§1平面点集与多元函数 第十六章多元函数的极限与连续 S1平面点集与多元函数 1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域?并分别 指出它们的聚点与界点 (1)a,b)×[c,d);(2){(x,y)1xy≠0};(3)(x,y)|xy=0 (4)(x,y)|y>x2};(5)(x,y)x2}; (6)(x,y)1x2+y2=1或y=0,0≤x≤1}; ≤1,或y=0,1≤x≤2 (81(x,y)1x,y均为整数1;(9)(x,y)1y=n1,z>0 解(1)经判定可知该点集是有界集,也是区域但既不是开集又 不是闭集.其聚点为[a,b]×[c,d]中任一点.界点为矩形 [a,b]×[c,d]的四条边上的任一点 (2)该集为开集,不是有界集也不是区域,其聚点为平面上任一 点其界点为两坐标轴上的点 (3)该集为无界闭集,不是开集不是区域,其聚点为坐标轴上的任 点,而界点与聚点相同 (4)该集为开集且为区域聚点为满足y≥x2上任一点界点为 =x2上的所有点 (5)该集为有界开集聚点为开集内的任一点和任一界点界点为 直线x=2,y=2和x+y=2所围成的三角形三边上的点 (6)该集为有界闭集聚点为集中任一点,界点与聚点相同 (7)该集为有界闭集聚点为集合{(x,y)1x2+y2≤1或y= 1≤x≤2}中的所有点界点为聚点中除去x2+y2<1的部分 (8)该集为闭集没有聚点界点为集合{(x,y)1x,y均为整数} 395
第十六章多元函数的极限与连续 中的全体点 (9)该集为非开非闭的无界集聚点为点(0,0)及曲线y=sn1 上的点界点与聚点相同 2.试问集合(x,y)100,总存在N,使得n>N时,有 Pn∈U(P0,e) 当n充分大时,U(P0,e)含有{Pn的无穷多个点.又{Pn}CE 从而U(Po,e)中含有E中无穷多个点这说明P0是E的聚点 必要性若P是E的聚点,则对任给的e>0,U(P0,e)中必 含有E中的点取e1=1,则U(P0,e1)中含有E中的点,取出一个, 记为P1 取,=灬1,P1-P01},则U(P0,e2)中也含有E中的点, 取出一个,记为P2 依次类推 取(n=mi1,1P1-Pn,…,1P=P0则Ur(n,) 中含有E中的点,取出一个,记为Pn 这样继续下去,得到一个各项互异的点列Pn}.易见Pn≠P0, PnCE,且imPn 4.证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真 396
81平面点集与多元函数 证设D为闭域,则有开域G使 D=GUaG (1) 其中∂G为G的边界.设P0∈D,则Po在G且P∈aG.由 P0∈G知:对任意δ>0,U(P0,8)∩CG≠,其中CG为G的余 集即关于R2的补集.由于P0∈aG,从而存在0>0,使 U(P0,δ)∩G=￠.下证 U(P0,80)∩aG=0 (2) 若不然,则存在P1∈U(P0,80)∩aG.于是当ε>0充分小时, U(P1,e)CU(P0,80).由于P1∈aG,从而U(P1,e)中含有G的点 Q.于是Q∈U(P0,δ)∩G.这与以上结论矛盾.因此(2)真由(1)知 U(P0,6)∩D=O 故Po不是D的聚点这就证明了:若P为D的聚点,则Po∈D 因此D为闭集 注以上证明中未用到G为开域.由此可知:对任一点集E E∪aE恒为闭集 5.证明:点列{Pn(xn,yn)收敛于P0(xo,y)的充要条件是 lim x=x0和limy 证必要性设点列{Pn(xn,yn)收敛于P0(x0,y),则对任给 的∈>0,存在N,当n>N时,p(Pn,P0)N) 从而 limx=x0 同理ir 充分性设 limx=xo, limy=y,则对任给的e>0,存在N, 当n>N时, 1xn-x01N)
