§1函数极限概念 第三章函数极限 S1函数极限概念 1.按定义证明下列极限 (1)lm =6(2)lim(x2-6x+10)=2 1(4)lim√4 (5)limosa cosIo 证(1)当x>0时,x-61=于是对任给正数e,只要 取M=5,当x>M时,有15x5-62时,1-2-1=x-1x+1M时,便有 1|<ε,故 (4)由|√4-x21=√(2+x)(2-x)x∈[-2,2] 2√丨x-21<c得|x-2|<
第三章函数极限 对任意ε>03 只要|x-2|<就有 √4 1<ε所以lim√4 0 (5)因为|ax-agxo1=2 I sin,anx1≤|x-z01 从而对任给正数e,只要取8=e,当0<|x-x01<δ时就有 2.根据定义2叙述limf(x)≠A 解设函数f在x0的某空心领域U(x0,8)内有定义,A是一个 确定的常数,若存在某个正数e,使得对任意的正数δ,总存在x’,满足 8,且1f(x)-A|≥E,则称当 时,f(x)不 以A为极限,记为limf(x)≠ 设limf(x)=A,证明limf(xo+h)=A 证:limf(x)=A 则对任给正数e,存在正数8,当0<!x-x01<8时,有 f(x)-A|< 从而当0<h1<δ时有0<(xo+h)-xol<δ,于是 f(xo+h)-A|<ε,故imf(xo+h)=A 反之,设imf(x0+h)=A,则任给正数E,存在正数8, 当0<|h1<δ时,有f(x0+h)-A|<E 当0< 1<8时,h 满足0<h|<δ,从而 I f(a)Al=I f( )-A|<e,故limf(x)=A 4.证明:若imf(x)=A,则 lim I f(x)|=|A,其逆命题成立 吗?当且仅当A为何值时反之也成立? 证:由limf(x)=A,则对任给正数e,存在正数8, 当0<1 1<δ时有:1f(x)-A|<
§1函数极限概念 因此,当00 但逆命题不真如对f(x)=10,x=0,,有1f(x)1=1x≠0 1,x<0 imgf(x)|=1,但lnf(x)不存在事实上 lim f(r)=-1 lim f(x) 可见imf(x)≠limf(x),故limf(x)不存在 当且仅当,A=0时,反之成立 5.证明定理 定理3.1linf(x)=A的充分必要条件是 lim f(r)=limf(z)=A 证:必要性limf(x)=A则对任给正数e,存在正数δ,当 0<|x-x0|<δ时,有lf(x)-A|<e.因此,当0<x-x<δ时 f(x)-AK<e,故lmf(x)=A,当-δ<x-x0<0时,有 f(x)-A<e,故limf(x)=A 充分性limf(x)=limf(x)=A,则对任给正数e,分别存在 正数81和2,使的当0<x-x0<81或0<x0-x<2时,都有 I f(r)-Al<e (1) 现取δ=min{81,2},当0<1x-x0<b时,有 0<x-x0≤1x-x0l<δ≤ 或0<x0-x≤|x-x01<δ≤62 因而由(1)知|f(x)-A|<c,故limf(x)=A 6.讨论下列函数在x→0时的极限或左、右极限
第三章函数极限 (1)f(x)= (2)f(x)=[x] x>0 (3)f(x)=10 x0时,(x)=⊥z=1故lmf(x)=1 当xx>0时,f(x)=[x]=0故imf(x)=0 x0+ 当-10时f(x)=2故limf(x)=lim2x=1 ix0,d>0,使x>M时有1f(x)-A|M, 从而由(1)知|f()-A|< (3) 于是当0<x<η时,由(2)和(3)知 1A-BI≤|A-f()1+1f()-B|<e
