精品课程《数学分析》课外训练方案 第十五章傅里叶级数 基本概念 Fourier级数定义:设f(x)是(-∞,+∞)上以2为周期的函数,且f(x)在[-r,r]上 绝对可积,称形如 ∑( a cos nx+ b sin nx) 的函数项级数为∫(x)的 Fourier级数(f(x)的 Fourier展开式),其中 4.=万.(x),4.=(0+=12… a(f(r)sin nxdx, n= l,2 称为f(x)的 Fourier系数,记为f(x)~+∑( a cos nx+ b sin nx) 说明:1)在未讨论收敛性,证明"+∑( (a, cos nx+b,smm)-致收敛到f(x)之前, 不能将“~”改为“=”;此处“~”也不包含“等价”之意,而仅仅表示 a+∑( a,cosnx+ b. sin nx)是f(x)的 Fourier级数,或者说∫(x)的 Fourier级数是 ∑( a cos nx+ b sin nx) 2)要求[-x,丌]上f(x)的 Fourier级数,只须求出 Fourier系数。 正弦级数和余弦级数定义:形如∑ b sin nx的三角级数函数项级数)称为正弦级数 形如+∑ a cos nx的三角级数(函数项级数称为余弦级数 注:(1)如果f(x)是以2n为周期的函数,在[-丌,]上绝对可积,若f(x)是奇函数, 则有f(x)-∑sinx:若f(x)是偶函数,则有f(x)-4+∑a1 cost (2)设∫(x)仅在[0,丌]上有定义,如果按奇函数的要求,补充定义
精品课程《数学分析》课外训练方案 第十五章 傅里叶级数 一、基本概念 Fourier 级数定义：设 f x( ) 是( , −∞ +∞) 上以 2π 为周期的函数，且 f x( ) 在[ , −π π ]上 绝对可积，称形如 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b n ∞ = + + ∑ x 的函数项级数为 f x( ) 的 Fourier 级数( f x( ) 的 Fourier 展开式)，其中 0 1 a f ( ) x dx 1 ( ) cos , 1, 2, n a f x nxdx n π π −π = = ∫ L π π −π = ∫ ， ， 1 ( )sin , 1, 2, n b f x nxdx n π π −π = = ∫ L 称为 f (x) 的 Fourier 系数，记为 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b ∞ = + ∑ + nx 。 说明：1）在未讨论收敛性，证明 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx ∞ = + ∑ + 一致收敛到 之前， 不能将“ ~ ”改为“ = ”；此处“ ~ ”也不包含“等价”之意，而仅仅 表 示 f x( ) 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b n ∞ = + + ∑ x 是 f x( ) 的 Fourier 级数，或者说 f x( ) 的 Fourier 级数是 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b n ∞ = + + ∑ x ] 。 2) 要求[ , −π π 上 f x( ) 的 Fourier 级数，只须求出 Fourier 系数。 正弦级数和余弦级数定义：形如 的三角级数(函数项级数)称为正弦级数； 形如 1 sin n n b n ∞ = ∑ x 0 1 cos 2 n n a a n ∞ = + ∑ x 的三角级数(函数项级数称为余弦级数。 注：（1）如果 f x( ) 是以 2π 为周期的函数，在[ , −π π ]上绝对可积，，若 是奇函数， 则有 f x( ) 1 ( ) ~ sin n n f x b ∞ = ∑ nx ；若 f (x) 是偶函数，则有 0 1 ( ) ~ cos 2 n n a f x a ∞ = + ∑ nx 。 （2）设 f x( ) 仅在[0,π ]上有定义， 如果按奇函数的要求，补充定义 1
