临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第五章导数和微分 基本概念 1.设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,若极限 f(x)-f(xo 存在,则称函数∫在点x0处可导,并称该极限为∫在点x0处的导数,记作∫(x0)。即 若上述极限不存在,则称∫在点x处不可导 2.设函数y=f(x)在点x的某右邻域(x0,x0+6)上有定义,若右极限 lim Ay= lim f(xo+Ax)-f(xo (0kaxks) 存在,则称该极限为∫在点x0的右导数,记作∫'(x0)。 左导数'(xn)=im 左、右导数统称为单侧导数。 3.函数∫=f(x)定义在点x的某邻域u(x)内。当给x一个增量△x, x+△x∈U(x0)时,相应地得到函数的增量为Δy=f(x+△x)-f(x0)。如果存在常数A, 使得△y能有 △y=A△x+o(△x 则称函数∫在点x可微,并称(1)中右端第一项AAx为∫在点x的微分,记作: dl=n=A△rord( =AAx 二、基本定理 1.若函数∫在点x0可导,则∫在点x0连续
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第五章 导数和微分 一、基本概念 1. 设函数 y = f (x)在 x0 的某邻域内有定义，若极限 0 0 ( ) ( lim0 x x f x f x x x − − → ） 存在，则称函数 f 在点 x0 处可导，并称该极限为 f 在点 x0 处的导数，记作 f '(x0 ) 。即 0 0 0 ( ) ( '( ) lim0 x x f x f x f x x x − − = → ） 若上述极限不存在，则称 f 在点 x0 处不可导。 2. 设函数 y = f (x)在点 x0 的某右邻域( , ) x0 x0 + δ 上有定义，若右极限 x f x x f x x y x x ∆ + ∆ − = ∆ ∆ → + → + 0 0 ） 0 0 ( ) ( lim lim 0 0 （0 < ∆x < δ ） 存在，则称该极限为 f 在点 x0 的右导数，记作 f + '(x0 ) 。 左导数 x y f x x ∆ ∆ = − → − 0 0 0 '( ) lim 。 左、右导数统称为单侧导数。 3. 函 数 f = f (x) 定义在点 0 x 的某邻域 u x( 0 ) 内。当给 0 x 一个增量 ∆x ， 0 ( )0 x + ∆x U∈ x 时，相应地得到函数的增量为 0 y f ( ) x x f (x0 ∆ = + ∆ − ) 。如果存在常数 A， 使得 ∆y 能有 ∆ = y A∆x + o(∆x) （1） 则称函数 f 在点 0 x 可微，并称（1）中右端第一项 A∆x 为 f 在点 0 x 的微分，记作： 0 x x dy A x = = ∆ or 0 ( ) x x df x A x = = ∆ 二、基本定理 1. 若函数 f 在点 x0 可导，则 f 在点 x0 连续。 - 1 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 2.若函数y=∫(x)在点x的某邻域内有定义,则f(x)存在→∫'(x),∫'(x0)都 存在,且f(x0)=f(x0)。 3.若u(x)、w(x)在点x0可导,则函数∫(x)=l(x)±v(x)在点x可导,且 f(x0)=l'(x0)±v(x0),即(a(x)+w(x))(x0)='(x0)+v(x0) 4.若(x)、v(x)在点x0可导,则函数f(x)=l(x)v(x)在点x可导,且 f(x0)=l'(x)v(x0)+l(xo)v(x0),即(au(x)v(x)(x0)=u(x0)v(x0)+u(x0)v(x0) 5.若函数(x),vx)在点x都可导,且v(x)≠0,则fx)=20x)在点x也可导, 且f(x)=(4) )(x0) (x0)y(x0)-l(x0)y(x0) (v(x0)) 6.设y=f(x)为x=9(y)的反函数,若o(y)在点y的某邻域内连续,严格单调且 q(y)≠0,则f(x)在点x0,(x0=(y))可导,且厂(x0)= q'(y0) 7.设u=(x)在点x0可导,y=f(u)在点l=(x0)可导,则复合函数y=∫o在 点x可导,且(fo)(x)=f(u)(x0)=f(q(x0)y(x0)。 8.函数∫在点x可微◇∫在点x可导,而且A=f(x0)。 三、基本要求 1.深刻理解导数的概念,能准确表达其定义:明确其实际背景并给岀物理、几何解释; 能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的相互联系和区别;明确导数与单侧 导数、可导与连续的关系;能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体:会求 曲线上一点处的切线方程。 2.熟练掌握导数的四则运算法则,复合函数的求导法则;会求反函数的导数,并在熟 记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导 3.会求由参数方程所给出的函数的导数,并注意与其它法则的综合应用。 4.掌握高阶导数与高阶微分的定义,会求高阶导数与高阶微分。能正确理解和运用
