第二章数列极限 习题2.1实数系的连续性 1.(1)证明√6不是有理数 (2)√3+√2是不是有理数? 证(1)反证法。若√6是有理数,则可写成既约分数√6="。由m2=6n2 可知m是偶数,设m=2k,于是有3n2=2k2,从而得到n是偶数,这与 是既约分数矛盾 (2)√3+√不是有理数。若√3+√2是有理数,则可写成既约分数 5+2=m,于是3+26+2=m…,5=m-2,即是有理数,与 (1)的结论矛盾 2.求下列数集的最大数、最小数,或证明它们不存在 A={x|x≥0}; B=sin xox,所以maxA不存在。 mN8=s2=1;因为vxeB,3a∈(2,使得x=sma,于是有 ∈B,sin女<x,所以minB不存在
第二章 数列极限 习 题 2.1 实数系的连续性 1. (1) 证明 6不是有理数； (2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 n m 6 = 。由 ， 可知 是偶数，设 ，于是有 ，从而得到 是偶数，这与 2 2 m = 6n m m = 2k 2 2 3n = 2k n n m 是既约分数矛盾。 （2） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数 3 2 + n m = ，于是 2 2 3 2 6 2 n m + + = ， 2 5 2 6 2 2 = − n m ，即 6 是有理数，与 （1）的结论矛盾。 2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： A x = { | x ≥ 0}； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = x，所以max A不存在。 1 2 max = sin = π B ；因为∀x ∈ B ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ∃ ∈ 2 0, π α ，使得 x = sinα ，于是有 ∈ B 2 sin α ， < x 2 sin α ，所以min B不存在。 9
maxC与minC都不存在,因为yh∈C,有n∈C n+1 n0,存在y∈S,使得y>supS-g, 于是-y∈T,且-y0,因为B为 集合S的上确界,所以存在x∈S,使得x>B-ε>A,这与A为集合S的 上确界矛盾,所以A=B,即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯 6.对任何非空数集S,必有supS≥infS。当supS=infs时,数集S有什 么特点? 解对于任意的x∈S,有infS≤ x s sup s,所以supS≥infS。当 supS=infS时,数集S是由一个实数构成的集合
maxC 与minC 都不存在，因为 C m n ∀ ∈ ，有 C m n ∈ +1 ， C m n ∈ + + 1 1 ， 1 1 1 + + 0，存在 y ∈ S ，使得 y > sup S − ε ， 于是 − y ∈T ，且 − y − = B A ε ，因为B 为 集合S 的上确界，所以存在 x ∈ S ，使得 x > B − ε > A，这与 A为集合 的 上确界矛盾，所以 S A = B ，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯一。 6. 对任何非空数集S ，必有sup S ≥inf S 。当sup S =inf S 时，数集S 有什 么特点? 解 对于任意的 x ∈ S ， 有 inf S ≤ x ≤ sup S ，所以 sup S ≥ inf S 。 当 sup S =inf S 时，数集S 是由一个实数构成的集合。 10
7.证明非空有下界的数集必有下确界。 证参考定理21.1的证明。 8.设S=团xx∈Q并且x20,则0充分小, P P 使得r2+4r0,使得{"+r}3,取有理数>0充分小,使得4-2(m)-4+r2>3,这说明2-也是S的上 界,与supS="矛盾。所以S没有上确界 同理可证S没有下确界
7. 证明非空有下界的数集必有下确界。 证 参考定理2.1.1的证明。 8. 设S { | 3} 2 = x x ∈Q并且x 0 p q ，则 3 2 0 2 2 4 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 0，使得 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，取有理数 r > 0 充分小，使得 4 3 2 2 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 r r m n m n r m n 4 3 2 2 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ r r m n ，这说明 r m n − 也是 的上 界，与 S m n sup S = 矛盾。所以S 没有上确界。 同理可证S 没有下确界。 11
习题2.2数列极限 按定义证明下列数列是无穷小量: m+} (2){(-1)(099”}; (3) (4){+2+3+…+0 (5) 证(1)v(0≤2,取N=21,当n>N时,成立02+1≤2N时,成立 lg0.99 -1)(09909%=。 (3)V(0N时,成立1N2时,成立5”N=mmN1,N2时,成立口+5N时,成立 0 1+2+…+nn+11 11时,有 3(1+2y2C8n-1n-2)5n°于是v>0, 取N=max,当n>N时,成立0< <一<8
习 题 2.2 数列极限 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 1 1 2 n n ； ⑵ {( ) −1 0 n n ( .99) }； ⑶ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + −n n 5 1 ； ⑷ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + 3 1 2 3 n " n ； ⑸ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 2 ； ⑹ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ! 3 n n ； ⑺ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n! ； ⑻ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − + + + − n n n n n 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 " 。 证 （1）∀ε (0 N 时，成立 N 时，成立 lg lg0.99 ( 1) (0.99) (0.99) n n ε − N1时，成立 2 1 ε N2 时，成立5−n 2 ε N = max{N1,N2 }时，成立 1 5 n n ε − + N 时，成立 11时，有 2 2 2 n 3 3 3 (1 2) 2 n n n n n C = 0， 取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N max 11, ，当n > N 时，成立 < < < ε n n n 1 3 0 2 。 12