精品课程《数学分析》课外训练方案 f(x)=-f(-x),x∈[-,0) 然后再作2丌周期延拓,必得奇函数,所得 Fourier级数必为正弦级数。对应地,补充定义 f(x)=f(-x),x∈[-x,0)后,再作2z周期延拓,必得偶函数,所得 Fourier级数必为余弦 级数 Fourier级数的复数表示形式: 设f(x)~+∑( an cosma+ b, sin nx)),则其复数表示形式为 f(x)~∑Cnem 其中,复的 Fourier系数C,= i_1 2r Jo /(x)e dr=c-n Riemann(黎曼)引理:设∫(x)在(有界或无界)区间上绝对可积,则 f(x) cos pxdx→0,「f(x) )sin pxd→>0(p→∞) 推论1:在[O,7]上绝对可积函数f(x)的 Fourier系数 fo X)cos xdx→0,(n→∞);bn f(x)sin=xdx→>0,(n→>∞)。 逐项积分定理:设周期为2的函数f(x)局部绝对可积且在[-r,]上 f(x)-+2(a, cos nx+b, sin nx) b 则一收敛,且逐项积分公式成立 「(M=2m+2amn+tsm) 注意:(1)以上是默认在[-丌,丌]上讨论的,一般的逐项积分公式为 ∫(oM=「2a+∑厂 (a, cos nt +b, sin nt )a
精品课程《数学分析》课外训练方案 f x( ) = − − f ( x), x ∈[−π ,0) 然后再作 2π 周期延拓，必得奇函数，所得 Fourier 级数必为正弦级数。对应地，补充定义 f x( ) = − f ( x), x ∈[−π ,0)后，再作 2π 周期延拓，必得偶函数，所得 Fourier 级数必为余弦 级数。 Fourier 级数的复数表示形式： 设 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b ∞ = + ∑ + nx ，则其复数表示形式为 ( ) ~ inx n f x C e +∞ −∞ ∑ ， 其中，复的 Fourier 系数 2 0 1 ( ) 2 2 n n inx n n a ib C f x e π π − dx C− − = = = ∫ 。 Riemann（黎曼）引理：设 f x( ) 在（有界或无界）区间 上绝对可积，则 ( ) cos 0 b a ∫ f x pxdx → ， ( )sin 0 。 b a ∫ f x pxdx → ( ) p → ∞ 推论 1：在[0,T]上绝对可积函数 f (x) 的 Fourier 系数 0 2 2 ( ) cos 0,( ) T n n a f x xdx n T T π = → → ∞ ∫ ； 0 2 2 ( )sin 0,( ) T n n x xdx n T T b f π = → → ∞ ∫ 。 逐项积分定理：设周期为 2π 的函数 f x( ) 局部绝对可积且在[ , −π π ]上 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b ∞ = + + ∑ nx ， 则 1 n n b n ∞ = ∑ 收敛，且逐项积分公式成立： 0 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 x x x n n n a f t dt dt a nt b nt dt ∞ = = + ∑ + ∫ ∫ ∫ 。 注意：（1）以上是默认在[ , −π π ]上讨论的，一般的逐项积分公式为： 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 x x x n n c c c n a f t dt dt a nt b nt dt ∞ = = + ∑ + ∫ ∫ ∫ ， 2
精品课程《数学分析》课外训练方案 其中c,x是[-x,丌]上任意两点;(2)逐项积分定理中,并没有要求∫(x)的 Fourier级数是 收敛的,但逐项积分后所得的级数总是收敛的:(3)并非每个三角技术都能成为局部绝对可 积函数的 Fourier级数 基本方法 1.利用定义将函数展开为傅立叶级数: 2.将以2l为周期的函数用收敛定理展开; 用贝赛尔定理证明关于级数部分和的有关问题。 三、基本要求 1.会将函数展开为傅立叶级数: 2.会展开周期为2/的傅立叶级数 3.会用贝赛尔定理证明关于级数部分和的问题。 四、典型例题 例1将函数f(x)= x二x展开为傅立叶级数。 解 - dx=o, a cos ndx=0 2 2 sin xdx=-,n=1,2,…,所以在区间(0,2x)上 丌-x f(x) sin nx 例2将函数f(x)=-x,在[O,r]上展开为余弦级数。 C-xdx=0 20(-x)cos nx 0,当n为偶数时 (cos nx 当n为奇数时 A 由收敛定理及∫(x)延拓后连续知,f(x) 4 S cos(2n-I)x (2n-1)2,x∈[0,x] 五、自测题 1、把∫(x)={ 展开成傅立叶级数 3x.0<x<丌 2、设f(x)在-x,n]上可积,证明
