81隐函数 第十八章隐函数定理及其应用 s1隐函数 1.方程∞x+siny=e能否在原点的某邻域内确定隐函数 y=f(x)或x=g(y)? 解令F(x,y)=cx+siny-e列,则有 (I)F(x,y)在原点的某邻域内连续; (Ⅱ)F(0,0)=0; (Ⅲ)Fx=-sinx-ye,F=sy-xP均在上述邻域内连续; (Ⅳ)F(0,0)=1≠0,F(0,0)=0 故由隐函数存在唯一性定理知,方程csx+siny=E在原点的某 邻域内可确定隐函数y=f(x) 2.方程xy+zlny+e=1在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出 某一个变量为另外两个变量的函数? 解令F( (I)F(x,y,z)在点(0,1,1)的某邻域内连续; (Ⅱ)F(0,1,1)=0 (Ⅲ)Fx=y+xen,F=x+,F2=hy+x均在上述邻域 内连续; (Ⅳ)F2(0,1,1)=2≠0,F=(0,1,1)=1≠0,F2(0,1,1)=0 故由定理183知,在点(0,1,1)的某邻域内原方程能确定出函数 f(y,z)和 3.求由下列方程所确定的隐函数的导数 (1)z2y+3x“y3-4=0,求分;
第十八章隐函数定理及其应用 (2)hn√x2+ arctan (3) 2 0,求 (4)a+ ,(a>0)求 (5)x2+y2+z2-2x+2y-4z-5=0.求za3 ),求 az ax dy z 解(1)方程两边对x求导,则 2xy +x2 dr + 12x2y3+9zy dx=o 所以x2 (2)方程两边对x求导数,则 2x+2 dy 2 y 1 所以出y Tt (I ≠y) (3)设F(x,y,z)=e可-2z+e,则 Fx=-y可,Fy Fx=-2 F 所以 F2e2-2 (4)令F(x,y) e"+ 将=1(a+a2-y)代人上式,即:F,=2-a-ya2,2
81隐函数 F dzFy√a2 de y dx ldx vas-y2dr (5)令F(x,y,z)=x2+y2+x2-2x+2y-4z-5,则 F,=2x-2 y az 厅小xF (6)把z看成x,y的函数,两边对x求偏导数,则有 B2=f(1+32)+f1(x+y2) 所以 f1 yzf ax 1-f1- xyf2 把x看成y,z的函数,两边对y求偏导数,则 0=f1 所以 +rafa 把y看成z,x的函数,对z求偏导数,则 1=f1(x+1)+n2(xy+x 所以az fi-a 4.设z=x2+y2,其中y=f(x)为由方程x2-xy+y2=1所 确定的隐函数求及 解由方程x2-xy+y2=1,得=2x=ny
第十八章隐函数定理及其应用 因=2x+2y出=2(x2-y2) 故=/4 2(2x-242/(x-2y)-2(x2-y2)1-2 do =4x-2y+5x2(2x-y 5设u=x2+y2+z2,其中z=f(x,y)由方程x3+y3+z3= 3xyz所确定的隐函数,求vx及umx 解由x3+y3+z3=3xz所确定的隐函数x=f(x,y)得 故 n4=2x+24=2(x+2-x2) =2|1+ (zrx2+2zt -2yzz )(xy-z2) y 6.求下列方程所确定的隐函数的偏导数: (1)x+y+z=c(y+2),求z对于x,y的一阶与二阶偏导数 (2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求3x 解(1)令F(x,y,z)=x+y+z-e-(x+y+),则 F=1 F= F 故
81隐函数 (2)把z看成x,y的函数,两边对x求偏导数,得 F1+F2+F3{1 0,故 F1+ F2+ F F 原方程两边关于y求偏导数,得F2+F(1+2y)=0 故 3(3x F+F12+F21+F2+F3+F3+(F13+F23+F3)×1+ (F++FF+F2+F(1+) =-F3[F3(F11+2F12+F2) 2(F1+F2)F3(F13+F23)+(F1+F2)2F3 7证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶 导数,则当F≠0时,有 F Fy F F Fr 0 证由题设条件可得y=-2(F,≠0) #x y"=-[(F2+ Fny)Fy-F2(Fy+ Fny)IFy (2F-FFr-FYFr-F2Fy)Fy (Fy*0) 所以Fy=2FFFx-F3Fax-F2F F2FyF,(F,≠0) F 471