N-3 (6)当n>5,有3≤321 于是vE(0N时,成立 n (7)记的整数部分为m,则有m(1)。v0N时,有m>N-1g,于是成立 0 (8)首先有不等式0N时,成立00,取N ,当n>N时,成立 2 3n2+2 3(3n2+2) (2)VE>0,取N 当n>N时,成立
（6）当n > 5，有 5 5 5 2 1 3 2 1 5! 3 ! 3 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ N 时，成立 ⎟ N 时，有 lg 1 2 1 lg 2 N m ε > − > ，于是成立 ⎟ N 时，成立 − + − 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2ε 1 N ，当n > N 时，成立 13
n+n +n+n (3)VE>0,取N 当n>N时,成立 (Vn2+n-n)-= n+n+n (4)令%3n+2=1+an,则an>0,3n+2=(1+an)>1+Cnla2o当n>3时 有0+,所以>0,取x12 当n>N时,成立 N时,若n是偶数, 则成立xn- 若n是奇数,则成立n-1 3.举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的 (1)对任意给定的E>0,存在N,使当n>N时成立xn0,存在无穷多个x,使|xn|0,3N,W>N,成立xn-a0,丑",Ⅶm>N,成立xmk-d<E,取
0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 8ε 1 N ，当n > N 时，成立 0 2 2 3 2 (1 ) 1 n n n n + = + an > + C a n > 3 n n n n an 3 ( 1) 2(3 1) 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 9 ε N ，当n > N 时，成立 + − = N n − = 0，存在 N ，使当n > N 时成立 xn ； n n 0，存在无穷多个 x ,使｜ x ｜＜ε。 解 （1）例如 xn = −n ，则{xn }满足条件，但不是无穷小量。 （2）例如 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 是偶数 是奇数 n n n n xn 1 ，则{xn }满足条件，但不是无穷小量。 4. 设k 是一正整数，证明：limn→∞ xn = a 的充分必要条件是lim 。 n→∞ xn k + = a 证 设lim ，则 n→∞ xn = a ∀ε > 0，∃N ，∀n > N ，成立 x − a 0 ， ∃N' ， ∀n > N' ，成立 − < ε xn+k a ，取 14
N=N+k,则vn>N,成立n-a0,BN1,m>N,成立x2n-dN2,成立|x2m-dN 成立|xn-d0,3N, v>N,成立n-0,彐N, Y>N,成立xnN,成立xnyk<E,所以{xy}也是 无穷小量。 8.利用夹逼法计算极限: (1)lim1+++…+-; n+√n (4)in 1·3·5……(2n-1) 46…(2n) 解(1)由1<1++1+…+-<%h与 lim Wn=1,可知
N = N'+k ，则∀n > N ，成立 x − a 0，∃N1， N1 ∀n > ，成立 x − a N2 ，成立 − N x − a 0， ， ，成立 ∃N ∀n > N 2 x − a 0， ， ，成立 ∃N ∀n > N M xn ε N ，成立 < ε n n x y ，所以{ }也是 无穷小量。 xn yn 8. 利用夹逼法计算极限： (1) limn→∞ n n 1 1 3 1 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +"+ ； (2) limn→∞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 n + 1 n + 2 + … + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ n + n 1 ； (3) limn→∞ ∑ + = 2 2 ( 1) 1 n k n k ； (4) limn→∞ 135 2 1 246 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ " " ( ) ( ) n n 。 解（1）由 n n n n ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < + + + + 1 1 3 1 2 1 1 1 " 与 lim = 1 →∞ n n n ，可知 15
lim|1+-+ (2)由 lim n n+√n)n+1n→ 与im-=1,可知 n→∞n+1 li n+v2+ (3)由2 2n+2 12n+2与im 2 可知 n+1 H→0n lim∑ 2 (4)应用不等式2k>√(2k-1(2k+1),得到0<1:3:5-(2n-) 246…(2m)√2n+1 由 =0,可知 n→√2n+1 1·3·5…(2n-1) n→∞2.4.6……(2m) 9.求下列数列的极限: 3m2+4n-1 (1)imn2+1 (2)linn+2n2-3n+1 3″+n (3)lim (4) sIn 3+(n+1 lim n+1) (7)lin (8)lim lim w/nlgn 3 (10) lim
