习题14.2第二类曲线积分与第二类曲面积分 1.求下列第二类曲线积分 (1)∫(x2+y2)+(x2-y2),其中L是以 A(10,B(2,0),C(2,1),D(1,)为顶点的正方形,方向为逆时针 方向 (2)∫(x2-2x)+(y2-2y),其中L是抛物线的一段 y=x2,-1≤x≤1,方向由(-1)到(1)1 (3)∫(x+y)(x=y),其中L是圆周x2+y2=a2,方向为 逆时针方向 (4)∫zx-xc+(x2+y2),其中L是曲线x=e,y=e,==a, 方向由 到(111) (5)x+地d+(x+y-),L是从点1)到点(234的直线 (6)∫+动+x,L为曲线{++=2·若从:轴的正 x+二=a(a>0) 向看去,L的方向为逆时针方向 (7)[(y-2x+(-x)+(x-y)d,L为圆周 1, ,若从x轴的正向看去,这个圆周的 y= x tan a(0<a<丌), 方向为是逆时针方向 解:(1)「(x2+y2x+(x2-y2 (x"+y )dx+(x-y)dy 「xdx+∫。(4-y)d+∫(x2++J(-y (2)(x2-2y)+(2-2)=(x2-2x3)+(x2-2x)2xh (3)(x+y)=(x=y x t
习 题 14.2 第二类曲线积分与第二类曲面积分 1. 求下列第二类曲线积分： （1） ∫ + + − ，其中 是以 L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 L A(1 0, ), B(2,0), C(2,1), D(1,1) 为顶点的正方形，方向为逆时针 方向； （2） ∫ − + − ，其中L 是抛物线的一段： L (x 2xy)dx ( y 2xy)dy 2 2 y x = − ≤ x ≤ 2 , 1 1，方向由(−11, )到( , 11) ； （3） ∫ + + − − L 2 2 ( ) ( ) x y x y dx x y dy ，其中 是圆周 ，方向为 逆时针方向； L x y a 2 2 + = 2 （4） ∫ − + + ，其中L 是曲线 ， L ydx xdy (x y )dz 2 2 t t t x = e y = e z = a − , , 0 ≤ t ≤ 1，方向由( , e e −1 ,a)到(111 , , ) ； （5） ∫ ， 是从点 到点 的直线 段； + + + − L xdx ydy (x y 1)dz L (111 , , ) ( , 2 3,4) （6） ∫ ，L 为曲线 若从 轴的正 向看去， 的方向为逆时针方向； + + L ydx zdy xdz ⎩ ⎨ ⎧ + = > + + = ( 0), 2 , 2 2 2 x z a a x y z az z L （7）∫ − + − + − ， 为圆周 L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz L ⎩ ⎨ ⎧ = < < + + = tan (0 ), 1, 2 2 2 y x α α π x y z ，若从 x 轴的正向看去，这个圆周的 方向为是逆时针方向。 解：（1）∫ + + − L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) AB BC CD DA x y dx x y dy ⎧ ⎫ = + ⎨ ⎬ + + + + − ⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 0 2 2 2 2 1 0 2 1 = + x dx (4 − y d) y + (x +1)dx + (1− y d) ∫ ∫ ∫ ∫ y = 2。 （2）∫ − + − L (x 2xy)dx ( y 2xy)dy 2 2 ∫− = − + − 1 1 2 3 4 3 [(x 2x ) (x 2x )2x]dx 15 14 ( 4 ) 1 1 2 4 = − = − ∫− x x dx 。 （3）∫ + + − − L 2 2 ( ) ( ) x y x y dx x y dy 1
