第三章 向量组与矩阵的秩 上页 下页
上页 下页 第三章 向量组与矩阵的秩
s1n维向量 定义1n个数组成的有序数组(anay…,an) 行向量 或 列向量 称为一个n维向量,简称向量。 用小写的粗黑体字母来表示向量。 上页 下页
上页 下页 §1 n维向量 定义1 n个数组成的有序数组（a1 ,a2 ,…,an） 称为一个n维向量，简称向量。 n a a a 2 1 或 用小写的粗黑体字母来表示向量 。 行向量 列向量
数an1a2,an称为这个向量的分量。a称为这个 向量的第个个分量或坐标。分量都是实数的向量 称为实向量;分量是复数的向量称为复向量。 n维行向量可以看成1×n矩阵,n维列向量也常 看成n×1矩阵 设A和为两个任意的常数,a,B,y为任意的n维向 量,其中 299 B=(b,b2,…,bn) 上页 下页
上页 下页 数a1 ,a2 ,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个 向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量 称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。 n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常 看成n×1矩阵。 设k和l为两个任意的常数， 为任意的n维向 量，其中 , , ( , , , ) = a1 a2 an ( , , , ) 1 2 n = b b b
定义2如果C和B对应的分量都相等,即 b ··● 就称这两个向量相等,记为a=B。 定义3向量 (a1+b12a2+b2…,an+bn) 称为c与B的和,记为a+B。称向量 ( ka,ka2y…,kan 为a与k的数量乘积,简称数乘,记为ka 上页 下页
上页 下页 定义2 如果 和 对应的分量都相等，即 ai=bi，i=1,2,…,n 就称这两个向量相等，记为 。 = 定义3 向量 （a1+b1 ,a2+b2 ,…,an+bn） 称为 与 的和，记为 。称向量 （ka1 ,ka2 ,…,kan） 为 与k的数量乘积，简称数乘，记为 。 + k
定义4分量全为零的向量 (0,0, 0) 称为零向量,记为0。a与-1的数乘 (-1)=(-qap-a2…,-an) 称为a的负向量,记为-a。 向量的减法定义为a-B=a+(-B) 向量的加法与数乘具有下列性质: (1)交换律a+B=B+a )结合律(a+B)+y=a+(B+y) 上页 下页
上页 下页 定义4 分量全为零的向量 （0，0，…，0） 称为零向量，记为0。 与-1的数乘 （-1） =（-a1 ,-a2 ,…,-an） 称为 的负向量，记为 。 − 向量的减法定义为 − = + (− ) 向量的加法与数乘具有下列性质 ： (1)交换律 + = + (2)结合律 ( + )+ = +( + )
(3)a+0=a (4)a+(-a)=0 (5k(a+B)=ka+kB (6)(k+D)a= ka+la 满足(1)—(8)的 (7)k(la)=(k)a 运算称为线性运算。 (8)la=a (9)0ac=0 (10)k0=0 (1)如果≠0且a≠0,那么ka≠0 上页 下页
上页 下页 (3) + 0 = (4) + (−) = 0 (5)k( + ) = k + k (6)(k + l) = k + l (7)k(l) = (kl) (8)1 = (9)0 = 0 (10)k0 = 0 (11)如果k 0且 0,那么k 0 满足（1）—（8）的 运算称为线性运算
§2线性相关与线性无关 矩阵与向量的关系: 通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n维行 向量组a1,a2,…a,可以排列成一个×n分块矩阵 其中a为由A的第形成的子块, c称为A的行向量组 n维列向量组1,2,…B,可以排成一个n×s矩阵 其中B为由B的第形成的子块, B=(B1,B2,…B 上页 B1,B2,…B,称为B的列向量组 下页
上页 下页 §2 线性相关与线性无关 矩阵与向量的关系： 通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行 向量组 1 , 2 , s 可以排列成一个s×n分块矩阵 s 2 1 其中 为由A的第i行形成的子块， 称为A的行向量组。 i s , , 1 2 n维列向量组 1 , 2 , s 可以排成一个n×s矩阵 ( , , ) B = 1 2 s 其中 为由B的第j行形成的子块， 称为B的列向量组。 j s , , 1 2
定义5向量组a1,an,..称为线性相关的,如果有 不全为零的数knkx…,k,使 ∑ka1=ka1+k2a2+…+k,a,=0 反之,如果只有在k产=k2=二k0时上式才成立,就 称 19c29 a线性无关 当ax1,a2,…a是行向量组时,它们线性相关就是指有 非零的1×矩阵(kn2k2…,k,)使 (k1,k2,…k 0 上页 下页
上页 下页 定义5 向量组 称为线性相关的，如果有 不全为零的数k1 ,k2 ,…,ks，使 s , , 1 2 0 1 1 2 2 1 = + + + = = s s s i i i k k k k 反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就 称 1 , 2 , s 线性无关。 当 是行向量组时，它们线性相关就是指有 非零的1×s矩阵（k1 ,k2 ,…,ks）使 s , , 1 2 ( , , ) 0 2 1 1 2 = s k k ks
当a,a…a为列向量时,它们线性相关就是指有非 零的×1矩阵(k1,k2,…k,)使 k1 a 15∞29 0 上页 下页
上页 下页 当 为列向量时，它们线性相关就是指有非 零的s×1矩阵 ( 1 , 2 , ) ，使 k k ks s , , 1 2 ( , , ) 0 2 1 1 2 = s s k k k
例判断向量组|a1=(.0,…0, 的线性相关性 0,0,…,1) 解对任意的常数k,k2…,kn都有 k161+k2E2+…+knEn=(k1,k2,…,kn) 所以k61+k2E2+…+knEn=0 当且仅当k=k2=…=kn2=0 因此61,2,6n线性无关。 E1,E2,…E称为基本单位向量 上页 下页
上页 下页 例 判断向量组 = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1 n 的线性相关性。 解 对任意的常数k1 ,k2 ,…,kn都有 ( , , , ) 1 1 2 2 n n 1 2 n k + k ++ k = k k k 所以 k1 1 + k2 2 ++ kn n = 0 当且仅当k1=k2=…=kn=0 因此 1 , 2 , n 线性无关。 1 , 2 , n 称为基本单位向量