精品课程《数学分析》课外训练方案 第十四章幂级数 基本概念 1、定义(幂级数):形如 ∑c an(x-x0)”=a+a1(x-x0)+a2(x-x)2+ 的函数项级数称为幂级数。 特例:当x0=0,即在点零处展开的幂级数为 x+ax +. 若在(1)中令x-x0=1,则(1)化为(2)的形式,故研究幂级数,一般研究在点零处的展开幂级数 即可。幂级数形式上的特点:一般项为an(x-x0)”,从而所求的和是多项式(最简单函数),是一种比较简 单的数项级数,因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间(退化区间一一点)。又在收敛域内可任意 次逐项求导和求积等,这些优点使其成为一类最常用的级数 定理1幂级数∑a1(x-x)在x-xR内发散 推论:幂级数∑an(x-x)的收敛域为区间,幂级数∑an(x-x0)在 的内部(x0-R,x+R)内绝对收敛 幂级数的性质 性质1(阿贝尔第二定理):若∑an(x-x0)的收敛半径为R,则此级数在收敛域内部(x-R,x+R) 上内闭一致绝对收敛:在收敛域上内闭一致收敛 性质2:设幂级数∑an(x-x0)”的收敛半径为R,和函数为s(x),则和函数在收敛域 上连续,于收敛域内部(x-R,x0+R)上可以逐项积分和逐项微分,即对(x0-R,x+R)上任一点x,有 ∑∫a(-4y4=∑+1(x-x)”=0
精品课程《数学分析》课外训练方案 1 第十四章 幂级数 一、基本概念 1、定义（幂级数）：形如 （1） 2 0 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n a x x a a x x a x x ∞ = ∑ − = + − + − +L 的函数项级数称为幂级数。 特例：当 ，即在点零处展开的幂级数为 0 x = 0 （2） 2 0 1 2 0 n n n a x a a x a x ∞ = ∑ = + + +L 若在（1）中令 0 x − x = t ) ，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零处的展开幂级数 即可。幂级数形式上的特点：一般项为 ，从而所求的和是多项式（最简单函数），是一种比较简 0 ( n n a x − x 单的数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间（退化区间——点）。又在收敛域内可任意 次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。 定理 1 幂级数 0 在 0 ( )n n n a x x ∞ = ∑ − 0 x − x R 内发散。 推论：幂级数 0 的收敛域为区间 0 ( n n n a x x ∞ = ∑ − ) 0 0 ，幂级数 在 0 0 ( )n n n a x x ∞ = ∑ − 0 0 的内部 0 0 ( , x − R x + R) 内绝对收敛。 幂级数的性质： 性质 1（阿贝尔第二定理）：若 0 的收敛半径为 0 ( n n n a x x ∞ = ∑ − ) R ，则此级数在收敛域内部 0 0 ( , x − + R x R) 上内闭一致绝对收敛；在收敛域 0 0 上内闭一致收敛。 性质 2：设幂级数 0 的收敛半径为 0 ( n n n a x x ∞ = ∑ − ) R ，和函数为 s x( ) ，则和函数在收敛域 0 0 上连续，于收敛域内部 0 0 ( , x − R x + R) 上可以逐项积分和逐项微分，即对 0 0 ( , x − R x + R) 上任一点 x ，有 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 x x n n n n x x n n a a t t dt x x s t dt n ∞ ∞ = = − = − = + ∑ ∑ ∫ ∫
精品课程《数学分析》课外训练方案 an(x-x)]=∑man(x-x s(x 并且逐项求导和逐项积分后的级数(仍为幂级数),其收敛半径仍为R 、基本方法 1、用泰勒公式或其它简介方式将初等函数进行幂级数展开; 2、根式法求收敛级数的半径 三、基本要求 1、会用泰勒公式或其它简单方式将初等函数进行幂级数展开 2、会求幂级数的收敛半径 四、典型例题 例1用间接方法求非初等函数F(x)=ed的幂级数展开式 解以-x2代替ex展式中的x,得e 再逐 l!2!3 项求积就得到F(x)在(-∞,+∞)上的展开式 F(x) dt l!32!53!7 2+1 例2应用逐项求积方法求幂级数12x+2·3x2+…+n(n+1)x”+…的和函数,并指出其定义域 +2 解因 =1,且当x=±1时,级数发散,该级数的收敛域为(-1,1)。设其和函数为 f(x),则f(x)=∑mn+1)x",x∈(-1)。在收敛区域内逐项积分,得()d=x.m"=十 所 例3试将函数x按x二的幂展开为幂级数 x+1