Jo[(cost+sin()(sin()-(cost-sinD)cost]dt=-2T (4)1=[yx d=,[2 la 当a=e2时,I=「(4 当a=e2时 当a≠e2且 时 =-2+ Ina,[(ae2)+(ae2y=-2+|1-a2 -de In a o In a+2 In a-2 (5)∫+yh+(x+y-l=+1+21+2)+30+30m=13。 (6)由曲线积分的定义,以z=a-x代入积分,得到 ∫y+z+x=∫(-x)x+(a-x)d 其中L为L在x平面上的投影曲线(椭圆)2x2+y2=a2,取逆时针 方向 令x=- a cos t,y= asin,t:0→2z,则 dx +zdy+xdr sin t Dc=sint)+(1-cost)cost ] dt (7)由曲线积分的定义,以y= x tan c代入积分,得到 +(=-x)dy+(x-y)d==(1-tana)x 其中L为L在x平面上的投影曲线(椭圆)x2+x2e2a=1,取顺时 针方向 令x= cos a sin t,x=cost,t:2r→0,则 ∫(y-)+(=-x)d+(x-y) (I-tanal- cos a(-sin21-cos'D)dt=2r(cos a) 2.证明不等式 P(, y)dx+O(,)dys MC 其中C是曲线L的弧长,M=max{√P(x,y)+Q(x,y)x,y)∈L}。记圆周
∫ = + − − − 2π 0 [(cost sin t)( sin t) (cost sin t) cost]dt = −2π 。 （4）I = ∫ − + + L ydx xdy (x y )dz 2 2 ∫ − = + + 0 1 2 2 [2 (e e )a ln a]dt t t t 。 当a = e 2时，I = ∫ + 0 1 4 (4 2e )dt t (7 ) 2 1 4 = − + e ； 当a = e−2时，I = ∫ − 1 0 4 2e dt t (1 ) 2 1 −4 = − e ； 当a ≠ e 2且a ≠ e−2 时， I = ∫ − − + + 0 1 2 2 2 ln a [(ae ) (ae ) ]dt t t a a ae a ae ln ln 2 1 ln 2 1 2 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + − = − + − 。 （5）∫ + + + − 。 L xdx ydy (x y 1)dz [1 2(1 2 ) 3(1 3 )] 13 1 0 = + + + + + = ∫ t t t dt （6）由曲线积分的定义， 以 z = a − x代入积分，得到 ∫ + + = L ydx zdy xdz ∫ − + − Lxy ( y x)dx (a x)dy， 其中 Lxy 为 L 在 xy 平面上的投影曲线（椭圆） ，取逆时针 方向。 2 2 2 2x + y = a 令 cos , sin , : 0 2π 2 1 x = a t y = a t t → ，则 ∫ + + L ydx zdy xdz ∫ = − − + − 2π 0 2 cos ) cos ] 2 1 sin ) (1 2 1 cos )( 2 1 a [(sin t t t t t dt = 2 − 2π a 。 （7）由曲线积分的定义，以 y = x tanα 代入积分，得到 ∫ − + − + − = L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz − ∫ − Lzx (1 tanα) xdz zdx， 其中Lzx为 L 在 zx 平面上的投影曲线（椭圆） ，取顺时 针方向。 sec 1 2 2 2 z + x α = 令 x = cosα sin t, z = cost, t : 2π → 0，则 ∫ − + − + − L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz = − − − = ∫ 0 2 2 2 (1 tan ) cos ( sin cos ) π α α t t dt 2π (cosα − sinα)。 2. 证明不等式 P x y dx + Q x y dy ≤ MC ∫ L ( , ) ( , ) ， 其中C 是曲线L 的弧长， max{ ( , ) ( , ) |( , ) } 2 2 M = P x y + Q x y x y ∈ L 。记圆周 2
