临沂大学（临沂师范学院）：《数学分析》课程教学资源（讲义）第八章 不定积分

临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第八章不定积分 基本概念 1.设函数f(x)与F(x)在区间I上有定义。若F'(x)=f(x),x∈I 则称F(x)为f(x)在区间/上的一个原函数。 2.函数∫(x)在区间I上的原函数的全体称为f(x)在I上的不定积分,记作 ∫/(x)d 其中[一一积分号;f(x)--被积函数:f(x)dx--被积表达式:x--积分变量。 二、基本定理 1.若f(x)在区间Ⅰ上连续,则f(x)在/上存在原函数F( 2.设F(x)是f(x)在在区间I上的一个原函数,则(1)设F(x)+C是f(x)在在区间 I上的原函数,其中C为任意常量(若∫(x)存在原函数,则其个数必为无穷多个)(2)f(x) 在I上的任何两个原函数之间,只可能相差上个常数(揭示了原函数间的关系)。 3.若函数∫(x)与g(x)在区间上都存在原函数,k1,k2为两个任意常数,则 k1f(x)+k2g(x)也存在原函数,且 「f(x)+kg(x)b=k∫(x)d+ks(x)(积分的线性) 4.设g(u)在[a,上有定义,l=(x)在[a,b]上可导,且a≤o(x)≤B,x∈[a,b 记∫(x)=g(o(x)(x),x∈[a,b]。(1)若g(u)在[a,B上存在原函数G(x),则∫(x) 在[a,b]上也存在原函数F(x),且有F(x)=G(0(x))+C,即 ∫f(x)dx=」g(o(x)o(x)t=gh=G)+C=G(o(x)+C 也可写为 「8(9(x)(x)bx-g(9(x)(x)=(令x)=1)=Jg()m=G(a)+C (代回u=(x))G((x)+C

临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第八章 不定积分 一、基本概念 1. 设函数 f (x) 与 F(x) 在区间 I 上有定义。若 F′(x) = f (x) ， x ∈ I ， 则称 F(x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数。 2. 函数 f (x) 在区间 I 上的原函数的全体称为 f (x) 在 I 上的不定积分，记作： ∫ f (x)dx 其中 ∫ − − 积分号； f (x) − − 被积函数； f (x)dx − − 被积表达式； x − − 积分变量。 二、基本定理 1. 若 f (x) 在区间 I 上连续，则 f (x) 在 I 上存在原函数 F(x) 2. 设 F(x) 是 f (x) 在在区间 I 上的一个原函数，则（1）设 F(x) + C 是 f (x) 在在区间 I 上的原函数，其中 C 为任意常量（若 存在原函数，则其个数必为无穷多个）。（2） 在 f (x) f (x) I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 3. 若函数 f (x) 与 g(x) 在区间 I 上都存在原函数， 为两个任意常数，则 也存在原函数，且 1 2 k , k ( ) ( ) 1 2 k f x + k g x ∫ ∫ ∫ [k f (x) + k g(x)]dx = k f (x)dx + k g(x)dx 1 2 1 2 （积分的线性）。 4. 设 g(u) 在[α, β ]上有定义，u = ϕ(x) 在[a,b]上可导，且α ≤ ϕ(x) ≤ β ， ， 记 x ∈[a,b] f (x) = g(ϕ(x))ϕ′(x) ， x ∈[a,b] 。（1）若 g(u) 在[α, β ]上存在原函数 ，则 在 上也存在原函数 ，且有 G(x) f (x) [a,b] F(x) F(x) = G(ϕ(x)) + C ，即 ∫ ∫ ∫ f (x)dx = g(ϕ(x))ϕ′(x)dx = g(u)du = G(u) + C = G(ϕ(x)) + C 。 也可写为： ′ = = ∫ ∫ g(ϕ(x))ϕ (x)dx g(ϕ(x))dϕ(x) （令ϕ(x) = u) ∫ = g(u)du = G(u) + C =（代回u = ϕ(x) ）G(ϕ(x)) + C 。 - 1 -

临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 又若φ(x)≠0,x∈[a,b],则上述命题(1)可逆,即当∫(x)在[a,b]存在原函数F(x)时, g(l)在[a,B]上也存在原函数G(u),且G(u)=F(q(au)+C,即 g(u)m(令n=(x)=∫(0(x)p(x)d=(x)x=F()+C(代回x=9-() F(q-(u)+C。 5.若(x)与vx)可导,不定积分n(x)v(x)dr存在,则不定积分(x)(x)d也存 在,且(x)r(x)dx=xo(x)-Jm(x)(x) ∫a(x)h(x)=以xr(x)-j(x)(x), 、基本要求 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生:深刻理解不定积分的概念,掌握原函数与不 定积分的概念及其之间的区别:掌握不定积分的线性运算法则,熟练掌握不定积分的基本积 分公式 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生:牢记换元 积分公式和选取替换函数(或凑微分)的原则,并能恰当地选取替换函数(或凑微分),熟 练地应用换元积分公式:牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式, 并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,熟练地应用分部积分公式;独立地完成一定数 量的不定积分练习题,从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生 掌握化有理函数为分项分式的方法:会求四种有理最简真分式的不定积分,知道有理函数的 不定积分(原函数)还是初等函数;学会求某些有理函数的不定积分的技巧;掌握求某些简 单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法,从理论上认识到这些函数的不定积分都能用 初等函数表示出来。 四、典型例题 例1 解:设x=√2tant有dx=√2sec2tdt.利用辅助三角形,有

