习题13.2重积分的性质与计算 1.证明重积分的性质8。 证不妨设g(x)≥0,M、m分别是f(x)在区域Ω上的上确界、下确界, 由mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)、性质1和性质3,可得 mg(x)d≤f(x)g(x)d≤M|g(x)dl 当∫g(xd=0,积分中值定理显然成立。当s(xM≠0,则 f(x)g(x) g(x)dr 所以存在∈[m,M],使得 f(xg(x)dk x)di 即 ∫(x)g(x)=」g(xd 如果∫在有界闭区域Ω上连续,由介值定理,存在ξ∈Ω,使得 f()=4,所以 (x)(x)=/(5)s(x) 2.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小 (1)(x+y)do与∫(x+y)h,其中D为x轴,y轴与直线 +y=1所围的区域 (2)x+y)dd与∫mx+y)dd,其中D为闭矩形35×10 解(1)因为在D上成立0(x+y)3,于是 ‖(x+y)dd>‖(x+y)2dd (2)因为在D上成立x+y≥3,所以ln(x+y)<[n(x+y)2,于是 ∫j(x+y)tod<∫mx+y)】abh 3.用重积分的性质估计下列重积分的值: (1)x(x+yddy,其中D为闭矩形o× 100+cos- x+coS- y ,其中D为区域{(x,y)|xH+y≤10};
习 题 13.2 重积分的性质与计算 1．证明重积分的性质 8。 证 不妨设 g(x) ≥ 0，M 、m分别是 f (x)在区域Ω上的上确界、下确界， 由 mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ Mg(x)、性质 1 和性质 3，可得 ∫ ∫ ∫ ， Ω Ω Ω m g(x)dV ≤ f (x)g(x)dV ≤ M g(x)dV 当 ( ) = 0，积分中值定理显然成立。当 ，则 ∫ Ω g x dV ( ) ≠ 0 ∫ Ω g x dV M g x dV f x g x dV m ≤ ≤ ∫ ∫ Ω Ω ( ) ( ) ( ) ， 所以存在µ ∈[m, M ]，使得 = µ ∫ ∫ Ω Ω g x dV f x g x dV ( ) ( ) ( ) ， 即 ∫ ∫ Ω Ω f (x)g(x)dV = µ g(x)dV 。 如果 f 在有界闭区域Ω 上连续，由介值定理，存在ξ ∈ Ω ，使得 f (ξ ) = µ ，所以 ∫ ∫ 。 Ω Ω f (x)g(x)dV = f (ξ ) g(x)dV 2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) ∫∫ + 与 ，其中 为 D x y dxdy 2 ( ) ∫∫ + D x y dxdy 3 ( ) D x 轴， y 轴与直线 x + y = 1所围的区域； (2) ∫∫ + 与 D ln(x y)dxdy [ ] ∫∫ + D x y dxdy 2 ln( ) ，其中D为闭矩形[ , 3 5] ×[0 1, ]。 解（1）因为在D上成立 0 (x + y) ∫∫ + D x y dxdy 2 ( ) ∫∫ > + D x y dxdy 3 ( ) 。 （2）因为在D上成立 x y + ≥ 3，所以 ，于是 2 ln(x + y) < [ln(x + y)] ∫∫ + D ln(x y)dxdy [ ] ∫∫ < + D x y dxdy 2 ln( ) 。 3．用重积分的性质估计下列重积分的值： (1) ∫∫ + ，其中 为闭矩形[ , D xy(x y)dxdy D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ∫∫ + + D x y dxdy 2 2 100 cos cos ，其中D为区域{(x y, )| | x|+| y|≤ 10}； 1
dxdxdz (3)+x2+y2+:,其中9为单位球{(xy)x2+y2+2≤1 解(1)因为在D上成立0≤x(x+y)≤2,所以 0≤ y(x+y)ddy≤2 (2)因为在D上成立1≤ 102-100+c052x+c0s2y0,所以 O (3)7(x,yb (4)ayL f(x, y)dx+l, dy f(x,y)dx: (5)4”(xyk(改成先y方向,再x方向和:方向的次
(3) dxdxdz 1 x y z 2 2 + + + ∫∫∫ Ω 2 ，其中 Ω 为单位球{(x y, ,z)|x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 。 解（1）因为在D上成立 0 ≤ xy(x + y) ≤ 2，所以 0 ≤ ( + ) ≤ 2 ∫∫ D xy x y dxdy 。 （2）因为在D上成立 100 1 100 cos cos 1 102 1 2 2 ≤ + + ≤ x y ，所以 2 51 100 cos cos 100 2 2 ≤ + + ≤ ∫∫ D x y dxdy 。 （3）因为在 Ω 上成立 1 1 1 2 1 2 2 2 ≤ + + + ≤ x y z ，所以 π π 3 4 3 1 2 2 2 2 ≤ + + + ≤ ∫∫∫ Ω x y z dxdxdz 。 4．