limn→∞ 1 1 3 1 2 1 1 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + n n " 。 （2）由 ⎜ ⎝ ⎛ + (2k −1)(2k +1) ，得到 2 1 1 2 4 6 (2 ) 1 3 5 (2 1) 0 + < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − < n n n " " ， 由 0 2 1 1 lim = n→∞ n + ，可知 limn→∞ 0 2 4 6 (2 ) 1 3 5 (2 1) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − n n " " 。 9. 求下列数列的极限： ⑴ limn→∞ 3 4 1 2 2 n n n + − + 1 ; ⑵ limn→∞ n n n n n 3 2 3 2 3 2 3 + − + − + 1 ; ⑶ limn→∞ 3 3 1 3 1 3 n n n n + + + + ( ) ; ⑷ limn→∞ ( ) n si n n 2 1 1 2 + − π n ; ⑸ limn→∞ n n ( + − 1 n) ; ⑹ limn→∞ n n ( ) n 4 2 + −1 1 + ; ⑺ limn→∞ 1 n n ! ; ⑻ limn→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 1 … ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 1 n ； ⑼ limn→∞ lg n n n ; ⑽ limn→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + n n 2 2 1 2 3 2 1 2 " 。 16
解(1)lim (2)lin (3)lim-3”+n3 lim +(n+1 31+ n+1) (4)因为lmn2+1=1 k1,所以 im(√n2+1-1 (5)lim n(n+1-n)=lim (6)lim√m(vmn2+1-√m+1)=lim [n2+1-(n+1)2] →① +1+√n+1)(√n2+1+n+1) lim n(√n2+1+√m+1) +n+ lim →① (++1+x1++1+) n lgl+lgx+…+lg (7)lim =-00, 所以 (8)lim1-
解（1）limn→∞ 3 4 1 →∞ = n lim 1 2 2 n n n + − + 3 1 1 4 1 3 2 2 = + + − n n n 。 （2）limn→∞ n n n n n 3 2 3 2 3 + 1 →∞ = n lim 2 3 + − − + 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 3 2 3 = − + + − + n n n n n 。 （3）limn→∞ 1 3 3 3 ( 1) 3 + + + + n n n n →∞ = n lim ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + +1 3 3 3 ( 1) 3 1 3 1 n n n n 3 1 = 。 （4）因为limn→∞ 1 1 2 + = n n ， | 1 2 |sin ≤ nπ ，所以 limn→∞ ( ) n sin n n 2 1 1 2 + − π = 0。 （5）limn→∞ n n ( ) + − 1 n →∞ = n lim = n + + n n 1 limn→∞ = + +1 1 1 1 n 2 1 。 （6）limn→∞ n n ( ) n 4 2 + −1 1 + ( 1 1)( 1 1) [ 1 ( 1) ] lim 4 2 2 2 2 + + + + + + + − + = →∞ n n n n n n n n ( 1 1)( 1 1) 2 lim 4 2 2 + + + + + + − = →∞ n n n n n n n = + + + + + + − = →∞ ) 1 1 1 )( 1 1 1 1 ( 1 2 lim 2 4 2 n n n n n 2 1 − 。 （7）limn→∞ 1 1 lg1 lg lg 2 n n + + + = −∞ " ，所以 limn→∞ n = n! 1 0。 （8）limn→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 1 … ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 1 n 17
(n-1)(n+1) li (9)10(n=12,…),且iman=1>1,则 lim a=0。 证取11,可知彐N,vn>N,成立a>r>1,于 是 00(n=12…),且im=a,则 lima/a,=a 证由=…及址=,可知 lima. =a o 12.设lim(a1+a2+…+an)存在,证明: (1)im-(a1+2a2+…+man)=0 (2)lim(na2…an)”=0(a1>0,i=1,2,…,n)
→∞ = n lim = − + ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1) ( 2) 4 3 5 3 2 4 2 1 3 n n n n n n " limn→∞ = + n n 2 1 2 1 。 （9） 2 1 lg n n 0（n = 1,2,"），且lim 1 1 = > + →∞ l a a n n n ，则lim = 0。 →∞ n n a 证 取1 + →∞ l a a n n n ，可知∃N,∀n > N ，成立 1 1 > > + r a a n n ，于 是 1 1 1 0 − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0（n = 1,2,"），且 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，则 n an a n = →∞ lim 。 证 由 n n n n n a a a a a a a a 2 1 3 1 2 1 − = ⋅ ⋅ ⋅"⋅ 及 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，可知 n an a n = →∞ lim 。 12. 设lim ( a a )存在，证明： n→∞ a 1 2 + +"+ n (1) limn→∞ 1 2 1 2 n a a nan ( ) + +"+ = 0； (2) limn→∞ ( ! n a a a ) n n ⋅ 1 2 1 " = 0 ( ai > 0 , i = 1,2,…,n)。 18