x2+y2=R2为L,利用以上不等式估计 ydx-xd小y +xy+ 并证明 lim I =O 证由 Schwarz不等式及cos2a+cos2B=1,可得 P(x,y)dx+O(x, y)dy=I[P(x, y)cosa+o(x, y)cos P]ds L ∫Px,y)cosa+(x,yosd IP(3)+0(x, D) I a+cos B]ds s M]ds=MC 在积分1=∫a2=中,令P(xy2 Lx+xv+ o(x,y) 则 P2(x,y)+Q2(x,y) < 于是≤C=。2,所以 lim I=0。 3.方向依纵轴的负方向,且大小等于作用点的横坐标的平方的力构 成一个力场。求质量为m的质点沿抛物线y2=1-x从点(1,0)移到0) 时,场力所作的功。 解W=「Fd=-0(-y2 4.计算下列第二类曲面积分: (1)j(x+y)dd+(y+)td+(=+x)d,其中Σ是中心在原点,边长 为2h的立方体[-h,×[-h×-h小的表面,方向取外侧; (2)∫y=,其中x是椭球面+=+=1的上半部分,方向取上 侧 (3)』d+xt+ydod,其中∑是柱面x2+y2=1被平面=0和=4 所截部分,方向取外侧; (4)jx+3dy,其中E是抛物面==4-x2-y2在:≥0部分,方向
x y R 2 2 + = 2 为LR ，利用以上不等式估计 ( ) ∫ + + − = R R x xy y ydx xdy I L 2 2 2 ， 并证明 lim R R I →+∞ = 0。 证 由 Schwarz 不等式及cos 2 α + cos 2 β = 1，可得 ∫ ∫ + = + L P(x, y)dx Q(x, y)dy [P(x, y) cosα Q(x, y) cosβ]ds L ( , ) cos ( , ) cos L ≤ + P x y α β Q x y ds ∫ 2 2 2 2 ( , ) ( , ) cos cos L L ≤ + ⎡ ⎤ P x y Q x y ⎡ α β + ⎤ds ≤ M ds MC ∫ ∫ ⎣ ⎦⎣ ⎦ = 。 在积分 ( ) ∫ + + − = R R x xy y ydx xdy I L 2 2 2 中，令 ( )2 2 2 ( , ) y P x y x xy y = + + ， ( )2 2 2 ( , ) x Q x y x xy y − = + + ，则 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 ( ) 16 ( ) ( , ) ( , ) x xy y x y x y P x y Q x y + ≤ + + + + = ， 于是 3 2 4 8 R C R I R π ≤ = ，所以 lim R R I →+∞ = 0。 3. 方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构 成一个力场。求质量为 的质点沿抛物线 从点 移到 时，场力所作的功。 m y x 2 = −1 ( , 1 0) ( , 0 1) 解 15 8 (1 ) 1 0 2 2 = = − − = − ∫ ∫ W d y dy L F s 。 4. 计算下列第二类曲面积分： （1）∫∫ ，其中Σ是中心在原点，边长 为 的立方体[ , Σ (x + y)dydz + ( y + z)dzdx + (z + x)dxdy 2h −h h] × −[ h h, ] × [ , −h h]的表面，方向取外侧； （2）∫∫ ，其中Σ是椭球面 Σ yzdzdx x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1的上半部分，方向取上 侧； （3）∫∫ ，其中Σ是柱面 被平面 和 所截部分，方向取外侧； Σ zdydz + xdzdx + ydxdy x y 2 2 + = 1 z = 0 z = 4 （4）∫∫ ，其中Σ是抛物面 在 部分，方向 Σ zxdydz + 3dxdy z x = − 4 −2 2 y z ≥ 0 3
取下侧; (5)J(xy,)+xh+p/(x,y,)+yd+[(x,y)+o,其中 f(x,y,)为连续函数,Σ是平面x-y+z=1在第四卦限部分,方向取上 侧 (6)』xdd+ydb+(2+5d,其中Σ是锥面=Vx2+y (0≤z≤h),方向取下侧 (7)∫ ddx,其中Σ是抛物面y=x2+x2与平面y=1,y=2所 围立体的表面,方向取外侧。 (8)「的+dhx+dohy,其中∑为椭球面x++5=1,方向 取外侧; (9)∫xd+y2tat+=dod,其中Σ是球面(x-a3+(y-b)+ )2=R2,方向取外侧 解(1)将Σ的上、下、左、右、前、后六个面分别记为∑(=12,3,4.56)。 则 ∫x+y)=(x+y)d+J xd小+xzh=2dhz=8h2, (+=d=dx=l(+=)drdx+l(+=)dedx Jydedx +[ydcdx=2n[ dedr=8h' (+x)dxdy=(=+x)dxdy+l(=+x)dxdy Eddy+ =dxdy =2h dxdy=8h 所以 J(+y)dyd:+(+=)dex+(+x)drdy=24h (2)设曲面Σ的单位法向量为(cosa,cosB,cosy),由dtk= cos Bds与 dd= coSy ds,得到 dedx-cas/ Cody=dh。由于x的方向取上侧, 它在x平面的投影区域为D=3×4,于是