临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 又若ϕ′(x) ≠ 0，x ∈[a,b] ，则上述命题（1）可逆，即当 在 存在原函数 时， 在 f (x) [a,b] F(x) g(u) [α, β ]上也存在原函数G(u) ，且G(u) = F u + C ，即 − ( ( )) 1 ϕ ∫ g(u)du （令u = ϕ(x)) ∫ ∫ = g(ϕ(x))ϕ′(x)dx = f (x)dx = F(x) + C （代回 ( )) 1 x u − = ϕ F u + C 。 − ( ( )) 1 ϕ 5. 若u(x) 与v(x) 可导，不定积分 ∫ u′(x)v(x)dx 存在，则不定积分 ∫ u(x)v′(x)dx 也存 在，且 ∫ u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) − ∫ u′(x)v(x)dx ， 即 ∫ ∫ u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x) ， 三、基本要求 1. 积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不 定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积 分公式。 2. 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元 积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟 练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式， 并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数 量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3. 有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生： 掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的 不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简 单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用 初等函数表示出来。 四、典型例题 例 1. ∫ + 2 2 x dx . 解： 设 x = 2 tant ， 有 dx tdt 2 = 2 sec . 利用辅助三角形, 有 - 2 -

临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 1= sec tdt=Insect +tan(+c=ln x2+2 2+2+x+c 其中c=c-ln√2 例2 d x > 解∫,= a sec ttgtdt ∫sech=crt+gql atgt vx -a linl-+ +c=linx+Vx2-a+c, c=c-In 例3 解法 用割换) I=== tight I sostdt =sint+c==vx2-1 解法二:(凑微) 例 2shr√2 chat 解 +1+c InIx+yxt CC=C 例

临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 c ( x x) c x x I tdt t t c + + = + + + + = = + + = ∫ ln 2 2 2 2 sec ln sec tan ln ' 2 2 ' . 其中 ln 2. ' c = c − 例 2 ∫ −2 2 x a dx . (a > 0) 解： ' sec 2 2 sec ln sec sec tdt t tgt c atgt a ttgtdt x a dx x a t ==== = = + + − ∫ ∫ ∫ = c lin x x a c a x a a x lin + = + − + − = + ' 2 2 2 2 ，c c ln a ' = − . 例 3 ∫ −1 2 2 x x dx . 解法一：（用割换） x c x sostdt t c ttgt ttgtdt I x t ==== = = + = − + ∫ ∫ = 1 1 sin sec sec 2 2 sec . 解法二：（ 凑微 ） 例 4 ∫ + 2 2 x dx . 解 ' 2 ' 2 1 2 2 2 2 c x x dt t c lin cht chtdt I x sht + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ==== = = + = + + ∫ ∫ = = ln(x + x + 2)+ c 2 ln 2 ' c = c − . 例 5 . - 3 -

临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 react r ashtar 解 d=1+c=m/./x2 =lnx+√x2-a2|+c d 例6 coS x 解法一:(用万能代换)Ⅰ dt= dt=t+c=lg+c 1+t 解法二:(用初等化简)I= d x 1g=+c 解法三:(用初等化简,并凑微) COS x e2 -dr=csc2 xdx -ciex+ sIn x 五、复习题 1.求下列不定积分 (1)∫(x3+x (2)(5 (1

临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 解 ' 2 2 ' 1 c a x a x dt t c lin asht ashtdt I x acht ==== = = + = + − + ∫ ∫ = = x + x − a + c 2 2 ln c c ln a ' = − 例 6 ∫ + x dx 1 cos . 解法一：( 用万能代换 ) c x dt dt t c tg t t t I x t tg = = + = + + − + + ==== ∫ ∫ = 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 . 解法二：( 用初等化简 ) c x tg x d x dx x I ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∫ ∫ 2 2 2 sec 2 cos 1 2 1 2 2 . 解法三：( 用初等化简, 并凑微 ) c x c x ctgx c tg x ctgx x d x dx xdx x x I = = = − + + = − + = + − − = ∫ ∫ ∫ 2 csc sin 1 sin sin csc 1 cos 1 cos 2 2 2 五、复习题 1. 求下列不定积分： （1） 5 3 ( ) 4 x x + − x d ∫ x ； （2） ( ) 3 5 − x dx ∫ ； （3） 3 3 3 2 ( ) x x d x x + + + ∫ x ； （4） ( ) 4 2 1 dx x + x ∫ ； （5） 2 2 3 1 x dx + x ∫ ； - 4 -

