教案 用微积分推导 Newton的万有引力定律 复旦大学於崇华 Newton万有引力定律 宇宙万物之间都存在相互的引力,其作用方向在 两者的连线上,其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数 为了推导内在的定量关系即数学规律,先要将行星运动定律 用数学形式表达出来 Kepler第一定律:行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭 圆,太阳在椭圆的一个焦点上。 以太阳为极点,椭圆的长轴 rcos e 为极轴建立极坐标,则行星的轨 道方程为 e cos e 这里p=2是焦参数,=-2是离心率,a和b分别是椭圆的半 长轴和半短轴 设在t时刻 行星与太阳的距离为r=r(),它们的连线与极轴的夹角 为θ=6(t),则行星的坐标可以用向量记号表示成
教案 用微积分推导 Newton 的万有引力定律 复 旦 大 学 於 崇 华 Newton 万有引力定律 宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在 两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数 为了推导内在的定量关系即数学规律，先要将行星运动定律 用数学形式表达出来。 Kepler 第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭 圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 rsin θ θ 以太阳为极点，椭圆的长轴 为极轴建立极坐标，则行星的轨 道方程为 r p e = 1 cos − θ ， 这里 p b a = 2 是焦参数，e 是离心率，a 分别是椭圆的半 长轴和半短轴。 b a = −1 2 2 b r cos 和 r θ 设在 t 时刻： 行星与太阳的距离为 r = r (t)，它们的连线与极轴的夹角 为 θ=θ t)( ，则行星的坐标可以用向量记号表示成
r=(rcos0, r sin e)。 先从 Newton第二运动定律F=m入手 将r分解成水平分量rcos0和垂直分量rSin0,利用运动 的独立性原理,用 Newton第二运动定律 d F=ma dt2 分别求它们的二阶导数后再合成 d r 记行星沿极径方向的速度 d t ≡(称为径向速度) 加速度 dn2≡F(称为径向加速度), do 角速度:a de=0角加速度dt 利用复合函数的求导法则(和0都是t的函数),行星在x方向和y 方向上的加速度分量分别为 d2(rcosθ) =rcos e-2ro sin e - 0+@ 0 =(-r0o2)cos-(2i+10)sin0 d(sine) sine+2rocosetrocose-o2sine (2ro+ro)cos0+(r-ro sin 0 记r方向上的单位向量r(cos,sn),则加速度向量 dr=(i-10 2r0+r0 d t
r=( cos , sin ) r r θ θ 。 先从 Newton 第二运动定律F = ma 入手 将 分解成水平分量 r r cos θ 和垂直分量 rsin θ ，利用运动 的独立性原理，用 Newton 第二运动定律 F = ma 2 2 d d t r = ， 分别求它们的二阶导数后再合成。 记行星沿极径方向的速度: t r d d ≡ r& （称为径向速度） 加速度: 2 2 d d t r ≡r&& （称为径向加速度）， 角速度: ≡ θ d t d ω 角加速度: ω≡ ω & d t d 利用复合函数的求导法则(r 和θ都是 t 的函数)，行星在x方向和 方向上的加速度分量分别为 y d r dt rrr 2 2 2 ( cos ) &&cos & sin [& sin cos ] θ =− − + θ ω θ ω θω θ = − (&&rr r r ω )cos ( θ− &ω+ ω& )sinθ 2 2 ； d r dt rr r 2 2 2 ( sin ) &&sin & cos [& cos sin ] θ =+ + − θ ω θ ω θω θ = (2& + & )cos ( + &&− )sin 2 r r rr ω ω θ ω θ 。 记 r 方向上的单位向量 r r 0 = r = (cos , sin ) θ θ ，则加速度向量 a = 2 2 d d t r = ( ) &&r r − ω + ( 2 0 r ω 2 &ω + rr ω& ) r&0 （1）
为了得到行星运动规律,必须求出-102与+ 而求这两个量只能借助其它的关系式 试着将 Kepler的行星运动第二定律用数学形式表达出来 Kepler第二定律:单位时间中,极径扫过的那块椭圆的 面积是常数。 记dA是极径转过角度dθ所扫过的那块椭圆的面积,则由 极坐标下的面积公式的微分形式, rd e 因此,单位时间中扫过的面积 da 1 a=270=常数。 记行星绕太阳运行一周的时间为T,则经过T时间极径所 扫过的面积恰为整个椭圆的面积πab,由定积分的定义和性 质,利用微元法,即得 πab 子、 因此常数 2πab 2 两边求导后得到 (r20)′=2ro+r20=0 即 20+r0=0 这样,(1)的最后一项就去掉了,等式成为
为了得到行星运动规律，必须求出&&r r − ω2 与 ω 2 & rr ω+ω & ， 而求这两个量只能借助其它的关系式 试着将 Kepler 的行星运动第二定律用数学形式表达出来： Kepler 第二定律：单位时间中，极径扫过的那块椭圆的 面积是常数。 记 d A 是极径转过角度 d θ 所扫过的那块椭圆的面积，则由 极坐标下的面积公式的微分形式， d A d θ= 2 1 2 r ， 因此，单位时间中扫过的面积 dA dt = r 1 2 2ω = 常数。 记行星绕太阳运行一周的时间为 ，则经过 时间极径所 扫过的面积恰为整个椭圆的面积 T T πab ，由定积分的定义和性 质，利用微元法，即得 πab = = ∫ dA dt dt r T T 0 2 1 2 ω ， 因此常数 r a b T 2 2 ω π = ， 两边求导后得到 ( ) r rr r & & 2 2 ω ′ = 2 0 ω + ω = ， 即 2 0 r r &ω + ω& = 。 这样，（1）的最后一项就去掉了，等式成为