精品课程《数学分析》课外训练方案 2 1 0 0 0 0 [ ( ) ] ( ) ( ) n n n n n n d d a x x na x x s x dx dx ∞ ∞ − = = ∑ ∑ − = − = 并且逐项求导和逐项积分后的级数（仍为幂级数），其收敛半径仍为 R 。 二、基本方法 1、用泰勒公式或其它简介方式将初等函数进行幂级数展开； 2、根式法求收敛级数的半径。 三、基本要求 1、会用泰勒公式或其它简单方式将初等函数进行幂级数展开； 2、会求幂级数的收敛半径。 四、典型例题 例 1 用间接方法求非初等函数 F x e dt 的幂级数展开式。 x t ∫ − = 0 2 ( ) 解 以 − x 2 代替e x 展式中的 x ，得 L +L − = − + − + + − ! ( 1) 1! 2! 3! 1 2 4 6 2 2 n x x x x e n n x ， 。再逐 项求积就得到 在 −∞ < x < ∞ F(x) (−∞,+∞) 上的展开式 L +L + − = − + − + + = + − ∫ ! 2 1 ( 1) 3! 7 1 2! 5 1 1! 3 1 ( ) 3 5 7 2 1 0 2 n x n x x x x F x e dt n n x t 例 2 应用逐项求积方法求幂级数 ⋅ + ⋅ +L+ + +L的和函数，并指出其定义域。 n 1 2x 2 3x n(n 1)x 2 解 因 1 2 lim lim 1 = + = →∞ + →∞ n n a a n n n n ，且当 x = ±1时，级数发散，该级数的收敛域为 。设其和函数为 ，则 ， 。在收敛区域内逐项积分，得 (−1,1) f (x) ∑ ∞ = = + 1 ( ) ( 1) n n f x n n x x ∈ (−1,1) 2 2 1 0 (1 ) ( ) x x f t dt x nx n n x − = ⋅∑ = ∫ ∞ = ， 所以 3 / 2 2 (1 ) 2 (1 ) ( ) x x x x f x − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ， x < 1。 例 3 试将函数ln x 按 1 1 + − x x 的幂展开为幂级数
精品课程《数学分析》课外训练方案 解因(=0+-c∑,n1-,1(x-1)2 n"x” (3) 2、证明∑(3+(-1)x”在(-,)绝对收敛,在其他点发散。 3、求下列幂级数的和函数 )21)-=63:立m,(3)-y2n;(4)2 4、求下列函数按x幂级数展开的 Taylor级数 6 ()sin-x (2)x-x+2) (3)ln(1-x-x2+x3)。 5、求y=ln(x+√l+x2)在x0=0的 Taylor展开 6、将一:(1)按x-1幂级数展开;(2)按幂级数展开 x+1
精品课程《数学分析》课外训练方案 3 解 因 [ ] 2 1 0 2 1 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 1 1 1 ln + ∞ = ∑ + = + − − = − + n n x n x x x x ， x < 1。所以 2 1 0 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ln 2ln + ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = + − − + − + = ∑ n n x x n x x x x x ， x < +∞ 。 五、自测题 1、求下列级数的收敛半径和收敛域。 （1） 1 n n x n ∞ = ∑ ； （2） ； （3） 1 n n n n x ∞ = ∑ 0 ! n n x n ∞ = ∑ 2、证明 0 (3 ( 1) ) n n n n x ∞ = ∑ + − 在 1 1 ( , 4 4 − ) 绝对收敛，在其他点发散。 3、求下列幂级数的和函数 （1） 1 1 ( 1) ( ) n n n x s x n ∞ − = ∑ − = ； (2) 2 ； （3） 1 n n nx ∞ = ∑ 2 1 0 ( 1) 2 1 n n n x n ∞ + = − + ∑ ； （4） 0 n n x n ∞ = ∑ 。 4、求下列函数按 x 幂级数展开的 Taylor 级数。 (1) 2 sin x ； (2) 6 ( 1 x x − + )( 2) ； (3) 2 3 ln(1− −x x + x ) 。 5、求 2 y x = + ln( 1+ x )在 的 Taylor 展开. 0 x = 0 6、将 1 x ：(1) 按 x −1幂级数展开；(2) 按 1 1 x x − + 幂级数展开
