对下列两种情形进行讨论 1)曲面S包围的区域不含(x,y,)点 2)曲面S包围的区域含(x,y,)点 +求证:订的=手N,其中S是包围的分片光滑封闭曲面,N为S的外法线方 向.R=(x,y,,r=分下列两种情形讨论:()F中不含原点(0,0,0:(2)F中含原点(0,0,0) 时,令 dxdvdz dxdyd= 其中V是以原点为心,以E为半径的球 E→ 利用高斯公式变换以下积分: 0)bb++y:(a cosa+=cos月+ cosy ds ay 其中cosa,cos尸,cosγ是曲面的外法线方向余弦 6.设u(x,y),v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数,并设△ n22 证明「△udnb=/ ds。其中σ为闭曲线l所围的平面区域 为沿/外法线的方向导数 7.设△n=02ut+2,S是V的边界曲面,证明: △ udxdyd=dS
3) ∫ + + + + + L 2 2 2 2 2 2 ( y z )dx (z x )dy (x y )dz ，其中 (a) L 为 x + +y z =1与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则， (b) L 是曲线 ，它的方向与所围曲面的上侧构成 右手法则； 2 2 2 2 2 x y + + z = 2 , Rx x + y = 2rx(0 0) 4) ∫ + + L ydx zdy xdz ， L 是 ，从 轴正向看去圆周是逆时针方向． 2 2 2 2 x y + + z = a , x + y + z = 0 x 3．计算高斯积分 ( ) 2 cos , S dS r r n ∫∫ 其 中 S 为 简单封 闭光滑 曲面， n 为曲面 S 上在点 (ξ, , η ζ ) 处 的 外 法 向 ， r i = − ( ) ξ η x y +( − ) j+(ζ − z)k,r= r ．试对下列两种情形进行讨论： 1） 曲面 S 包围的区域不含( x, , y z)点； 2） 曲面 S 包围的区域含( x, , y z)点． 4．求证： (R N)dS r dxdydz V S ∫∫∫ ∫∫ = cos , 2 1 ，其中 是包围V 的分片光滑封闭曲面， 为 的外法线方 向． S N S R = ( x, , y z),r = R ．分下列两种情形讨论：(1) 中不含原点（0，0，0）；(2) 中含原点（0，0，0） 时，令 V V lim 0 V V V dxdydz dxdydz r r ε ε − = → + ∫∫∫ ∫∫∫ ，其中Vε是以原点为心，以ε 为半径的球． 5．利用高斯公式变换以下积分： (1) S xydxdy + + xzdzdx yzdydz ∫∫ ；(2) cos cos cos S u u u dS x y z α β γ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ， 其中cosα ，cos β ，cosγ 是曲面的外法线方向余弦． 6．设u x( ) , , y v ( x, y) 是具有二阶连续偏导数的函数，并设 2 2 2 2 u u u x y ∂ ∂ ∆ = + ∂ ∂ ． 证明 l u udxdy ds n σ ∂ ∆ = ∂ ∫∫ ∫ 。其中σ 为闭曲线l 所围的平面区域， , u v n n ∂ ∂ ∂ ∂ 为沿l 外法线的方向导数． 7．设 222 2 2 2 , uuu u x y z ∂∂∂ ∆ = + + ∂ ∂ ∂ S 是V 的边界曲面，证明： (1) V S u udxdydz dS n ∂ ∆ = ∂ ∫∫∫ ∫∫ ；
ay d=+[juAudrdyds 式中在V及其边界曲面S上有连续的二阶偏导数,一为沿曲面S的外法线的方向导数 8.计算下列曲面积分: ∫(x2-y2k+(y2 2)dzax+2(y-x)dc,其中Sx2y+2=1(x≥0)下侧: )j(x+cosy)d+(y+s)t+(=+osx),S是立体9的边界面,而立体由 x+y+z=1和三坐标面围成 F·ns,其中F=xi+y+二k,n是S的外 (二≥0)上侧 y= dyd- b2 x|d+|+xy)(s是 1(x≥0)后侧 9.证明由曲面S所包围的体积等于 aI(cosa+cos B+=cosy)ds 式中cosa,cosβ,cosy为曲面S的外法线的方向余弦 10.设P,Q,R有连续偏导数,且对任意光滑闭曲面S,有 Pdyd= +odEd+ Rdxdy=0 证明 0 1.设P(xy),Q(x,y)在全平面上有连续偏导数,而且以任意点(x,y)为中心,以任意正数r为半径 的上半圆l:x=x0+rcos6,y=y+ rsin e(0≤6≤x),恒有 ∫P(xy)a+Q(xy)= 求证:P(x,y)=0
(2) 2 2 2 S V V u u u u u dS dxdydz u udxdydz n x y z ⎡ ⎤ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ∆ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ⎣ ⎦ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ． 式中u 在V 及其边界曲面 S 上有连续的二阶偏导数， u n ∂ ∂ 为沿曲面 S 的外法线的方向导数． 8．计算下列曲面积分： (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 S x − + y dydz y − z dzdx + z y − x dxdy ∫∫ ，其中 S 是 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = (z ≥ 0)下侧； (2) ( ) cos ( cos ) ( cos ) , S x + + y dydz y + z dzdx + z + x dxdy S ∫∫ 是立体 Ω 的边界面，而立体 Ω 由 x + +y z =1和三坐标面围成； (3) S F⋅ndS ∫∫ ，其中 3 3 3 F = + x y i j + z k,n 是 S 的外法向，S 为 2 2 2 2 x + y z ＋ = a (z ≥ 0)上侧； (4) 3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 , S x y z yz dydz z x dzdx x y dxdy S a b c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫∫ 是 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = ( x ≥ 0) 后侧． 9．证明由曲面 S 所包围的体积等于 ( ) 1 cos cos cos 3 S V x = + α β y + z γ ∫∫ dS 式中cosα ，cos β ，cosγ 为曲面 S 的外法线的方向余弦． 10．设 P Q, , R 有连续偏导数，且对任意光滑闭曲面 S ，有 0 S Pdydz +Qdzdx + = Rdxdy ∫∫ 证明 0 PQR x y z ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ． 11．设 P x( ) , , y Q( x, y) 在全平面上有连续偏导数，而且以任意点( x0 , y0 ) 为中心，以任意正数 为半径 的上半圆l ： r 0 0 x x = + r cosθ , y = y + rsinθ (0 ≤ θ ≤ π ) ，恒有 ( , , ) ( ) l P x y dx + Q x y dy = 0 ∫ 求证： ( ) , 0, Q P x y 0 x ∂ ≡ ≡ ∂ ．