d3≈(-02)r 0 (2) 这表示:行星在任一点的加速度的方向(也就是受力的方向)恰 与它的极径同向。 从求加速度分量的过程可以发现,加速度的值一r0)2来自 对rcos6(或rsinθ)求二阶导数,而椭圆方程 (l-ecos 0) 中恰含有rcos0项。这提示我们,可能可以通过对椭圆方程两 边求二阶导数来计算出-m2。 d(r cos 0) 0 e De cos e =(-r02)(1-ecos0)+ro2 r-ro 2 p+ro 2 所以 j-r02= (r0)14ab2a D T2 b2 2 Kepler第三定律:椭圆的半长轴a的三次方和运行周期 T的平方成正比,即72=常数,记太阳的质量为M,有 4丌2a3M F=ma=mr-702o-M. 2).2 ro
a = 2 2 d d t r = (&&r r − ω2 ) r 0 （2） 这表示：行星在任一点的加速度的方向（也就是受力的方向）恰 与它的极径同向。 从求加速度分量的过程可以发现，加速度的值 来自 对 （或 ）求二阶导数，而椭圆方程 &&r r − ω2 r cos θ r sin θ pr e = ( cos 1− θ) 中恰含有 项。这提示我们 ．．．．．，可能可以通过对椭圆方程两 边求二阶导数来计算出 r cos θ &&r r − ω2。 0 p&& == && −er dt rd )cos( 2 θ = −&&r rr e (&&− ω ) cosθ 2 = − (&&rr e r ω2 2 )( cos ) 1 − θ + ω = − ⋅ + &&r r r p r ω ω 2 2 ， 所以 && ( ) r r r r p a b T a b r − =− ⋅ =− ⋅ ω ω π 2 2 2 2 222 2 2 1 4 2 1 =− ⋅ ⋅ 4 1 2 3 2 π a T r 2 。 （3） Kepler 第三定律：椭圆的半长轴 a 的三次方和运行周期 T 的平方成正比，即 a T 3 2 = 常数，记太阳的质量为 M ，有 F = ma = − mr r (&& ω )2 0r =− ⋅ ⋅ ( ) 4 2 3 2 2 π M a T Mm r r 0
记万有引力常数 4兀 M72≈667×10( 便得到万有引力定律的数学表示 宇宙万物之间都存在相互的引力,其作用方向在 两者的连线上,其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数 说明 (1)以上只是论证了万有引力定律对太阳-行星系统是正确 的。但以后的科学工作者(包括 Newton本人)一系列的观测和 实验数据证实,它确实“放之四海而皆准”,适用范围从天体运 动延展到微观世界,令人信服地定量地解释了许多物理现象,并 成为探索未知世界的有力工具。其中一些著名的例子: 计算出哈雷彗星的轨道和运行周期: ●发现海王星和冥王星 ●正确解释了潮汐的起因和规律; 计算出第一、第二和第三宇宙速度,指导人类宇航活动。 (2)数学的产生与发展离不开外部世界的推动,是和解决实 际问题紧密联系的。万有引力定律是人类历史上最伟大的数学模 型之一。而一个成功的数学模型对文明发展的影响和作用可能无 法估量,因此数学及其应用对整个人类文明进程举足轻重。 (3)一切伟大的科学发现都是站在巨人肩膀上取得的,因此 学好前人的科学总结,即打好基础对于培养创新精神极为重要 (4)通过此过程可以复习微积分中的一系列重要内容,如 高阶导数、复合函数求导法则、微元法等,并进一步学会如何具
记万有引力常数 G M a T = 4 2 3 2 π ≈ × ⋅ − 667 10 11 3 2 . (/ m kg s )， 便得到万有引力定律的数学表示 F = −G Mm r 2 r0 。 宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在 两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数 说 明 (1) 以上只是论证了万有引力定律对太阳-行星系统是正确 的。但以后的科学工作者（包括 Newton 本人）一系列的观测和 实验数据证实，它确实“放之四海而皆准”，适用范围从天体运 动延展到微观世界，令人信服地定量地解释了许多物理现象，并 成为探索未知世界的有力工具。其中一些著名的例子： ●计算出哈雷彗星的轨道和运行周期： ●发现海王星和冥王星； ●正确解释了潮汐的起因和规律； ●计算出第一、第二和第三宇宙速度，指导人类宇航活动。 (2) 数学的产生与发展离不开外部世界的推动，是和解决实 际问题紧密联系的。万有引力定律是人类历史上最伟大的数学模 型之一。而一个成功的数学模型对文明发展的影响和作用可能无 法估量，因此数学及其应用对整个人类文明进程举足轻重。 (3) 一切伟大的科学发现都是站在巨人肩膀上取得的，因此 学好前人的科学总结，即打好基础对于培养创新精神极为重要。 (4) 通过此过程可以复习微积分中的一系列重要内容，如： 高阶导数、复合函数求导法则、微元法等，并进一步学会如何具
体运用这些知识进行简单的数学建模和求解。 (5)若承认 Newton万有引力定律,用微积分作为工具,也可导 出 Kepler的行星运动三大定律,这说明两者存在着深刻的内在 联系(今后在其它课程,如常微分方程、数学模型中学习)
体运用这些知识进行简单的数学建模和求解。 (5) 若承认 Newton 万有引力定律，用微积分作为工具，也可导 出 Kepler 的行星运动三大定律，这说明两者存在着深刻的内在 联系（今后在其它课程，如常微分方程、数学模型中学习）