第十六章多元函数的极限与连续 故点列{Pn(xn,y)收敛于P0(x0,yo) 6.求下列各函数的函数值 )(x,)=(mmx+),求124,123) (2)f(x,y)=22,求f(1,y); (3)f(r,y)=x2+y2-xytan,f(tr, ty) 1+√3 √3 arctan 解(1)八(2 arctan 1+√31-√3 arctan arctan (2)/1)2.1./y 2x2+y2x2+y2 (3)f(x,by)=12x2+2-2ytmn=2(x2+y2-om王 7.设F(x,y)= InrIny证明:若u>0,v>0,则 F(ry, uv)=F(c,u)+ F(a, v)+ F(y, u)+ F(y, v) 证因为F(x,y)= IncIny,且>0,v>0,所以 F(xy, wu)=In(ry). In(uv)=(Inz Iny)(Inu Inv) InrInu IncInv Inylnu Inylnu F(a,u)+F(r, v)+F(y, u)+ F(y, v) 8.求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种 点集 (1)f(x,y)=x2+ (2)f(x,y) (3)f(x,y)=√xy;(4)f(x,y)=
§1平面点集与多元函数 (5)f(x, y)=Inz+ Iny;(6)f(r, y)=sin(12+ y2) (7)∫(x,y)=ln(y-x);(8)f(x,y)=e(x2+y); (9)f(x,y) (10)f(x,y)=√R2-x2-y2-z2+ 解(1)函数的定义域为D={(x,y)1x≠±y},是无界开点集 (图16-1) 图161 图16-2 (2)函数的定义域为D=(x,y)12x2+3y2≠0}=R2 (0,0)},是无界开点集.(图16-2) (3)函数的定义域为D=(x,y)1xy≥0},是无界闭集(图16-3 (4)函数的定义域为D={(x,y)11-x2≥0且
第十六章多元函数的极限与连续 y2-1≥0}={(x,y)1x长≤1且y1≥1,是无界闭集.(图16-4) (5)由对数定义知函数的定义域为 D=(x,y)1x>0且y>0},是无界开点 集.(图16-5) (6)由开方和三角函数的定义知函数的定 义域为D=1(x,y)12nx≤x2+y2 ≤(2n+1)r,n=0,1,2,…,是无界闭集 (图16-6) (7)由对数的定义知函数的定义域为 图16-5 D=(x,y)|y>x},是无界开集 图166 图167 (8)因为e2+≠0,所以无论x,y取任何 实数均不会使e+y为零由指数函数定义知 函数的定义域为D={(x,y)1(x,y)∈R2} 整个平面,是无界既开又闭的点集 (9)由所给的函数可知其定义域是整个三 维空间,是无界既开又闭的点集 图16-8
§1平面点集与多元函数 (10)函数的定义域为D={(x,y,z)1r2< x2+y2+z2≤R2},是有界既不开又非闭的点 9.证明:开集与闭集具有对偶性一 为开集,则CE为闭集;若E为闭集,则CE为开 证设E为开集,但CE不是闭集则由闭 集定义知,CE中至少有一个聚点不属于CE.设 图169 这个聚点为A,则必有A∈E.因为E为开集,所 以存在点A的某邻域U(A),使U(A)CE.因此,U(A)中不含有CE 中的点这与A是CE的聚点矛盾.因此,若E为开集,则CE为闭集 设E为闭集,但CE不是开集.由开集定义知CE中至少有一个点 不是CE的内点设这个点为B,则根据内点的定义知,对点B的任何 邻域U(B)都有U(B)不含于CE,即U(B)中含有E中的点.由于 B(E,因此,B为E的聚点但B∈E,这与E是闭集矛盾因面,若E 为闭集,则CE必为开集 10.证明 (1)若F1,F2为闭集,则F1∪F2与F1∩F2都为闭集; (2)若E1,F2为开集,则E1UE2与E1∩E2都为开集; (3)若F为闭集,E为开集,则F\E为闭集,E\F为开集 证(1)设P为F1UF2的聚点,由课本上册第七章§1定义2 存在一个各点互不相同的收敛于P的点列{Pn}CF1UF2,因而F1和 F2至少有一个集合含有{Pn}中的无限多项,不妨设PCF1,于是 也有Pn→P(k→∞),从而P为F的聚点,F1为闭集,P∈F1 故P∈F1UF2,即F1UF2为闭集 同理可证F1∩F2也为闭集 (2)设E1,E2为开集,VA∈E1UE2,有A∈E1或A∈E2不 妨设A∈E1,则存在点A的某邻域(A),使得U(A)CE1,从而有 U(A)CE1∪E2.因此,E1∪E2为开集 401