临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (7)(2sin x-4 cos x )dx: (8)(3-sec2x)dx (9)|(tan2x+3)dr sin- x (10) d x tan x (11) x x cos --SII (12)一 coS 2x -dx cosx-sin x (13) 1+cos 2x (15)(2+()-)ax (16)e(1-r=)x 2 (17)「(cosx (18) d x (19)∫223atx; (20)( +sin x)dx 2.求一曲线y=f(x),它在点(x,f(x))处的切线的斜率为2x,且通过点(2,5) 3.已知f(x)满足给定的关系式,试求f(x) (1)xf(x)=1(x>0);

临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 （6） x 1 dx x + ∫ ； （7） (2sin x − 4cos x d) x ∫ ； （8） 2 (3 − sec x)dx ∫ ； （9） 2 (tan x + 3)dx ∫ ； （10） 2 2 2 sin cos x dx x + ∫ ； （11） 2 2 tan cos sin 2 2 x dx x x − ∫ ； （12） cos 2 cos sin x dx x − x ∫ ； （13） 1 cos 2 dx + x ∫ ； （14） ∫(5x +1) 2 dx ； （15） (2 ) 5 x e dx ∫ x 1 x +（ ）- 3 ； （16） (1 ) x x e e d x − − ∫ x ； （17） 2 2 2 1 (cos ) 1 4 1 x dx x x − − + − ∫ ； （18） x x dx ∫ ； （19） ∫ 2 3 2x x dx ； （20） 2 3 ( sin 4 4 x)dx x + − ∫ ． 2．求一曲线 y f = (x)，它在点( , x f x( )) 处的切线的斜率为 2 x ，且通过点(2,5) ． 3．已知 f x( ) 满足给定的关系式，试求 f x( ) ： (1) xf '(x) = 1 (x > 0)； - 5 -

临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (2)(x (3)f(x)f(x)=1(x> 1(f(x)>0) fo 4.用凑微分法求下列不定积分: (1) x(1+2x) (3) +1+√x-1 (4) )dx √-3 (5)]2+3x -d (6) d (7)xe-dx (9) e+e+2 dx (10) e +e (11)tan xdx (12) tan'xsec xdx (13) sinx 2dx +B (15)cos'xdx 1+sin x

临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 '( ) (2) 1 ( 0) f x x x = > ； (3) f x( ) f '(x) = 1 ( x > 0) ； ' 1 ( ( ) 0 ( ) f x f x f x ( ) (4) = > ) . 4．用凑微分法求下列不定积分： （1） 1 5 6 dx x − ∫ ； （2） 1 (1 2 ) dx x x + ∫ ； （3） 1 1 1 dx x x + + − ∫ ； （4） 2 2 1 1 ( ) 3 1 3 dx x x + − − ∫ ； （5） 2 1 2 3 dx + x ∫ ； （6） 2 x e dx − ∫ ； （7） 2 x xe dx − ∫ ； （8） 1 x x e dx + e ∫ ； （9） 2 x x dx e e− + + ∫ ； （10） x x dx e e− + ∫ ； （11） tan xdx ∫ ； （12） 5 2 tan x sec xdx ∫ ； （13） 2 1 2sin cos x dx x − ∫ ； （14） 2 2 sin cos dx A x B + x ∫ ； （15） 5 cos xdx ∫ ； （16） 1 sin dx + x ∫ ； - 6 -

临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (17) Sin x cos x (18)「 in x cos x 1+sin"x (19) 4+x dx 4+ (21)|ax (22) sin 2x cos 3xo (23) (In x) (24) 1+x dx (27) (1+x) (29) (30)「 sin xdx 5.用换元积分法求下列不定积分 (1) d 5+x

临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 （17） cos 2 sin cos x dx x x ∫ ； （18） 4 sin cos 1 sin x x dx + x ∫ ； （19） 2 4 x dx + x ∫ ； （20） 4 4 x dx + x ∫ ； （21） 5 4 3 2 x dx x − − ∫ ； （22） sin 2x cos3xdx ∫ ； （23） 2 (ln x) dx x ∫ ； （24） 2 1 sin . dx x x ∫ ； （25） 2 2 (arcsin ) 1 x dx − x ∫ ； （26） 2 arctan 1 x dx + x ∫ ； （27） 1 dx x + x ∫ ； （28） (1 ) dx x + x ∫ ； （29） 2 1 x x e dx − e ∫ ； （30） 1 s + in xdx ∫ ． 5．用换元积分法求下列不定积分： （1） 2 2 x − a dx ∫ ； （2） 2 2 4 x dx − x ∫ ； （3） 2 5 x dx + −x x ∫ ； （4） 2 2 + −x x dx ∫ ； - 7 -