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 2. 若函数 y = f (x)在点 x0 的某邻域内有定义，则 f '(x0 ) 存在⇔ '( ) 0 f x + ， 都 存在，且 = 。 '( ) 0 f x − '( ) 0 f x + '( ) 0 f x − 3. 若 u(x) 、 v(x) 在 点 x0 可 导 ， 则函数 f (x) = u(x) ± v(x) 在 点 可 导 ， 且 ，即 0 x '( ) '( ) '( ) 0 0 0 f x = u x ± v x ( ( ) ( ))'( ) '( ) '( ) 0 0 0 u x m v x x = u x m v x 。 4. 若 u(x) 、 v(x) 在 点 x0 可导， 则函数 f (x) = u(x)v(x) 在 点 可导， 且 ，即 0 x '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 0 0 f x = u x v x + u x v x ( ( ) ( ))'( ) '( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 0 0 u x v x x = u x v x + u x v x 。 5. 若函数u(x) ，v(x) 在点 x0 都可导，且v(x0 ) ≠ 0 ，则 ( ) ( ) ( ) v x u x f x = 在点 也可导， 且 0 x 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ( )) '( ) ( ) ( ) '( ) )'( ) ( ) ( ) '( ) ( v x u x v x u x v x x v x u x f x − = = 。 6. 设 y = f (x) 为 x = ϕ( y) 的反函数，若ϕ( y) 在点 y0 的某邻域内连续，严格单调且 ϕ'( y0 ) ≠ 0 ，则 f (x) 在点 x0 ，（ ( ) 0 0 x = ϕ y ）可导，且 '( ) 1 '( ) 0 0 y f x ϕ = 。 7. 设u = ϕ(x) 在点 x0 可导，y = f (u)在点 ( ) 0 0 u = ϕ x 可导，则复合函数 y = f oϕ 在 点 x0 可导，且( )'( ) '( ) '( ) '( ( )) '( ) 0 0 0 0 0 f oϕ x = f u ϕ x = f ϕ x ϕ x 。 8. 函数 f 在点 0 x 可微⇔ f 在点 0 x 可导，而且 0 A f = ′(x ) 。 三、基本要求 1. 深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释； 能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧 导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求 曲线上一点处的切线方程。 2. 熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟 记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导 数。 3. 会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合应用。 4. 掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。能正确理解和运用一 - 2 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 阶微分的形式不变性,并与高阶微分清楚地加以区分。 5.清楚地理解函数在一点的微分的定义,并给出其几何解释;能从定义出发求某些简 单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分 6.明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性,并会利用导数为微分、利用微分 求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。 四、典型例题 例L.设函数∫(x)定义在区间(ab)内,x∈(a,b)试证明:f(x)在点x0可导的充 要条件是存在(ab)内的函数f(x)(仅依赖于∫和x0使∫(x)在点x连续且适合条件 f(x)-fxo=(x-xo)(), xe(a, b). 并有∫(x)=f(0) 证明:→)设∫(x)存在,定义 f(x)-f(x0) x≠x0 易验证函数∫(x)在点x连续,f(x)-f(x0)=(x-x)f”(x),且f'(x)=f(x) =)设f(x)-f(x0)=(x-x0)(x)又∫(x)在点x连续,则有 (x)=im0()/)=1mr(=r() 即f(x)存在且f(x)=f'(x)
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 阶微分的形式不变性，并与高阶微分清楚地加以区分。 5. 清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简 单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。 6. 明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分 求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。 四、典型例题 例 1. 设函数 f (x) 定义在区间(a,b)内, x (a,b) 0 ∈ 试证明: f (x) 在点 可导的充 要条件是存在 内的函数 （仅依赖于 和 . 使 0 x (a,b) f (x) ∗ f 0 x f (x) ∗ 在点 x0 连续且适合条件 ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 f x f x x x f x ∗ − = − x ∈(a,b). 并有 ( ) (0). ' f x = f ∗ 证明：⇒) 设 f (x)存在, 定义 ' ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − = ∗ 0 ' 0 0 f x x x f x f x f x 0 0 x x x x = ≠ . 