计算下列重积分： (1) ∫∫ + + ，其中 为闭矩形[ , D (x 3x y y )dxdy 3 2 3 D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ∫∫ ，其中 为闭矩形[,] + D xy dxdy x y 2 2 e D a b × [c,d]； (3) dxdydz ( ) x y + + z ∫∫∫ 3 Ω ，其中 Ω 为长方体[ , 1 2] × [1 2, ] × [ , 1 2]。 解（1）∫∫ + + D (x 3x y y )dxdy 3 2 3 ∫ ∫ = + + 1 0 3 2 3 1 0 dy (x 3x y y )dx ) 1 4 1 ( 1 0 3 = + + = ∫ y y dy 。 （2）∫∫ + D xy dxdy x y 2 2 e = = ∫ ∫ d c y b a x xe dx ye dy 2 2 ( )( ) 2 2 2 2 4 1 b a d c e − e e − e 。 （3） dxdydz ( ) x y + + z ∫∫∫ 3 Ω ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + = − + + = 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 ( 1) 1 ( 2) 1 2 1 ( ) dy x y x y dx x y z dz dx dy 125 128 ln 2 1 2 1 3 2 4 1 2 1 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − + = ∫ dx x x x 。 5．在下列积分中改变累次积分的次序： (1) a dx f x y dy a b ； b a x ∫ ∫ ( , ) ( ) ； (3) dx f x y dy ； x 0 2 0 π ∫ ∫ ( , ) sin (4) dy f x y dx dy f x y dx ； y y 0 1 0 2 1 3 0 3 ∫ ∫ + ∫ ∫ − ( , ) ( , ) (5) dx dy f x y z dz（改成先 方向，再 方向和 方向的次 x x y 0 1 0 1 0 ∫∫∫ − + ( , , ) y x z 2
序积分); (6)4小1(xyx(改成先x方向,再y方向和:方 向的次序积分)。 解(1)广(xy=小(xy)。 (2)「amxf(x,y)zh dy +d=1(xy)+d户(xy) (3) 厂7(xy)=4(面xy)一小y(x,yk (4)b(xy)+门”(xy)=/x (5)a可”(x,y So d=lo dxr /(x,y=)dy-5 d=o dx/(x,y,=)dy 注:也可写成4(x,)+t二(x,y。 (6) 6.计算下列重积分: ()jyd,其中D为抛物线y=2mx和直线x=2(p>0所围 的区域 2a-x(a>0),其中D为圆心在(a,a),半径为a并且和坐 标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域; (3)ed,其中D为区域(x,y川+s (4)∫/x2y2)dod,其中D为直线y=x,y=x+ay=a和 y=3a(a>0)所围的区域 dxdy 其中D为摆线的 拱 x=a(t-sin1)y=a(1-cosn)(0≤1≤2x)与x轴所围的区域; 601+x2+1,其中D为直线y=xy=1和x=1所围的 区域; (7)』x2ydhd,其中D={(x,y|x2+y2≥2x,1≤x≤2,0≤y≤x;
序积分）； (6) dx dy f x y z dz x x − − − x y − + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ) （改成先 方向，再 方向和 方 向的次序积分）。 x y z 解（1）∫ ∫ = ∫ ∫ 。 b y b a x a b a dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx （2） 2 2 2 0 2 ( , ) a ax ax x dx f x y dy ∫ ∫ − 2 2 2 0 2 ( , ) a a a y y a dy f x y dx − − = ∫ ∫ ∫ ∫ + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) + ∫ ∫ a a a a y dy f x y dx 2 2 2 2 ( , ) 。 （3） dx f x y dy 。 x 0 2 0 π ∫ ∫ ( , ) sin = ∫ ∫ 1 − 0 arcsin arcsin ( , ) y y dy f x y dx π ∫ ∫ − + − − 0 1 2 arcsin arcsin ( , ) y y dy f x y dx π π （4） + = ∫ ∫ ∫ ∫ y −y dy f x y dx dy f x y dx 3 0 3 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) ∫ ∫ 2 − 0 3 2 1 ( , ) x x dx f x y dy 。 （5） dx dy f x y z dz x x y 0 1 0 1 0 ∫∫∫ − + ( , , ) = ∫ ∫ ∫ 。 1 − 0 1 0 1 0 ( , , ) x dz dx f x y z dy ∫ ∫ ∫ − − 1 0 0 0 ( , , ) z x z dz dx f x y z dy 注：也可写成∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 。 − − − + x z x x z z dz dx f x y z dy dz dx f x y z dy 1 0 1 0 1 0 1 1 0 ( , , ) ( , , ) （6） = ∫ ∫ ∫ + − − − − 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ) x y x x dx dy f x y z dz ∫ ∫ ∫ − − − − 1 0 2 2 2 2 ( , , ) z z z y z y dz dy f x y z dx 。 6． 计算下列重积分： (1) ∫∫ ，其中 为抛物线 和直线 D xy dxdy 2 D y 2 = 2 px x p = p > 2 ( 0) 所围 的区域； (2) ( 0) 2 > − ∫∫ a a x dxdy D ，其中 为圆心在 ，半径为 并且和坐 标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域； D ( , a a) a (3) ∫∫ ，其中 为区域{( + D dxdy x y e D x y, )| | x|+| y|≤ 1}； (4) ∫∫ + ，其中 D 为直线 D (x y )dxdy 2 2 y x = , y x = + a, y = a 和 y = 3a (a > 0)所围的区域； (5) ∫∫ ，其中 为摆线的一 拱 D ydxdy D x = a(t − sin t),y = a(1− cost) (0 ≤ t ≤ 2π ) 与 x轴所围的区域； (6) ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + D y x dxdy ( x y ) 2 1 2 2 1 e ，其中D为直线 y = x, y = −1和 所围的 区域； x = 1 (7) ∫∫ ，其中 ； D x ydxdy 2 {( , ) | 2 , 1 2, 0 } 2 2 D = x y x + y ≥ x ≤ x ≤ ≤ y ≤ x 3
(8)y2adh,其中9为曲面:=y,平面y=x,x=1和=0 所围的区域 Oxyde 其中9为平面x=0,y=0,z=0和x+y+z=1 (1+x+y+) 所围成的四面体; (10)∫doh,其中g为抛物面=x2+y2与平面 z=h(h>0)所围的区域 11)j2 dxdydz,其中g为球体 和 0)的公共部分; (12)∫adb,其中!为椭球体++≤ 解(1)y,r,- 1 (2) dxd D 8 3 ∫e"dp=∫ e.e"dy+ dy (4)j(x2+y2)d=Jd!(x2+y2t =0(22-a2y+a3)hy=14a。 5)∫jw ydy (6) 1+xe y2+1 y-y +yle (7)x2yd=x∫ 分地=,x2(x2-x)=49 g:h=a小”在=门xhyb 364
(8) xy 2 3 z dxdydz ，其中 Ω 为曲面 Ω ∫∫∫ z = xy ，平面 y = x, 1 x = 和 所围的区域； z = 0 (9) dxdydz (1 x y z 3 + + + ∫∫∫ Ω ) ，其中Ω为平面 x = 0 0 , , y = z = 0 2 ) 和 所围成的四面体； x + y + z = 1 (10) ，其中 Ω 为抛物面 与 平 面 所围的区域； zdxdydz Ω ∫∫∫ z x = + y 2 z h = (h > 0 (11) ∫∫∫ ，其中 Ω 为球体 和 Ω z dxdydz 2 2 2 2 2 x + y + z ≤ R x y z 2Rz 2 2 2 + + ≤ (R > 0) 的公共部分； （12）∫∫∫ ，其中 Ω 为椭球体 Ω x dxdydz 2 1 2 2 2 2 2 2 + + ≤ c z b y a x 。 解（1）∫∫ D xy dxdy 2 = = − = ∫ ∫ ∫ − − p p p p y p p dy p y y dy xdx y ( p ) 8 1 2 4 2 2 2 2 2 2 5 21 1 p 。 （2）∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − = − a a− ax−x a x dx a x a dy a x dx a x dxdy 0 2 0 0 2 2 2 2 D = 2 3 ) 3 8 (2 2 − a 。 （3）∫∫ + D dxdy x y e = + = ∫ ∫ ∫ ∫ − − + − − − x x x y x x x y e dx e dy e dx e dy 1 1 1 0 1 1 0 1 e e 1 − 。 （4）∫∫ + D (x y )dxdy 2 2 ∫ ∫ − = + y y a a a dy (x y )dx 2 2 3 4 3 2 2 3 ) 14 3 1 (2ay a y a dy a a a = − + = ∫ 。 （5）∫∫ D ydxdy = = − = ∫ ∫ ∫ π 2π 0 3 3 ( ) 0 2 0 (1 cos ) 2 t dt a dx ydy a y x 3 2 5 a π 。 （6）∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + D y x dxdy ( x y ) 2 1 2 2 1 e ∫ ∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + − 1 ( ) 2 1 1 1 2 2 1 y x y ydy xe dx 3 2 ( 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 = − = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − ∫ ∫ − − + y y y e e dy y dy y y 。 （7）∫∫ D x ydxdy 2 20 49 ( ) 2 1 2 2 2 2 1 2 = 2 = − = ∫ ∫ ∫ − x dx ydy x x x dx x x x 。 （8） xy z dxdydz 2 3 Ω ∫∫∫ 364 1 4 1 0 6 1 0 5 0 3 0 2 1 0 = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x xy x xdx y dy z dz x dx y dy 。 4
dxd小d +x+ 2d。d (1+x+y+) 111 5 (10)在=的=可=在 (11)JL=== =d=jlo dxdy 2=2-=2)+=(R2-2 480 (12)』x2=ex21dd bcx2(--,)x bc 7.设平面薄片所占的区域是由直线x+y=2,y=x和x轴所围成,它的 面密度为p(x,y)=x2+y2,求这个薄片的质量 解设薄片的质量为m,则 P(x,y)dxdy=l dy(x+y 4γ+4 8 Ddy 8.求抛物线y2=2mx+p2与y2=-2gx+q2(pq>0)所围图形的面积。 解联立两个抛物线方程,解得x=92,y=±m,于是两抛物线所围 的面积为 Jdy==(p+q)vpq 9.求四张平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0和 2x+3y+z=6截的的立体的体积。 解设D:0≤x≤1,0≤y≤1,利用对称性,有 dxd 于是 3y)=6-5xyy 10.求柱面y2+x2=1与三张平面x=0,y=x,z=0所围的在第一卦限的 立体的体积
（9） dxdydz ( ) 1 x y z 3 + + + ∫∫∫ Ω ∫ ∫ ∫ − − − + + + = x x y x y z dz dx dy 1 0 3 1 0 1 0 (1 ) ∫ ∫ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = x dy x y dx 1 0 2 1 0 4 1 (1 ) 1 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + = ∫ 1 0 4 1 2 1 1 1 2 1 dx x x 16 5 ln 2 2 1 − 。 （10） zdxdydz Ω ∫∫∫ 3 0 2 0 3 1 zdz dxdy z dz h h h z = = π = π ∫ ∫∫ ∫ Ω 。 （11）∫∫∫Ω Ω = ∫ ∫∫ R z z dxdydz z dz dxdy 0 2 2 = − + − = ∫ ∫ R R R z Rz z dz z R z dz 2 2 2 2 2 0 2 2 π (2 ) π ( ) 5 480 59 πR 。 （12）∫∫∫Ω −∫ ∫∫Ω = a a x x dxdydz x dx dydz 2 2 = − = ∫− a a dx a x bc x (1 ) 2 2 2 π a bc 3 15 4 π 。 7．设平面薄片所占的区域是由直线 x + y = 2,y = x 和 x轴所围成，它的 面密度为ρ( , x y) = x 2 + y 2 ，求这个薄片的质量。 解 设薄片的质量为m，则 ∫∫ ∫ ∫ − = = + y y D m x y dxdy dy x y dx 2 2 2 1 0 ρ( , ) ( ) 3 4 ) 3 8 4 4 3 8 ( 1 0 2 3 = − + − = ∫ y y y dy 。 8. 求抛物线 y p 2 2 = 2 x + p 与 y q 2 2 = −2 x + q ( , p q > 0) 所围图形的面积。 解 联立两个抛物线方程，解得 y pq q p x = ± − = , 2 ，于是两抛物线所围 的面积为 y dy p q pq pq p q S dy dx p q pa q q y p p y pq pq ( ) 3 2 [( ) ] 0 2 2 2 2 2 2 2 = + + = = + − ∫ ∫ ∫ − − − 。 9. 求四张平面 x = = 0 0 , , y x = 1, y = 1 6 所围成的柱体被平面 z = 0 和 2 3 x + +y z = 截的的立体的体积。 解 设D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1，利用对称性，有 ∫∫ ∫∫ = D D xdxdy ydxdy ， 于是 2 7 (6 2 3 ) 6 5 1 0 1 0 = − − = − = ∫∫ ∫ ∫ V x y dxdy dx ydy D 。 10. 求柱面 y 2 + z 2 = 1与三张平面 x = 0, y = x, z = 0所围的在第一卦限的 立体的体积。 5