第十八章隐函数定理及其应用 8.设f是一元函数,试问应对f提出什么条件,方程 2∫(xy)=∫(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y为x 的函数? 解设F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy),则 Fr=f(x)-2yf(xy), F,= f(y)-2xf(xy) 且F(1,1)=f(1)+f(1)-2f(1)=0 Fy(1,1)=f(1)-2f(1)=-f(1) 因此只需f(x)在x=1的某邻域内连续,则F,Fx,Fy在(1,1) 的某邻域内连续 所以,当∫(x)在x=1的某邻域内连续,且f(1)≠0时,方程 2∫(xy)=f(x)+f(y)就能唯一确定y为x的函数 S2隐函数组 1.试讨论方程组 在点(1,-1,2)的附近能否确定形如x=f(x),y=g(z)的隐函数 组? 解令F(x,y,x)=x2+y2-2,G(x,y,z)=x+y+z=2 则(I)F,G在点(1,-1,2)的某邻域内连续 (Ⅱ)F(1,-1,2)=0,G(1,-1,2)=0; (Ⅲ)Fz=2x,F=2y,F3=-z,G2=Gy=G12=1,均在点 (1,-1,2)的邻域内连续 (r)9(F,G F(1,-1,2)F(1,-1,2) G2(1,-1,2)Gy(1,-1,2) =4≠0 故由隐函数组定理,在点(1,-1,2)的附近所给方程组能确定形如 x=f(z),y=g(z)的隐函数组 472
§2隐函数组 2.求下列方程组所确定的隐函数组的导数 (1) 求 dr (2) y=0 0 求 解(1)设方程组确定的隐函数组为 边关于x求导,得 2=2(x)对方程组两 dy az 2x+2 dxa 解此方程组得a=2=是 (2)方程组关于x求偏导,得 0 解得:=2+,0=2n2+x 方程组关于y求偏导数,得 2-x23=0 解得9=2+y (3)把u,v看成x,y的函数,对x求偏导数 1)+g2(2 82
第十八章隐函数定理及其应用 (1-2vg2)f1-f2gt 解之得x-(1-x/1)(1-2vg2)-/2g1 (1-xf1)g1+a/1g1 x(1-xf1)(1-2vyg2)-f2g1 3.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数 (1)/x=e ur, uy, Ux,U uCoS (2)y=u2+v2,求 争解(1)只(x,y=[1+“sin-c"syla,所以由反函数组定 u, U aya(x,y aa(,v)=1+c( a( csv"e au a(u, v) [1+e"(sinv-cosv)Ju axa(x, y) CSU av a(u, v)1+e"(sinv-cosv) e"+ sinU )[1+e(sinv-cosv)]u -t Ur, (2)关于x求偏导数,{0=20x+20mx,,解之得x=-3 +3 4.设函数z=z(x,y)由方程组 x=e+,y=e",z=v(u,v为参量)所定义的函数,求当 =0,v=0时的dz 解因dz=z2dx+zy zx=urU+ uur, zy =uu+uT 所以当=0,v=0时,dz=0 5.设以t,v为新的自变量变换下列方程 (1)(+y)3z-(x-y 3z=0, i u=InV2+2,v=arctan y 474
82隐函数组 x2yay2=0,设a=xy,D=2 解()一2,B=x+y az au az a 所以 y du dy dv dy ay at22g2 a az a 代入原方程,并化筒得 'au d (2)x=22+02=ya119 所以 dt a2z a a2z au a2 auav arava d三+2 dudu d. u dy audi dy auav ay ax ay 22 将上述,。代入原方程并化简得 a4 即2 6.设函数u=u(x,y)由方程组 u=f(r,, 2, t),g(y,z, t)=0,h(a, t)=0 所确定,求和2y 解方程组分别关于x,y求偏导数 475
第十八章隐函数定理及其应用 丘++f a2 由g a =0 十 解得 fr f,+ f av+ fe 由gy+g=3+ = = 解得 0y=+((h,f)/2(g,h) z, t 7.设 y=y(s,t),z=z(s,t)都具有连续的一阶偏导数证明: a(,)(u1v)9(x1y)+(,v)9(y,2)+9(a,)9(x,x) a(s, t)a( (y,z)3(s,t)a(z,x)3(s,t) 证右端 Ur WylLys y : xys ur t u t u,y u,zs t urts urEt u,zs+ UT, Ut t Urt (2x,+y2+u4x2)(vx1+M+vz)-(u2x2+ay+4y 2)( 左端 8.设以=y,v=x证明:当00时,a,可 tan Z