取下侧； （ 5 ） [ ] [ ] [ ] ∫∫ Σ f (x, y,z) + x dydz + 2 f (x, y,z) + y dzdx + f (x, y,z) + z dxdy ，其中 f x( , y,z)为连续函数，Σ是平面 x − y z + = 1在第四卦限部分，方向取上 侧； （6）∫∫ ，其中Σ是锥面 Σ x dydz + y dzdx + (z + 5)dxdy 2 2 2 2 2 z = x + y （0 ≤ z ≤ h ），方向取下侧。 （7）∫∫ Σ + dzdx z x e y 2 2 ，其中Σ是抛物面 与平面 ， 所 围立体的表面，方向取外侧。 2 2 y = x + z y = 1 y = 2 （8）∫∫ Σ + + dxdy z dzdx y dydz x 1 1 1 ，其中Σ为椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x ，方向 取外侧； （9） ，其中Σ是球面 ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 − + − + 2 2 (x a) ( y b) 2 2 (z − c) = R ，方向取外侧。 解 （1）将Σ的上、下、左、右、前、后六个面分别记为Σ (i = 1,2,3,4,5,6) i 。 则 5 6 ( ) x y dydz ( ) x y dydz ( ) x y dydz Σ Σ Σ + = + + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 5 6 3 2 8 Dyz xdydz xdydz h dydz h Σ Σ = + = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ， 3 4 ( ) y z dzdx ( ) y z dzdx ( ) y z dzdx Σ Σ Σ + = + + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 3 4 3 2 8 Dzx ydzdx ydzdx h dzdx h Σ Σ = + = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ， 1 2 ( ) z x dxdy ( ) z x dxdy ( ) z x dxdy Σ Σ Σ + = + + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 2 3 2 8 Dxy zdxdy zdxdy h dxdy h Σ Σ = + = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ， 所以 3 (x + y)dydz + ( y + z)dzdx + (z + x)dxdy = 24h ∫∫ Σ 。 （2）设曲面 Σ 的单位法向量为 (cosα, cos β, cosγ ) ，由 dzdx = cos β dS 与 dxdy = cosγ dS ，得到 dxdy b z c y dzdx dxdy 2 2 cos cos = = γ β 。由于Σ 的方向取上侧， 它在 xy平面的投影区域为 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ( , ) + ≤ 1 2 2 2 2 b y a x D x y ，于是 4
2 6222dxdy=b2) dxdy abel sin2 rdr=abc (3)解法一 取曲面Σ的参数表示{y=snO,D=(0.)0≤0≤2x,0≤=≤4},则 a(y,2) , a(二,x) sing, a(6,=) a(,=) 由于Σ的方向取外侧,于是 ∫=bd+xtk+yddy (y)+cos6a(6,) a(e, x)+ sine a(x, y ded: (6,=) o(6,=) cos0de =dz sin 0 cos ede d==0 解法 由于曲面∑的单位法向量为 x2+p2,2=0),可知 dxdy=0 将柱面2分成前后两部分∑1,x2,其中xx=√1-y2,x2x=--y2,则 dk==h+=ah-』 类似地可得xtdx=0,所以 cyd=+ xdxdx+ ydxdy=0 (4)设曲面的单位法向量为(cosa,cosB,cosy),由d= cos a ds与 ddh= cosy ds,得到d= dxdy=2xhoh。由于Σ的方向取下侧, 它在x平面的投影区域为D={xyx2+y2s,于是 zxdyd=+3dxdy=|(2x=+3)dxdy=-2x( y)+3dxdy