精品课程《数学分析》课外训练方案 其中c, x 是[ , −π π ]上任意两点； (2 ) 逐项积分定理中，并没有要求 的 Fourier 级数是 收敛的，但逐项积分后所得的级数总是收敛的；(3 ) 并非每个三角技术都能成为局部绝对可 积函数的 Fourier 级数。 f x( ) 二、基本方法 1. 利用定义将函数展开为傅立叶级数； 2. 将以 2l 为周期的函数用收敛定理展开； 3. 用贝赛尔定理证明关于级数部分和的有关问题。 三、基本要求 1. 会将函数展开为傅立叶级数； 2. 会展开周期为 2l 的傅立叶级数； 3. 会用贝赛尔定理证明关于级数部分和的问题。 四、典型例题 例 1 将函数 2 ( ) x f x − = π 展开为傅立叶级数。 解 0 2 1 2 0 0 = − = ∫ dx x a π π π ， cos 0 2 1 2 0 = − = ∫ nxdx x an π π π ， n nxdx x bn 1 sin 2 1 2 0 = − = ∫ π π π ， n = 1,2,L，所以在区间(0,2π ) 上， ∑ ∞ = = − = 1 sin 2 ( ) n n x nx f x π 。 例 2 将函数 f x = − x 2 ( ) π ，在[0,π ]上展开为余弦级数。 解 ) 0 2 ( 2 0 0 = − = ∫ a x dx π π π ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = ⋅ − = ∫ 当 为奇数时 当 为偶数时 n n n nx n a x nxdx n , 4 0, 0 ( cos ) 2 1 ) cos 2 ( 2 2 2 0 π π π π π π 由收敛定理及 f (x) 延拓后连续知， ∑ ∞ = − − = − = 1 2 (2 1) 4 cos(2 1) 2 ( ) n n n x f x x π π ， x ∈[0,π ] 。 五、自测题 1、把 2 , 0 ( ) { 3 ,0 x x f x x x π π − < < = < < 展开成傅立叶级数。 2、设 f x( )在[−π,π ]上可积，证明: 3
精品课程《数学分析》课外训练方案 (1)若对任意x∈[-丌,丌],有f(x+x)=f(x)则a2k1=b2k1=0。 (2)若对任意的x∈[-r,1,有f(x+)=-f(x)则a2x=b2k=0。 3、设∫(x)在[-丌,丌上光滑,证明 (1)若f(-x)=f(x)且f(x-x)=-f(x,则f(x)=∑an1cos(2n-1)x (2)若f(-x)=-f(x)且f(x-x)=f(x),则f(x)=∑bnsi(2n-1 4、在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数。 (1)f(x)=x,(1)x∈(-x,丌)、(i)x∈(0,2丌) (2)f(x)=-,x∈(0,2丌) (3)f(x) ∈(-x,丌) (4)f(x)=x2-x2,x∈(-丌, z x∈(-丌, 5、把函数∫(x)={ 展开成傅立叶级数,并由它推出 x∈ (1)=1 57111317 (3)丌=1 57111317 6、将下列周期函数展开成傅立叶级数 (1)f(x)=sgn(cos x) (2)f(x)=arcsin(cos x) ()f(x)=sin x
