习题14.4微分形式的外微分 计算下列微分形式的外微分 (1)1-形式=2xa+x2d (2)1-形式o=cosy- sin xdy; (3)2-形式o=6d入d-xydx∧。 A(1)do=2ydx a dx+2xdy A dx+2xdx a dy=0 (2) do=-sin ydy A dx-cos xdx A dy=(sin y-cos x)dx a dy (3)d=6d∧∧-xdh止=(x+6)kA如入d。 2.设o=a1(x1)dx1+a2(x2)dx2+…+an(xn)dxn是R"上的1-形式,求do 解do=∑a(x,)x1Ad1=0 3.设a=a(x2,x3)23+a2(x,x3a+a3(x1,x2)1d2是R3上的 2-形式,求do 解设a1=a1(x2,x3)dk2Ax3,由于 dx2,∧ax2∧dx3=0,dx3Adx2Ad3=0, 则有 d dx,∧x,^dx3+dx3dx,∧dx3=0。 类似地,设a2=a2(x1,x3)x3如,a3=a3(x1x2)12,则 do,=d3=0 从而 do=do, +do2 +do3=0 4.在R3上在一个开区域Ω=(a,b)x(c,d)×(e,)上定义了具有连续导数 的函数a(=),a2(x),a3(y),试求形如 a=b()dx+b2(=)dy+b3(x)ds 的1-形式ω,使得 do=a,(=)dy Adz+a2(x)dz A dx+a, (y)dx a dy 解由题意,可得 b1(y)=-a3(y),62()=-a1()b3(x)=-a2(x), 所以 O=-(a(y)y)-(a1())-(a2(x)dt)t。 5.设o=∑a,,(an=-an,1,j=12,…,n)是R”上的2-形式,证 明
习 题 14.4 微分形式的外微分 1. 计算下列微分形式的外微分： （1）1-形式ω = 2xydx + x 2 dy； （2）1-形式ω = cos ydx − sin xdy ； （3）2-形式ω = 6zdx ∧ dy − xydx ∧ dz 。 解（1）dω = 2ydx ∧ dx + 2xdy ∧ dx + 2xdx ∧ dy = 0 。 （2）dω = −sin ydy ∧ dx − cos xdx ∧ dy = (sin y − cos x)dx ∧ dy。 （3）dω = 6dz ∧ dx ∧ dy − xdy ∧ dx ∧ dz = (x + 6)dx ∧ dy ∧ dz 。 2．设ω = + a x dx a x dx + +a x dx 1 1 1 2 2 2 n n n ( ) ( ) " ( ) 是 n R 上的 1-形式，求dω 。 解 dω ( ) 0 1 = ∑ ′ ∧ = = n i i i i i a x dx dx 3．设ω = ∧ a x x dx dx + a x x dx ∧ dx + a x x dx ∧ dx 1 2 3 2 3 2 1 3 3 1 3 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) 2是 3 R 上的 2-形式，求dω 。 解 设 1 1 2 3 2 3 ω = a (x , x )dx ∧ dx ，由于 dx2 ∧ dx2 ∧ dx3 = 0, dx3 ∧ dx2 ∧ dx3 = 0， 则有 dω1 = 0 3 2 3 3 1 2 2 3 2 1 ∧ ∧ = ∂ ∂ ∧ ∧ + ∂ ∂ dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地，设 2 2 1 3 3 1 ω = a (x , x )dx ∧ dx ， 3 3 1 2 1 2 ω = a (x , x )dx ∧ dx ，则 dω2 = dω3 = 0， 从而 dω = dω1 + dω2 + dω3 = 0。 4. 在 3 R 上在一个开区域Ω = (,) a b × (c,d) × (e, f ) 上定义了具有连续导数 的函数a1 (z)，a2 (x)，a3 ( y)，试求形如 b ( y)dx b (z)dy b (x)dz ω = 1 + 2 + 3 的 1-形式ω ，使得 d = a (z)dy ∧ dz + a (x)dz ∧ dx + a ( y)dx ∧ dy ω 1 2 3 。 解 由题意，可得 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 1 3 2 1 3 2 b′ y = −a y b′ z = −a z b′ x = −a x ， 所以 ( a ( y)dy)dx ω = − ∫ 3 ( a (z)dz)dy − ∫ 1 ( a (x)dx)dz − ∫ 2 。 5. 设 ∑ （ = = ∧ n i j aijdxi dx j , 1 ω aij = −a ji ，i, j = 1,2,", n）是 n R 上的 2-形式，证 明 1
d ∧dxk 证因为 dx.adx d.adx 所以 de dx∧axAd dx∧dx;^dx 由于 x∧x,∧dx;=a; adx a dx;=dx1∧dx;Adx, 从而 ( 0+Adk人dk°
dω ∑= ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i j k i j k j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 3 , , 1 1 。 证 因为 , 1 n ij i j i j ω a dx dx = = ∧ ∑ , 1 n jk j k j k a dx dx = = ∧ = ∑ = ∧ n k i akidxk dxi , 1 ∑ ， 所以 ∑= ∧ ∧ ∂ ∂ = n i j k k i j k ij dx dx dx x a d , , 1 ω ∑= ∧ ∧ ∂ ∂ = n i j k i j k i jk dx dx dx x a , , 1 ∑= ∧ ∧ ∂ ∂ = n i j k j k i j ki dx dx dx x a , , 1 ， 由于 dxk ∧ dxi ∧ dx j = dx j ∧ dxk ∧ dxi = dxi ∧ dx j ∧ dxk ， 从而 dω ∑= ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i j k i j k j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 3 , , 1 1 。 2