解设D是所围空间区域在xy平面的投影,则 D={(x,y)0≤x≤y,0≤ysl 于是 =-yab=-y2小=y-y 11.求旋转抛物面z=x2+y2,三个坐标平面及平面x+y=1所围有界区 域的体积 解设D是所围空间区域在xy平面的投影,则 D={(x,y)x+y≤1,x≥0,y≥0 于是 ∫x2dy=2x2h D 6 12.设f(x)在R上连续,a,b为常数。证明 (1)∫()=(yb-y地; Caylela-n 证(1)交换积分次序,则得到 d/O)=(y)=门0)b-y (2)交换积分次序,则得到 fodyela-xf(x 13.设f(x)在[0,上连续,证明 证交换积分次序,则得到 Df(x 14.设D=[011×[0,,证明 l≤in(x2)+cs(y 证js0)+)ops(x+oy2)h Ssin(x)dx+ cos(y2)dy=5[sin(x)+cos( 2)dx √2lsin( 当x∈[0,时,成立 ≤sin( 所以
解 设D是所围空间区域在 xy平面的投影，则 D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ y,0 ≤ y ≤ 1}， 于是 3 1 1 1 1 1 0 2 0 1 0 2 2 = − = − = − = ∫∫ ∫ ∫ ∫ V y dxdy y dy dx y y dy y D 。 11. 求旋转抛物面z x = 2 + y 2 ，三个坐标平面及平面 x + y = 1所围有界区 域的体积。 解 设D是所围空间区域在 xy平面的投影，则 D = {(x, y) x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}， 于是 6 1 ( ) 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 = + = = = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ −x D D V x y dxdy x dxdy x dx dy 。 12．设 f x( ) 在R 上连续，a,b为常数。证明 (1) a dx f y dy f y b y dy； b a x a b ∫ ∫ = − ∫ ( ) ( )( ) (2) dy e f x dx a x e f x dx（ ）。 a a x y a x a 0 0 0 ∫ ∫ ∫ − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − a > 0 证（1）交换积分次序，则得到 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = − b a b y b a x a b a dx f ( y)dy f (y)dy dx f ( y)(b y)dy。 （2）交换积分次序，则得到 ∫ ∫ ∫ ∫ − − = a x a a x y a x a dy e f x dx e f x dx dy 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ∫ − = − a a x a x e f x dx 0 ( ) ( ) ( ) 。 13．设 f x( ) 在[0,1]上连续，证明 ∫ ∫ ∫ = − 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 2 dy e f x dx e e f x dx x x y y y 。 证 交换积分次序，则得到 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = − 1 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 dy e f x dx f x dx e dy e e f x dx x x x x y y y y 。 14. 设D = [0,1]×[0,1]，证明 1 [ ] sin( ) cos( ) 2 2 2 ≤ + ≤ ∫∫ D x y dxdy 。 证 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + = + 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 2 2 [sin(x ) cos( y )]dxdy sin(x )dx dy cos( y )dy dx D ∫ ∫ ∫ = + = + 1 0 2 2 1 0 2 1 0 2 sin(x )dx cos( y )dy [sin(x ) cos(x )]dx ∫ = + 1 0 2 ) 4 2 sin(x dx π 。 当 x ∈[0,1]时，成立 ) 1 4 sin( 2 1 2 ≤ + ≤ π x ， 所以 6
