第十四章幂级数 第十四章幂级数 §1幂级数 1.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域 (2x:2)2n2:2:(3)2 (4)∑r"x",(0<r<1);(52G-22n-1 (63+(2"(x+1);(7)∑(1+1+…+1)x 解(1)由于imn=1,所以,收敛半径R=1,即收敛区间为 (-1,1);但当x=±1时,有∑(±1)n均发散,所以级数∑nx在 x=±1时发散于是这个级数的收敛域为(-1,1) (2)由于lim 所以,收敛半径R=2;但当x=±2时 有1(土2)21=1,由于级数∑1收做,所以级数∑在=±2 时也收敛,于是这个级数的收敛域为[-2,2] (3)由于g21=(m+1 n+1)2 [2(n+ 2n+2)(2n+1)所以 ,收敛半径R=4;但当x=±4时,这个级数为 ±4)n,记通项为un,则有 14n=(x!)24_(n!)2·22
§1幂级数 2·4·6…2n 于是lm|n1=+∞,所以当x=±4时,级数∑{2}x发散, 从而可知这个级数的收敛域为(-4,4) (4)由于lim√r2=0,所以收敛半径为R=+∞,收敛域为 5)由于myan1=如m√an21)=0所以收敛半径 R=+∞,于是这个级数的收敛域为(-∞,+∞) (6)由于 lim yI anI=im =3,所以收敛半径 R=3,因而级数∑3+=2(x+1)的收敛区间为 x+1|<3即(-3,-3)当x=-3时,级数 =∑[(-1)1+1 1+(-2)n 收敛,当x= 5时级数∑2+(=3 ,而由于 1(n→∞)且∑1发散,故此时原级数发散.于是可得级数 ∑3+=2(x+1)的收敛域为(-号,-3) (7)因为√n "n.1≤√1++…+1≤yn·1,又由, Imyn:1=1,所以im√1+2+…+n=1,从而可得收敛半径 R=1;又当x=±1时m(1+1+…+1)(±1)1≠0,可见级 数∑(1+1+…+1)z在x=±1处发散,故幂级数的收敛域为
第十四章幂级数 (8)因为lm/an1=lim1x,y2 0,|x|<1 所以收敛半径R=1,收敛区域为[-1,1] 2.利用逐还项求导或逐项求积分的方法求下列幂级数的和函数 (应同时指出它们的定义域) (1) 2n+1 (2)x+2x2+3x3+…+nxn+…; (3)1·2x+2·3x+…+n(n+1)xm+ 解(1)因为myan=如m√2n+1=1,且x=±1时 n=02n+102n+7都是发散级数,所以此幂级数的收敛域为 与 (-1,1),设其和函数为f(x),于是当|x1<1时,逐项求导数可得 ∫(x)=1+x2+x2+…+x2n+…=,12 所以,f(x)= =In1(1 x|< 1) (2)由于lman=im√n=1,且当x=±1时这个幂级数发 散,所以该幂级数的收敛域为(-1,1),设其和函数为f(x),则 (x),其中g(x) 因为当1x1<1时 340
81幂级数 g(t)dt 所以,g(x)=(,x)= (1 从而f(x)= 2(x1<1) (3)因为 lim an+1I= lim (n +1(n+ 2) n+1) 且当x=±1时,这个级数发散,所以该幂级数的收敛域为(-1,1),设 其和函数为f(x),则 n(n+1)rn f(t) n(n+1t"dt n(n+1t"dt n=1 (|x1<1) 所以,(x)=(a2yy=2(x:x+:21-2 3.证明:设f(x)=∑an在|x|<R内收敛若∑,41R+1 也收敛,则「/(x)=∑2,R (注意这里不管∑anx在x=R是否收敛),应用这个结果证明: 证因为当|x1<R时,f(x)=∑an收敛,则有 f(t)dt x+1(x∈(-R,R)