∫∫ Σ yzdzdx = ∫∫ Σ y dxdy = b c 2 2 2 ∫∫ D y dxdy b c 2 2 2 2 1 2 2 3 0 0 sin 4 abc d r dr abc π π 2 = = θ θ ∫ ∫ 。 （3）解法一 取曲面Σ 的参数表示 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z z y x θ θ sin cos D z = {( , θ θ ) 0 ≤ ≤ 2π , 0 ≤ z ≤ 4}，则 ( , ) cos ( , ) y z z θ θ ∂ = ∂ ， ( , ) sin ( , ) z x z θ θ ∂ = ∂ ， ( , ) 0 ( , ) x y θ z ∂ = ∂ 。 由于Σ 的方向取外侧，于是 zdydz xdzdx ydxdy Σ + + ∫∫ ( , ) ( , ) ( , ) cos sin ( , ) ( , ) ( , ) D y z z x x y z d z z z θ θ θ dz θ θ θ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∫∫ 2 4 0 0 cos d zdz 2 4 0 0 sin cos d d π = θ θ ∫ ∫ π + θ θ θ ∫ ∫ z = 0。 解法二 由于曲面Σ的单位法向量为 2 2 2 2 ( , x y x y + + x y ,0)，可知 ∫∫ = 0。 Σ ydxdy 将柱面Σ分成前后两部分 1 2 Σ ,Σ ，其中 2 2 2 1 Σ : x = 1− y , Σ : x = − 1− y ，则 1 2 0 D D yz yz zdydz zdydz zdydz zdydz zdydz Σ Σ Σ = + = − ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ = ， 类似地可得 = 0，所以 ∫∫ Σ xdzdx + + = 0 ∫∫ Σ zdydz xdzdx ydxdy 。 （4）设曲面Σ 的单位法向量为(cosα, cos β, cosγ ) ，由dydz = cosα dS 与 dxdy = cosγ dS ，得到dydz dxdy 2xdxdy cos cos = = γ α 。由于Σ 的方向取下侧， 它在 xy平面的投影区域为 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ≤ ，于是 zxdydz 3dxdy Σ + = ∫∫ 2 (2x z d 3) xdy Σ + = ∫∫ 2 2 2 2 (4 ) 3 D − − ⎡ ⎤ x x − y + dxdy ∫∫⎣ ⎦ 5
-dr:-r)+3yb=-2o2r-3x。 (5)平面∑的方程为x-y+z=1,方向取上侧,由此可知dyd=wd dhx=-drdh,于是 JV(x,J, s)+xkdyds+[2/(x,J, =)+y]d=dx+[(x, 2,=)+=]dxdy (xy,2)+x]-{2(xy,2)+y+[(xy,)+ (6)由对称性,∫xd=0,Jyak=0,所以 ∫xd+ydd+(=2+5)dh=-(x2+y2+5)d oo de(+5)rdr=-(h+10h) (7)记x1y=x2+=2(≤y≤2),方向取外侧;x2y=1(x2+x2≤1),方 向取左侧;∑3y=2(x2+2≤2),方向取右侧。则 del. e dr=-2r(e -e), de edr=-2er, ddx dx=[do[.ehdh=2√2e 所以 dad 2e=( √2 (8)设ΣΣ2分别表示上、下两半椭球面,方向分别取上、下侧。则 dxdy dxdy=2 2 dor abrdr4mab 由对称性,可得 4 dvds b 所以 [=+dzdx+-dxdy=1/(a2b2+b2c2+c2a2)