易验证函数 f (x)在点 连续, ∗ 0 x ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 f x f x x x f x ∗ − = − 且 ( ) ( 0 ' f x = f x ∗ ) ⇐) 设 ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 f x f x x x f x ∗ − = − 又 f (x) ∗ 在点 x0 连续. 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' 0 0 lim lim f x f x x x f x f x f x x x x x ∗ ∗ → → = = − − = . 即 f (x)存在且 ' f (x) = ' f (x) ∗ . - 3 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 例2设f(x)是偶函数且在点x=0可导,则f(0)=0 证明 .0)=lm()-/(0=m()-/02-1mO ∫(0 即f(0)=-f(0) 由∫(0)存在,→f(0)=(0)=f(0)→f(0)=-f(0)f(0)=0 x≠0 例3f(x)= 求f(0) 解:f(0)=lim lim -=0 f(x)= 0 设f(x)= 其中P为一的多项式注意到对任何正整数 m,lim=0,则有 →+ =lim
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 例 2 设 f (x) 是偶函数且在点 x = 0可导, 则 (0) 0 ' f = . 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 lim 0 lim 0 0 lim ' 0 0 0 ' − → → = → + = − − = − − − − ==== − = + − + f t f t f t f t f x f x f f t t t x x 即 ( ) 0 (0). ' ' + = − − f f 由 (0)存在， ' f ( ) 0 (0) (0), (0) (0), (0) 0. ' ' ' ' ' ' ⇒ f + = f − = f ⇒ f = − f f = 例 3 ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − 0 2 1 x e f x ⎩ 0 0 = ≠ x x 求 ( ) (0). n f 解: ( ) 0 lim lim 0. 2 2 0 1 1 0 ' = ==== = → = − → x t x t x x e t x e f ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∴ = − 0 2 2 1 3 x e x f x . 0 0 = ≠ x x 设 ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 2 1 2 1 3 x n e x P x f x , 其中 0 0 = ≠ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x P 1 为 x 1 的多项式. 注意到对任何正整数 , lim = 0 →+∞ t m t e t m ，则有 ( ) ( ) 0. 1 1 0 lim 2 1 0 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − → + x x n e x P x f - 4 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 对n,有f(0)=0 例4验证函数y= arcsin x满足微分方程 )e3)-(2n+1 n ≥ 并依此求y(0) 解: 两端求导→√1-x2y √1-x -x2)y-xy=0.对此式两端求n阶导数,利用 Leibniz公式,有 -x2)y)+C(-2x)1)+c:(-2)y)-xy x2)1m2)-(2n+1)xy)-n2y=0. 可见函数y= arcsin x满足所指方程在上式中令x=0得递推公式y+2)=n2y 注意到y(0)=0和y(0)=1,就有 2k时, n=2k+1时,y(0)=(2k-1)(2k-3)2…32.12f(0)=[2k-) 例5用对数求导法求y= (x-1)(x-2 的导数。 解:先在两边取对数(假定x>4)得 lny=[n(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4) 上式两端对x求导,并注意到y是x的函数,得 x一
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 对∀n, 有 . ( ) ( ) 0 . = 0 n f 例 4 验证函数 y = arcsin x 满足微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0. 2 2 1 2 − − + − = n+ n+ n x y n xy n y (n ≥ 3). 并依此求 ( ) (0) n y 解: , 1 1. 1 1 2 ' 2 ' − = − = x y x y 两端求导 0, 1 1 2 ' 2 ' = − ⇒ − − x xy x y 即 (1 ) 0. 2 " ' − x y − xy = 对此式两端求 n 阶导数, 利用 Leibniz 公式, 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n x y C x y C y xy C y 2 2 1 1 2 1 1 1− + − 2 + − 2 − − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0. 2 2 1 2 = − − + − = n+ n+ n x y n xy n y 可见函数 y = arcsin x 满足所指方程.