第十四章幂级数 但已知当x=R时,∑1Rm+1收敛从而可知 x=R左连续,于是 f(r)dr= lim n+1 应用这个结果,取f(x) (-1)”-1xn-1,当|x1<1时有 f(r) 又级数∑ 收敛,所以 dr 4.证明:(1)y=∑ 满足方程y4)=y; (2) d(n!)2满足方程xy"+ 证(1)因为myan1=m(4n)!=0,故这个幂级数的收 敛区间(-∞,+∞),所以它可以在区间为(-∞,+∞)内逐项微分任 意次,从而, (4n-2)!y (4n-3 2[4(n-1)]!= (2)因为lim 0,故该幂级数的收敛区间为 (-∞,+∞),它可以在(-∞,+∞)内逐项微分任意次 注意到 2(n!)2=1 (n!)2=1+5 [(n-1)!]2 可得,y=∑ 2n!(n-1)1+2n(n-1 42
§1幂级数 n!(n-2)! 所以 y !(n-2)!+n!(n-1)!-[(n-1)!]1 =∑[(n-1)(n,=1)+(n1)!-n!1x21=0 n![(n-1)!]2 5证明:设f(x)为幂级数∑anx"在(-R,R)上的和函数,若 ∫(x)为奇函数,则该级数仅出现奇次幂的项,若f(x)为偶函数则该 级数仅出现偶次幂的项 证因为f(x)=∑anx”,(|x|0,b>0); (2)2(1+) 解(1)记a=-1,则im1n"|=maxa,b所以收敛半 343
第十四章幂级数 径R=maxa,b},由于1x1=R时,mnR"=1≠0,故这个幂 级数在x=±R处发散,从而此幂级数的收敛域为(-R,R) (2)因为lmn%an1=hm、(1+1)x2=hm(1+1)=e所 以收敛半径R=,又因为当x=±时,有Imn(1+1y2(+1y≠0 所以这个幂级数在x=±1处发散,故此幂级数的收敛域为 11 7.证明定理14.3,并求下列幂级数的收敛半径 (1)∑13+(-1)"x; (2)a+bx+ax2+bx3+…,(01时,可知1an|不趋于零(n→∞),于 是an不趋于零(n→∞),从而可知∑anx发散因此, n=0
81幂级数 (1)当01,所 以可知R=0 解(1)对∑3+(-1)”1 x,因为上极限 駟3+D==4所以R= (2)对于a+bx+ax2+bx3+…(0(-1都收敛,故这个幂级数的收敛域 是[-1,1]设g(x)=x n(n+1) =】n(n+1) 则当1x1<1时 g(x)=∑n,g()=∑x1=1 从而可得, dt g (1-)h=-h(1-)+m:d =-xln(1-x)+x+ln(1-x) =(1-x)ln(1-x)+x 345
第十四章幂级数 1-zln(1-x)+1,-1≤x<1,且x≠0 故2 0 (2)因Hmn(n+1)( =1,所以R=1,当x=±1时,这 个级数 (±1)n n(n+1)(n 是收敛的,从而该幂级数的收敛域为 [-1,1].令 n(n+1)(n+2) (n+1)(n+2) (|x|≤1) 则当|x1<1时,由(1)知 f(x)=y =(1-x)ln(1-x)+x 因此 f(x)=t(-)(1-)+ld =-2(1-x)2n(1-x)-+3 ax2(x1<1) 设 2n(n+1)(n+2 的和函数是S(x),则当0<|x|<1时, SO n=i n(n t f(x)=-①1-x)2l 因为该幂级数在x=±1时收敛,从而它在收敛域端点x=±1处 右、左连续,所以, 当x=1时,S(x)=4;
§1幂级数 当x=-1时,S(x)=2h+; 当x=0时,S(x)=0 故和函数为 (1 +,0<|x|<1 S(x)=4,x=1 2 0 9.设a0,a1,a2,…为等差数列(a0≠0),试求 (1)幂级数∑an的收敛半径; (2)数项级数∑4的和数 解(1)设等差数列{an}的公差为d,则 an+= ao+(n+1)d, an= ao+nd, 从而!m1a1=1m1+a4mn1|=1,所以R=1 又 01=2a0,对于∑d可考虑幂级数∑nx,设 f(x)=∑nx2,则 (1x|<2) n=0