§2函数极限的性质 可见|A-BI≤e,由于E的任意性可知 im f()=A= lim f(z) 8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)=0,x0∈[0,1] (当x0=0或1时,考虑单侧极限) 证:[0,1]上的黎曼函数定义如下 当x=上时(p,q∈N+,P为既约真分数) R 0当x=0,1或(0,1)内的无理数 任取x0∈[0,1],对任意给定的正数e,满足不等式n≤的自然数n 至多有有限个,于是在[0,1]中至多有有限个既约分数上,使得R(B 1≥e,因而我们可取δ>0,使得x0的空心邻域U(x0,8)内不含 这样的既约分数,于是只要00)(8)lmn(3x+6)(8x-5)20 (5x-1) 解()i2(sinx-sx-x2)=2(1-4)
第三章函数极限 (2)原式=10-0-1=1 (31=2211=正x+1=3 (4)lin (x-1)3+(1-3x) 3 +2x3 (5)lim r +I n (6) 1+2x-3=lin2(x+2) 2 1+2x+3 (7)im lin (8)m(3x+6)(35 (8 2.利用迫敛性求极限 (1)lim -CosT (2)lim sinz 解(1)∵-1≤cx≤1 CoST x+1 1 1 )=lim(1+1、=1 由迫敛性定理,imx-cx=1 (2)∵-1≤sinx≤1 x≤xsin≤x ∵x→+∞故x2-4>0 sIne ≤翌 0
82函数极限的性质 由迫敛性∴lm2=0 3.设imf(x)=A,limg(x)=B证明: (1)lin[f(x)±g(x)]=A±B (2)in[g(x)·f(x)]=A·B (3)imnf(x)=合(当B≠0时 证明:对任给正数e,分别存在正数δ1和82,使 当00由局部保 号性有存在4>0,当0B④ 取a=min{81,82,4},当0<1x-x01<8时①②④同时成立 于是有1(x) Bf(r)-Ag(x)
第三章函数极限 ≤LBl(x)A+A4(x)-B≤1AHB 由e的任意性知lmfx}= 4.设(x)=2+a12“十am1俱m,a0≠0, bo≠0,m≤n,试求limf(x) 解∵imf(x) a0+a1 十… 所以,当m=n时,imf(x)=0;当m0,limf(x)=A 证明:limf(x)=A其中n≥2为正整数 证明:∵f(x)>0,故limf(x)=A≥0 ()当A=0时,由limf(x)=0知,对任给正数e,存在正数δ, 当00时,由lmf(x)=A知,对任给正数e,存在正数8 当0<x-x01<δ时,便有 f(x)-A|<√A7e从而此时|yf(x)-A If(c-al yr1(x)+vAm2(x)+…+√A2f(x)+√A 11f(x)-A1<c A-1
2函数极限的性质 故im√f(x)=A 6.证明ima2=1(00,3N>0,有0a 0B,则在U(x0)内有f(x)>g(x) 解(1)不一定,如g(x)=x2,f(x)=0,在x0=0的任一 U(0,8)内,有f(x)B∴:=22>0又:加mf(x)=A 存在正数a1,当|x-x012(1) A+B 又∵limg(x)=B知:对上述e0>0,存在正数82, 当0<1x-x01<82时,有1g(x)-B1<A,B (<AtB (2) 取8=min{81,2},当0<1x-x0<8时,(1)与(2)同时成立
第三章函数极限 即有∫(x)>A+B>g(x),当x∈U(x0,8)时,f(x)>g(x) 8.求下列极限(其中n皆为正整数) (1)lim It.1 (2)im⊥xl.1 (3)i 工+x2+…+x"-n, (提示:参照例1) 1 x+0x +oI 0"1+xn (2)lim 1+x (3)原式=imn[xn-1+2xx2+…+(n-2)x2+( √1+x-1 ya+x)+a+2y2+…+1+2+1 (5)∵对任意实数x,有x-10时, 有1-11[x]≥1,故im [c] 9(1)证明:若lmf(x3)存在,则imf(x)=limf(x3) (2)若limf(x2)存在试问是否成立lm(x)=imf(x2)? 证:(1)∵imf(x3)存在,假设lmf(x3)=A 对e>0,38>0使得当0<1x1<b<时有 f(x3)-A|<e,令t=x3则|t!=1x3<B ∴f(t)-A<e∴limf(x)=A=limf(x3)