第十六章多元函数的极限与连续 设B∈E1∩E2,则有B∈E1且B∈E2由于E1,E2为开集, 则存在点B的某邻域U(B;81),使得 U(B; dCEl 也存在点B的某邻域U(B;2),使得 U(B;62)CE2 因此,存在点B的邻域U(B;6)(其中δ=min{81,62),使得 U(B;8)CE1∩E2, 所以F1∩E2为开集 (3)若F为闭集,E为开集,由9题知CF为开集,CE为闭集.又 F\E=F∩CE,E\F=E∩CF,从而由(1)、(2)知F\E为闭集 E\F为开集 11.试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之 证推广为:设{Fn}为R2中的闭集列,且满足 (1)Fn= Fn+i,n (2)d,=d(f,), limd.=0 则存在唯一的一个点P0∈Fn,n=1,2 现证如下 任取点列Pn∈Fn(n=1,2,…)由于Fn+pCFn,因此Pn,Pn+p ∈Fn,从而有p(Pn,Pn+p)≤dn→0(n→∞) 由定理16.1可知:必存在P∈R2,使得 任意取定n,对任何自然数p有 由于Fn为闭集,且lmPn+p=P0,所以Po作为Fn的点或为其聚 点,必定属于Fn,即 P0= lim p+p∈Fn(n=1,2 下证Po的唯一性: 若还有P0∈Fn(n=1,2,…)则
1平面点集与多元函数 p(Po,P0)≤p(Po;Pn)+p(P0,Pn)≤2dn→0(n→∞) 得到p(P0,P0)=0,故Po=P0 12.证明定理164(有限覆盖定理) 设DCR2为一有界闭域,{△a}为一开域族,它覆盖了D(即 DCU△a),则在{△a}中必存在有限个开集△1,△2,…,△n,它们 同样覆盖了D(即DCU△) 证设有界闭域D含在矩形[a,b]×[c,d]之中,并假设D不能 被△a|中有限个开域所覆盖用直线x=a+b,y=+2把矩形 a≤x≤b,c≤y≤d分成四个相等的闭矩形.那么至少有一个闭 矩形它所含的D的部分不能被{△a}中有限个开域所覆盖把这个矩 形(若有几个,则任选其一)再分为四个相等的闭矩形按照这样分法 继续下去,可得一闭矩形套{[an,bn]×[cn,dn]}.其中每一个闭矩形 所含的D的部分都不能为{△a}中有限个开域所覆盖于是,每个闭矩 形an,bn]×[cn,dn]中都至少含有D的一点,任取其中一点为 (xn,yn)则(xn,yn)∈D,且 an<In< bn,cn yn< dr (n= 1, 2, .. 由闭矩形套定理可知:存在一点(x0,y0),满足对任意的自然数n 都有 an≤xn≤bn,Cn≤yn≤dn 由于lm(bn-an)=lmba=0 lim(d,-G,)=lim d-c 所以imxn=xo, lim y=y0,又因(xn,yn)是有界闭域D上 的点,所以(x0,y)∈D,按定理条件,在{△a}中必有一开域包含 (x00),不妨设此开域为△0,则必存在点P0(x0y0)的一个邻域 U(Po,8),使得U(Po,8)C△0,由于an→x0,bnx0;cn→yo
第十六章多元函数的极限与连续 dn→yo,故n充分大时,恒有 cn≤y0≤dn< 可见矩形[an,bn]×[cn,dn]包含于邻域U(Po,b)中,从而包含 于开域△0中,但是,这与每个[an,bn]×[cn,dn]中所含的D的部分不 能被{△a}中有限个开域所覆盖矛盾,故{△a}中必有D的有限开覆盖 S2二元函数的极限 1.试求下列极限(包括非正常极限): y 1+x2+ 0) (3) lin +y2 y t L (5) lin (a y)sin (x,y)→(0,0) 解(1)因为当(x,y)≠(0,0)时, ≤12→0(x,y)→(0,0) 故m02y=0 (2)原式=,lim「-1 1]