临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 x (5) x +a (6) x (7)edx (8)∫x+ x+1+ (10) dx (12) dx (x+1 用分部积分法求下列不定积分 (1)xcos xdx (2)「x3lnxx; (3)In xdx: arctan xax: (5)arctanxdr (6)arctan xdx (7) (8) cos(In x)dx (9) sec xa

临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 （5） 2 2 3 / ( ) dx x a + ∫ 2 ； （6） 2 1 dx x x + − ∫ ； （7） x 1 e d + ∫ x； （8） 1 1 1 1 x dx x + − + + ∫ ； （9） 3 1 x dx + x ∫ ； （10） 1 x dx + x ∫ ； （11） 5 2 1 x dx − x ∫ ； （12） 2 3 2 ( 1) x dx x + + ∫ ． 6．用分部积分法求下列不定积分： （1） 2 x cos xdx ∫ ； （2） 3 x ln xdx ∫ ； （3） ln xdx ∫ ； （4） arctan xdx ∫ ； （5） arctan 1 xdx − x ∫ ； （6） x arctan xdx ∫ ； （7） 3 ln x dx x ∫ ； （8） cos(ln x)dx ∫ ； （9） 5 sec xdx ∫ ； - 8 -

临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (10)xIn(-)dx (11)xsin xdx (12)xcos xdx (13)|n(lnx)+,ar; (15)「( arcsin x) (16) dx (17)|ln(x+1+x2dx; 7.求下列不定积分的递推公式 )Ie" In =(n x)dx (3)I=tan"xdx: (4)In= (arcsin x)dx 8.求下列有理函数的不定积分: (1) dx (3) dx 1+ (5) dx

临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 （10） 1 ln( ) 1 x x dx x + − ∫ ； （11） 2 x sin xdx ∫ ； （12） 2 x cos xdx ∫ ； （13） 1 [ln(ln ) ] ln x dx x + ∫ ； （14） 2 ( 1) x xe dx x + ∫ ； （15） 2 (arcsin x) dx ∫ ； （16） 2 sin x dx x ∫ ； （17） 2 ln(x + +1 x )dx ∫ ； （18） 2 x ln xdx ∫ ． 7．求下列不定积分的递推公式： （1） n kx n I = x e dx ∫ ； （2） (ln ) n n I = x dx ∫ ； （3） tann n I = xdx ∫ ； （4） (arcsin ) n n I = x dx ∫ ． 8．求下列有理函数的不定积分： （1） 5 4 3 x x 8 dx x x + − − ∫ ； （2） 2 ( 1)( 1) dx dx x x + + ∫ ； （3） 2 4 1 x dx − x ∫ ； （4） 3 1 dx dx + x ∫ ； （5） 2 2 7 12 x dx x x − − + ∫ ； - 9 -

临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 x+4 dx (7) 1+x (8) d x2+2x+1 dx x2+4x+2 (10) 9.求下列三角有理式的积分: (1) dx 4+5cosx (2) 5+4 sin 2x 2+sinx (4) 1+tan x (6) (2+cos xsin x (7)「 inx cosx sinx+ cos x 1+cos x (9)tan xdx sIn x cosx cos xdx (11) sin x+2 cos x (12) 1+ cos x 10.求下列无理函数的不定积分: x x(1+2√x+√x)

临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 （6） 2 4 ( 1)( 2) x dx x x + − + ∫ ； （7） 4 1 dx dx + x ∫ ； （8） 2 2 3 2 1 x dx x x − + + ∫ ； （9） 2 4 2 dx dx x + +x ∫ ； （10） 2 8 2 dx dx − −x x ∫ ． 9．求下列三角有理式的积分： （1） 4 5cos dx + x ∫ ； （2） 5 4sin 2 dx + x ∫ ； （3） 2 2 sin dx + x ∫ ； （4） 2 sec (1 sec ) xdx + x ∫ ； （5） 1 tan dx + x ∫ ； （6） (2 cos )sin dx + x x ∫ ； （7） sin cos sin cos x x dx x + x ∫ ； （8） 3 2 sin 1 cos x dx + x ∫ ； （9） 3 tan xdx ∫ ； （10） 2 sin cos dx x x ∫ ； （11） cos sin 2cos xdx dx x + x ∫ ； （12） 2 2 sin 1 cos x dx + x ∫ ． 10．求下列无理函数的不定积分： （1） 3 (1 2 ) dx dx x + + x x ∫ ； - 10 -