在上式中令 x = 0得递推公式 ( ) ( . n 2 2 n y = n y + ) 注意到 ( ) 0 0 和 , 就有 " y = ( ) 0 1. ' y = n = 2k 时, ( ) ( ) 0 = 0; n y n = 2k +1时, ( ) ( ) 0 (2 1) (2 3) 3 1 (0) [(2 1)!!] . 2 2 2 2 ' 2 y = k − k − ⋅ ⋅ f = k − n L 例 5 用对数求导法求 ( )( ) ( ) 3 ( 4) 1 2 − − − − = x x x x y 的导数。 解： 先在两边取对数（假定 x > 4 ）得 1 ln [ln( 1) ln( 2) ln( 3) ln( 4)] 2 y x = − + x − − −x − −x 。 上式两端对 x 求导，并注意到 y 是 x 的函数，得 1 1 1 111 ( ) 2 1 234 y y x x x x ′ = + − − − − − − - 5 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 于是 另外,当x<1时,y= 当2<x<3时 用同样的方法可得到与上述相同的结果。 故 例6计算由摆线的参数方程 a(t-sint) a(1 cOSt 所确定的函数的二阶导数。 -cost)1-cos/s吹 asin t sin t dx dx (t≠2nr,n为整数) d dy、d dt d d女 (ctg dx du (ctg dt t a(1-cost) a(1-cost) 例7求由方程e+xy-e=0确定的隐含数y=y{x)的二阶导数 解:方程两边对x求导得(这里y是x的函数,e’是x的复合函数): 0,解得 y(x+e)-yl1+ey) (y是的函数) 注意:求y时,也可在方程 =0 两边对x求导,解出y,将y的表达式代入化简即得y,所得结果与前法当然是相同的
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 于是 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − + − = 4 1 3 1 2 1 1 1 2 ' x x x x y y 另外,当 x < 1时， ( )( ) ( ) x ( x) x x y − − − − = 3 4 1 2 ； 当2 < x < 3时， ( )( ) ( ) x ( x) x x y − − − − = 3 4 1 2 。 用同样的方法可得到与上述相同的结果。 故 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − + − = 4 1 3 1 2 1 1 1 2 ' x x x x y y 。 例 6 计算由摆线的参数方程 ( sin ) (1 cos ) x a t t y a t ⎧ = − ⎨ ⎩ = − 所确定的函数的二阶导数。 解： ( ) 1 cos 2 sin cos sin t ctg t t a a t a t dt dx dt dy dx dy = − = − = = （t ≠ 2nπ , n 为整数） 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 d y d dy d t dt d t ctg ctg dx dt dx dt dx dt dx dt = = = 2 2 1 1 1 (1 cos ) (1 cos ) 2sin 2 t a t a t = − ⋅ = − − − ( 2 t n ≠ π) 例 7 求由方程e + xy − e = 0 确定的隐含数 y y = y(x)的二阶导数。 解： 方程两边对 x 求导得（这里 y 是 x 的函数， 是 的复合函数）： y e x 0 ' ' e ⋅ y + y + xy = y ，解得 y x e y y + = − ' 。 ( ) ( ( ) ) 2 ' ' " 1 y y y x e y x e y e y y + + − + ∴ = − （ ' y 是的函数） 2 3 ( ) y y y e x e = − + 注意：求 '' y 时，也可在方程 0 y e y⋅ +′ ′ y + xy = 两边对 x 求导，解出 '' y ，将 ' y 的表达式代入化简即得 '' y ，所得结果与前法当然是相同的。 - 6 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 五、复习题 1.求抛物线y=x2在A(,1)点和B(-2,4)点的切线方程和法线方程 x≥3 2.设∫(x)= b,x<3 试确定a,b的值,使∫(x)在x=3处可导 3.求下列函数的导函数 (1)f(x) (2)f()≈x+1,x20 1,x<0 ≠0 4.设函数f(x)= (m为正整数 试问:(1)m等于何值时,f(x)在x=0连续; (2)m等于何值时,∫(x)在x=0可导 (3)m等于何值时,∫(x)在x=0连续 5.设g(0)=g0)=0,f(x)=8(xs1 X≠ 0 求f∫(0) 6.证明:若f(x0)存在,则 lin f(x0+△x)-f(x-Ax) 2△x o 7.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且对任意x1,x2∈(-∞,+∞),有 f(x+x2)=f(x1)f(x2) 若f(O)=1,证明任意x∈(-∞,+∞),有f(x)=f(x) 8.设∫(x)是偶函数,且∫(O)存在,证明:f(0)=0