θ θ θ θ π π π cos 12 3 32 [2 cos (4 ) 3] 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 = − − + = − − ∫ ∫ ∫ d r r rdr d π 3 68 = − 。 （5）平面Σ的方程为 x − +y z =1，方向取上侧，由此可知 ， ，于是 dydz = dxdy dzdx = −dxdy [ ] [ ] [ ] ∫∫ Σ f (x, y,z) + x dydz + 2 f (x, y,z) + y dzdx + f (x, y,z) + z dxdy {[ f (x y, ,z) x] [2 f (x, , y z) y] [ f (x y, ,z) z]} dxdy Σ = + − + + + ∫∫ 1 2 Dxy = = dxdy ∫∫ 。 （6）由对称性， x d2 ydz 0， Σ = ∫∫ 2 y dzdx 0 Σ = ∫∫ ，所以 2 2 2 2 2 ( 5) ( 5) Dxy x dydz y dzdx z dxdy x y dxdy Σ + + + = − + + ∫∫ ∫∫ 2 2 4 0 0 ( 5) ( 10 2 h d r rdr h h π 2 ) π = − θ + = − + ∫ ∫ 。 （7）记 Σ1 : y = x 2 + z 2 (1 ≤ y ≤ 2)，方向取外侧； 2 2 2 Σ : 1 y x = + ( z ≤ 1)，方 向取左侧；Σ = 3 : 2 y x( 2 2 + z ≤ 2)，方向取右侧。则 2 2 1 1 2 2 2 2 zx y x z D e e dzdx dzdx z x z x + Σ = − + + ∫∫ ∫∫ 2 2 2 0 1 2 ( ) r d e dr e π = − θ = − π e ∫ ∫ − ， 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 2 zx y D e e dzdx dzdx d edr e z x z x π θ π Σ = − = − = − + + ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ， 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 zx y D e e dzdx dzdx d e dr e z x z x π θ π Σ = = = + + ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ， 所以 2 ( 2 1)π 2 2 2 = − + ∫∫ Σ dzdx e z x e y 。 （8）设Σ1 ,Σ2 分别表示上、下两半椭球面，方向分别取上、下侧。则 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 Dxy dxdy dxdy dxdy dxdy z z z x y c a b Σ Σ Σ = + = − − ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ c ab c r abrdr d π θ π 4 1 2 1 0 2 2 0 = − = ∫ ∫ ， 由对称性，可得 1 4 ac dzdx y b π Σ = ∫∫ ， 1 4 bc dydz x a π Σ = ∫∫ ， 所以 ( ) 1 1 1 4 2 2 2 2 2 2 a b b c c a abc dxdy z dzdx y dydz x + + = + + ∫∫ Σ π 。 6
(9)设Σ,Σ2分别表示上、下两半球面,方向分别取上、下侧。则 )2-(y-b)2]12ddhy SVR2-(x-a)2-(y-b)dxdy 同理可得 ∫x在=mR,y=5mR 所以 ∫x+y2h+:h=(a+b+c)R
（9）设Σ1 ,Σ2 分别表示上、下两半球面，方向分别取上、下侧。则 ∫∫ ∫∫ ∫∫ Σ Σ Σ = + 1 2 2 2 2 z dxdy z dxdy z dxdy ∫∫ = + − − − − Dxy c R x a y b dxdy 2 2 2 2 [ ( ) ( ) ] ∫∫ − − − − − − Dxy c R x a y b dxdy 2 2 2 2 [ ( ) ( ) ] ∫∫ = − − − − Dxy c R x a y b dxdy 2 2 2 4 ( ) ( ) 3 3 8 = πcR 。 同理可得 2 3 2 3 3 8 , 3 8 x dydz = πaR y dzdx = πbR ∫∫ ∫∫ Σ Σ ， 所以 2 2 2 3 ( ) 3 8 x dydz + y dzdx + z dxdy = a + b + c R ∫∫ Σ π 。 7