y2)]abs√ 15.设D=0.×[0,利用不等式1-≤c0s1≤1(|tkz/2)证明 49 cos(xy)2ddhy≤1 证由 ≤cos(xy)2≤ 易知 cos(xy)2dxdh≤ 另一方面,由于 49 kady=l-oLxdxly 所以 s(xy)dxdy 16.设D是由xy平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域,D在x轴 和y轴上的投影长度分别为l和1,(a,B是D内任意一点。证明 (1)(x-a)(-B)dxdys1,/,mD; (2)(x-ay-B 证(1)x-ay-pjx-y-Ad HI,dxdy=lI, mD (2)设D≤D=ab×c,且b-a=12,d-c=l,。则 a)y-B)lardy ∫p-aly-cy=x-ay-p 由于a∈[a,b],于是 a-a)2+(b-a)2], 同理可得
1 [ ] sin( ) cos( ) 2 2 2 ≤ + ≤ ∫∫ D x y dxdy 。 15．设D = [0,1]×[0,1]，利用不等式 cos 1 2 1 2 − ≤ t ≤ t （| t |≤ π / 2 ）证明 cos( ) 1 50 49 2 ≤ ≤ ∫∫ xy dxdy D 。 证 由 cos( ) 1 2 ( ) 1 2 4 − ≤ xy ≤ xy ， 易知 cos( ) 1 2 ≤ ∫∫ xy dxdy D ， 另一方面，由于 50 49 2 1 ] 1 2 ( ) [1 1 0 4 1 0 4 4 − = − = ∫∫ ∫ ∫ dxdy x dx y dy xy D ， 所以 xy dxdy ∫∫ ≤ D 2 cos( ) 50 49 。 16．设D是由 xy平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域，D在 轴 和 x y 轴上的投影长度分别为lx 和l y，( , α β)是D内任意一点。证明 (1) D D x − y − dxdy ≤ l xl ym ∫∫( α)( β) ； (2) 4 ( )( ) 2 2 x y l l x − y − dxdy ≤ ∫∫ D α β 。 证（1） ∫∫ ∫∫ − − ≤ − − D D (x α)(y β)dxdy x α y β dxdy ≤ ∫∫ = 。 D l l dxdy x y l xl ymD （2）设D ⊆ D′ = [a,b]×[c, d]，且 x y b − a = l , d − c = l 。则 ( ) x − − α β ( y )dxdy ≤ ( ) x −α β ( y − ) dxdy ∫∫ ∫∫ D D x α β y dxdy ′ ≤ − − ∫∫ D ∫ ∫ = − − d c b a x α dx y β dy， 由于 α ∈[a,b]，于是 [( ) ( ) ] 2 1 ( ) ( ) 2 2 α α α α α α α − = − − + − = − + − ∫ ∫ ∫ x dx x dx x dx a b b a b a ， 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 [( ) ( )] ( )( ) 2 1 x = b −α + α − a − b −α α − a ≤ b − a = l ， 同理可得 7
∫p- 所以 (x-a)(-B)dxdy s 17.利用重积分的性质和计算方法证明:设f(x)在a,b]上连续,则 f(x)ax≤(b-a)[f(x)]d 证由于 ,(x于=/()/bs1(()+(y, la, bk[a, b 由对称性 JJV2(x)+2()rdy =2 r2(x)dxdy [a, bk[a, b [a, b][a, b 2f(x)d=2b-0)(x 所以 5/(ad s(b-a u(x)'do 18.设f(x)在ab上连续,证明 证明一将区间[abn等分,并取51∈[x1,x],则 ∫l(ydy=lm 再利用不等式:当x1>0(=1,2,…,n)时成立 (x1+x +xn( )≥n (注:上述不等式可由算术平均不小于几何平均得到) 就有 b-a ∑e1).∑e()≥(b-a)2 所以 dy≥(b-a) 证明二设D=[a,b]x[a,b],由对称性,有 felar-o dxdy=Je(-/(dxdy