精品课程《数学分析》课外训练方案 (1) 若对任意 x ∈ −[ , π π ], 有 f x( ) +π = f (x) 则 a b 2 1 k− = 2 1 k− = 0 , 。 (2) 若对任意的 x ∈ −[ , π π ] 有 f x( ) +π = − f (x) 则 a b 2 2 k k = = 0 ] 。 3、设 f x( ) 在[ , −π π 上光滑，证明 (1) 若 f x ( ) − = f (x) 且 f ( ) π − x = − f (x), 2 1 1 ( ) cos(2 1) . n n f x a n x ∞ − = 则 = − ∑ (2) 若 f x ( ) − = − f (x) 且 f x ( ) π − = f (x) ，则 2 1 1 ( ) sin(2 1) . n n f x b n ∞ − = = − ∑ x 4、 在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数。 (1) f x( ) = x,(i)x∈ −( π ,π π ),(ii)x ∈(0, 2 ). (2) ( ) , (0, 2 ). 2 x f x x π π − = ∈ (3) f x( ) = ∈ x , x (−π ,π ). (4) 2 2 f x( ) = − π x , x∈(−π π, ). 5、 把函数 , ( ,0 4 ( ) { , (0, ) 4 x f x x π π π ) π − ∈ − = ∈ 展开成傅立叶级数，并由它推出 (1) 1 1 1 1 , 4 3 5 7 π = − + − +L (2) 1 1 1 1 1 1 , 3 5 7 11 13 17 π = + − − + + L (3) 3 1 1 1 1 1 1 . 6 5 7 11 13 17 π = − + − + − +L 6、将下列周期函数展开成傅立叶级数 (1) f x( ) = sgn(cos x) (2) f x( ) = arcsin(cos x) (3) f ( ) x x = sin 4
精品课程《数学分析》课外训练方案 7、把f(x)=(x-1)2在(0,1)上展开成余弦级数,并推出2=1 8、将∫(x)= 1,0<x≤丌 展开成傅立叶级数 9、将∫(x) 1,0<x<3 展成余弦级数 1.3<x≤6 10、证明:三角多项式P(x)=∑( a, cos kx+ b, sin kx)的傅立叶级数是三角多项式 P(x)。1l、设∫在(-∞,+①)上以2为周期的光滑函数,证明∫的傅立叶级数在(-∞,∞) 上一致收敛于∫。 12、已知周期为2r的可积分函数f(x)的傅立叶系数an,bn(mn=0,1,2;…),试计算 f(x=2h人、f()d的傅立叶系数An,B1(n=0,12…) 13、证明:若∫,g均为[-x,z]上可积函数,且它的傅立叶级数在[一丌,丌]上分别一致 收敛于厂和g则0(x(x)=44+∑(an+b,),其中anh为∫的傅立叶系 数,an,Bn为g的傅立叶系数
精品课程《数学分析》课外训练方案 7、把 在 上展开成余弦级数，并推出 2 f x( ) = − (x 1) (0,1) 2 2 2 1 1 1 6 2 3 π = + + +L 8、将 1, 0 ( ) { 1,0 x f x x π π − − < ≤ = < ≤ 展开成傅立叶级数。 9、将 1,0 3 ( ) { 1,3 6 x f x x < < = − < ≤ 展成余弦级数。 10、证明：三角多项式 的傅立叶级数是三角多项式 。11、设 在 上以 0 ( ) ( cos sin ) n k k k P x a kx b kx ∞ = = ∑ + ( ) P x n f ( , −∞ +∞) 2π 为周期的光滑函数，证明 的傅立叶级数在 上一致收敛于 。 f ( , −∞ ∞) f 12、已知周期为 2π 的可积分函数 f x( ) 的傅立叶系数 , ( 0,1, 2, ) a b n n n = L ，试计算 1 ( ) ( ) 2 x h n x h f x f h ξ dξ + − = ∫ 的傅立叶系数 , ( 0,1,2, ) A B n n n = L 。 13、证明：若 f , g 均为[ , −π π ]上可积函数，且它的傅立叶级数在[ , −π π ]上分别一致 收敛于 f 和 g 则 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 n n n n n a f x g x dx a b π π α α β π ∞ − = = +∑ + ∫ ，其中 为 的傅立叶系 数， , an bn f , αn β n 为 g 的傅立叶系数。 5