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 五、复习题 1．求抛物线 2 y = x 在 A(1,1) 点和 B( 2− , 4) 点的切线方程和法线方程． 2．设 2 , 3 ( ) , 3 x x f x ax b x ⎧ ≥ = ⎨ ⎩ + < , 试确定 a b, 的值，使 f x( ) 在 x = 3 处可导． 3．求下列函数的导函数. （1） 3 f x( ) = x ； （2） 1 0 ( ) 1 0 x x f x x ⎧ + , ≥ = ⎨ , ⎩ , < ; 4．设函数 1 sin , 0 ( ) 0 , mx x f x x x ⎧ ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ = 0 （m 为正整数）． 试问：（1）m 等于何值时， f x( ) 在 x = 0连续； （2）m 等于何值时， f x( ) 在 x = 0可导； （3）m 等于何值时， f '(x) 在 x = 0连续． 5．设 g g (0) = = '(0) 0 ， 1 ( )sin 0, ( ) 0 0 g x x f x x x ⎧ . ⎪ , ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ , = 求 f '(0) ． 6．证明：若 0 f '(x )存在，则 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) x 2 f x x f x x f x ∆ → x + ∆ − − ∆ = ∆ ． 7．设 f x( ) 是定义在 −( , ∞ +∞ ) 上的函数，且对任意 1 2 x x, ( ∈ −∞,+∞) ，有 1 2 1 2 f ( ) x + x = f x( ) f x( ). 若 f '(0) = 1，证明任意 x ∈( , −∞ +∞) ，有 f x'( ) = f (x) ． 8．设 f x( ) 是偶函数，且 f '(0) 存在，证明： f '(0) = 0 ． - 7 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 9.设f(x)是奇函数,且f(x)=3,求∫(-x0 10.用定义证明:可导的偶函数的导函数是奇函数,可导的奇函数的导函数是偶函数 11.求下列复合函数的导函数: (1)y=x(a2+x2)a2-x2 (2)y= (3)y=InIn x): y 2 a-x (5)y=In(x+va+x) (6)y=In tan: 12.设∫(x)是对x可导的函数,求 dy (1)y=f(x2) (2)y=f(e2)e() (3)y=f(f(f(x)) 13.设a(x)和()是对x可求导的函数,求空 (1)y=V2(x)+v2(x) (2)v=arctan P(x) (v(x)≠0) (3)y=yv(x)(v(x)>0,(x)≠0) (4)y= log)(x)(v(x)>0,90(x)>0,9(x)≠1) 14.设函数y=f(x)在点x二阶可导,且f(x)≠0,若f(x)存在反函数x=f-(y), 试求(f)(y) 15.设y=c1sinx+c2cosx,证明y满足方程y"+y=0
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 9．设 f x( ) 是奇函数，且 0 f x'( ) = 3，求 0 f '(−x ). 10．用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数． 11．求下列复合函数的导函数： （1） 2 2 2 y x = + ( ) a x a − x 2 ； （2） 2 2 x y a x = − ； （3） y x = ln(ln ) ； （4） 1 ln 2 a x y a x + = − ； （5） 2 2 y x = + ln( a + x )； （6） ln tan 2 x y = ； 12．设 f x( ) 是对 x可导的函数，求 dy dx ： （1） ； 2 y f = (x ) （2） ； ( ) ( ) x f x y f = e e （3） y f = ((( f f x))) ． 13．设ϕ(x) 和 ψ (x) 是对 x可求导的函数，求 dy dx ： （1） 2 2 y x = ϕ ( ) +ψ (x) ； （2） ( ) arctan ( ( ) 0) ( ) x y x x ϕ ψ ψ = ≠ ； （3） ( ) ( ) ( ( ) 0, ( ) 0) x y x x x ϕ = ψ ψ > ϕ ≠ ； （4） ( ) log ( ) ( ( ) 0, ( ) 0, ( ) ) x y x x x x = ϕ ψ ψ ϕ > > ϕ ≠ 1 ． 14．设函数 y f = (x)在点 x 二阶可导，且 f x'( ) ≠ 0 ，若 f x( ) 存在反函数 1 x f ( y) − = ， 试求 1 f )''( y) − ( ． 15．设 y c = + 1 sin x c2 cos x ，证明 y 满足方程 y y ''+ = 0． - 8 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (1)证明y满足方程(+x2)y"+2xy=0 (2)求y"(O) 17.设y=y(x)存在反函数,且满足方程 证明:反函数x=x(y)满足x=1,并且由此求出一个y=y(x) x=a(cost+tsint) 18.证明:曲线 上任一点的法线到原点的距离恒等于a y=a(sint -t cost 19.若∫(x)= x≠0,证明f(0)=0
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 16．设 y x = arctan ． （1）证明 y 满足方程 ； 2 (1+ + x y) '' 2xy ' = 0 （2）求 ． ( ) (0) n y 17．设 y y = (x) 存在反函数，且满足方程 2 3 2 ( ) 0 d y dy dx dx + = ． 证明：反函数 x = x y( ) 满足 2 2 1 d x dy = ，并且由此求出一个 y y = (x) . 18．证明：曲线 (cos sin ) (sin cos ) x a t t t y a t t t ⎧ = + ⎨ ⎩ = − 上任一点的法线到原点的距离恒等于 a ． 19．若 2 1 , 0 ( ) 0 , 0 x e x f x x ⎧ − ⎪ ≠ = ⎨ ⎪⎩ = ，证明 ( ) (0) 0 n f = ． - 9 -