2 2 1 y d c y − dy ≤ l ∫ β ， 所以 4 ( )( ) 2 2 x y l l x − y − dxdy ≤ ∫∫ D α β 。 17．利用重积分的性质和计算方法证明：设 f (x)在[a,b]上连续，则 ∫ ∫ ≤ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a f x dx b a f x dx 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 。 证 由于 [ ] ∫ ∫∫ × = [ , ] [ , ] 2 ( ) ( ) ( ) a b a b b a f x dx f x f y dxdy ( ) ∫∫ × ≤ + [ , ] [ , ] 2 2 ( ) ( ) 2 1 a b a b f x f y dxdy ， 由对称性， ( ) ∫∫ ∫∫ × × + = [ , ] [ , ] 2 [ , ] [ , ] 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) a b a b a b a b f x f y dxdy f x dxdy = ∫ ∫ = − ∫ ， b a b a b a 2 f (x)dx dy 2(b a) f (x)dx 2 2 所以 ∫ ⎥ ≤ − ∫ 。 ⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a f x dx b a f x dx 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 18．设 f x( ) 在[a b, ]上连续，证明 2 [ , ] [ , ] ( ) ( ) e d xd y (b a) a b a b f x f y ≥ − ∫∫ × − 。 证明一 将区间[a,b] n等分, 并取 [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − ，则 ∫∫ × − = [ , ] [ , ] ( ) ( ) a b a b f x f y e dxdy ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ − ∑ ∑ = − = →∞ n i f n i f n i i e e n b a 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) lim ξ ξ ， 再利用不等式：当 xi > 0 （i = 1,2,", n ）时成立 2 1 2 1 2 ) 1 1 1 ( )( n x x x x x x n + +"+ n + +"+ ≥ ， （注：上述不等式可由算术平均不小于几何平均得到） 就有 ∑ ∑ = − = ⋅ − n i f n i f i i e e n b a 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) ξ ξ 2 ≥ (b − a) ， 所以 2。 [ , ] [ , ] ( ) ( ) e d xd y (b a) a b a b f x f y ≥ − ∫∫ × − 证明二 设D = [a,b]×[a,b]，由对称性，有 ∫∫ − = ∫∫ − ， D D e dxdy e dxdy f ( x) f ( y) f ( y) f (x) 8
于是 f(xrf(dxdy f(xF/()+e/()f(r)jdxdy 2 dxdy=(b-a) D 19.设Ω={(x,x2…,xn)≤x≤1,=12,…,n,计算下列n重积分: o) )dx;dx2…dh 「(x1+x2+…+xn)2xd2… 解(1)j =小x…,=x面“=3 (2)jx+x2+…+x)a… ∑∫xd ∑∫xd2…dn+2∑ jx, x,dx, dx2 3, 34n(n= n(3n+1) 12
于是 ∫∫ ∫∫ ∫∫ = + ≥ − − − D D D e dxdy e e dxdy dxdy f x f y f x f y f y f x [ ] 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = 2 (b − a) 。 19．设 Ω {( , , , ) |0 1, 1,2, , } = x1 x2 " xn ≤ xi ≤ i = " n ，计算下列n重积分： (1) ∫ ； Ω + + + n dx dx dxn x x " x 1 2 " 2 2 2 2 1 ( ) (2) ∫ 。 Ω + + + n dx dx dxn (x1 x2 " x ) 2 1 2 " 解（1）∫ Ω + + + n dx dx dxn x x " x 1 2 " 2 2 2 2 1 ( ) ∫ Ω = dx dx dxn n x1 2 1 2 " 3 1 0 1 0 2 1 0 1 2 1 n n x dx dx dx = n = ∫ ∫ "∫ 。 （2）∫ Ω + + + n dx dx dxn (x1 x2 " x ) 2 1 2 " ∫ ∑ Ω = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n n i j xi x j dx dx "dx 1 2 , 1 ∑∫ = Ω = n i j i jdx dx dxn x x , 1 1 2 " ∑∫ ∑ ∫ = Ω ≤ < ≤ Ω = + i j n i j n n i xi dx dx dxn x x dx dx dx 1 1 2 1 1 2 2 " 2 " = + ∑ = + − = ≤ < ≤ ( 1) 4 1 4 3 1 2 3 1 n n n n i j n 12 n(3n +1) 。 9
