习题7.4 1.求下列曲线所围的图形面积: (1) (2)y2=4(x+1),y2=4(1-x); y=x,y=x+sin2x, x=0, x=T (4)y=e, y=e-r (5)y=|lnx|,y=0,x=01,x=10; (6)叶形线 00); (11)r=3cos0,r=1+cos0 ≤O≤); (12)双纽线r2=a2cos20 (13)四叶玫瑰线r=acos20。 (14) Descartes叶形线x3+y3=3axy (15)x4+y4=a2(x2+y2) 解(1)面积A=(x-)x=(-x2-hx 面积421(-2-1+=2-2地= (3)面积4=sm=(-02)h=2
习 题 7.4 ⒈ 求下列曲线所围的图形面积： ⑴ y x = 1 ， y = x ， x = 2； ⑵ y 2 = 4( ) x +1 ， y x 2 = 4 1( ) − ； ⑶ y = x ， y x = + sin2 x ， x = 0， x = π； ⑷ y = ex ， y = e− x， x = 1； ⑸ y x = |ln |， y = 0， x = 01. ，x = 10 ； ⑹ 叶形线 ； x t t y t t t = − = − ≤ ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 2 0 2 2 2 3 , , ⑺ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π (8) 阿基米德螺线r a = θ, θ = 0, θ = 2π ； (9) 对数螺线r a = e , θ θ = 0, θ = 2π ； (10) 蚌线r a = cosθ + b （b a ≥ > 0）； (11) r = 3cosθ ，r = +1 cosθ ( 3 3 π θ π − ≤ ≤ )； (12) 双纽线r 2 = a 2 cos 2θ ； (13) 四叶玫瑰线r a = cos 2θ。 (14) Descartes 叶形线 x y ax 3 3 + = 3 y ； (15) x y a x y 4 4 2 2 2 + = ( ) + . 解（1）面积 ln 2 2 3 ln ) 2 1 ) ( 1 ( 1 2 2 2 1 = − = − = − ∫ dx x x x A x 。 （2）面积 3 16 ) 2 1) 2 (2 4 ) ( 4 2 (1 2 0 2 2 0 2 2 = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − ∫ ∫ dy y dy y y A 。 （3）面积 2 (1 cos 2 ) 2 1 sin 0 0 π 2 π π = = − = ∫ ∫ A xdx x dx 。 231
(4)面积A=e2-e)=e+ 5)面积A==mx-1x=xnx= (6)面积A=「(2-2)(2-2h=2(2-3x2+)d=29 (7)面积A=4[2acos3t·3asin2 t cos tdt=12a2[(cos+t-cos)t =12a (8)面积A=1C2a2dO (9)面积A=1ae2m=(-1)2 (10)面积A=12 (acos+b) 2(a cos20+2abcos 0+b2)de a- r2x 1+ cos 20 d 0+bz=-za2 +b2 (11)面积 12l 3cos0)--(1+cos 0)2]d0 32(3+4cos26-2cos6)d0=x (12)面积A=4.1acos2aO=a2。 (13)面积A=82ac2=2a(+c040=2m2 (14)解一:令y=ax,则x ,t:0→+0。 于是面积 1+/(1+)d=(-2)y2 令u=p3,则 232
（4）面积 2 1 ( ) 1 0 = − = + − ∫ − e A e e dx e x x 。 （5）面积 0.1 1 1 10 1 0.1 10 1 10 0.1 = ln = ln − ln = (ln −1) − (ln −1) ∫ ∫ ∫ A x dx xdx xdx x x x x 10 81 ln10 10 99 = − 。 （6）面积 15 8 (2 )(2 2 ) 2 (2 3 ) 2 0 2 3 4 2 0 2 3 = − − = − + = ∫ ∫ A t t t dt t t t dt 。 （7）面积 ∫ ∫ = ⋅ = − 2 0 2 4 6 2 0 3 2 4 cos 3 sin cos 12 (cos cos ) π π A a t a t tdt a t t dt 2 2 8 3 96 15 16 3 12a π π ⎟ = πa ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 。 （8）面积 3 2 2 0 2 2 3 4 2 1 A a θ dθ π a π = = ∫ 。 （9）面积 = = ∫ π θ θ 2 0 2 2 2 1 A a e d 4 1 ( ) 4 2 e −1 a π 。 （10）面积 ∫ ∫ = + = + + π π θ θ θ θ θ 2 0 2 2 2 2 0 2 ( cos 2 cos ) 2 1 ( cos ) 2 1 A a b d a ab b d + = + = ∫ θ π π θ 2 2 0 2 2 1 cos 2 2 d b a 2 2 2 1 πa + πb 。 （11）面积 ∫ ∫ − − = − + = + − 3 3 3 3 2 2 (3 4cos 2 2cos ) 2 1 [(3cos ) (1 cos ) ] 2 1 π π π A π θ θ dθ θ θ dθ = π 。 （12）面积 2 4 0 2 cos 2 2 1 A = 4 ⋅ a d = a ∫ π θ θ 。 （13）面积 2 4 0 2 4 0 2 2 2 1 cos 2 2 (1 cos 4 ) 2 1 A 8 a θdθ a θ dθ πa π π = ⋅ = + = ∫ ∫ 。 （14）解一：令 y = tx，则 3 1 3 t at x + = ， 3 2 1 3 t at y + = ，t : 0 → +∞。 于是面积 A = ∫ +∞ ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 + + 3 3 2 1 3 1 3 dt t at t at = ∫ +∞ + − 0 3 3 3 2 2 (1 ) (1 2 ) 9 dt t t t a ， 令u = t 3 ，则 232
a= 3a (1-2l rla 2ay"a 3 ou 解二:将x=rcos0,y=rsin代入x3+y3=3ay中,得到 basin ee 6∈[0,=] in 0+cos 0 于是面积 in-0cos 0 tan- A d tan 6 sin+ cos0) 2J6(tan3O+1)2 2 tan 0+1 (15)将x=rcos,y=rsin0代入x++y+=a2(x2+y2)中,得到 n40+cos 40 于是面积 d lo sin 40+cos 0 令 O,则 t2+1 A=2a d=2a2「 d(t-t") =√2a2 arctan t4+1 (-1-)2+2 2.求由抛物线y2=4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。 解选取焦点(a0)为极点,x轴为极轴,建立极坐标。则由 x=rcos+a,y=rsin代入抛物线的方程y2=4ax中,可得抛物线的极 坐标方程为 2a。 设过焦点的弦的极角为a,则它与抛物线所围的面积为 A(a) 2 233
A = 2 0 2 3 2 0 3 2 2 3 (1 ) 3 (1 ) 2 3 (1 ) (1 2 ) 3 du a u u du a u u a = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = + − ∫ ∫ +∞ +∞ 。 解二： 将 x = r cosθ , y = rsinθ 代入 x y ax 3 3 + = 3 y 中，得到 θ θ θ θ 3 3 sin cos 3 sin cos + = a r ， ] 2 [0, π θ ∈ ， 于是面积 ∫ ∫ + = + = 2 0 3 2 2 2 2 0 3 3 2 2 2 2 tan (tan 1) tan 2 9 (sin cos ) sin cos 2 9 π π θ θ θ θ θ θ θ θ d a d a A 2 0 2 3 2 2 3 tan 1 1 2 3 a a = + = − ⋅ π θ 。 （15）将 x = r cosθ , y = rsinθ 代入 x y a x y 4 4 2 2 2 + = ( + )中，得到 θ θ 4 4 2 2 sin + cos = a r ， 于是面积 ∫ ∫ + + = + = ⋅ 2 0 4 2 2 2 0 4 4 2 tan tan 1 tan 1 2 2 sin cos 1 4 π π θ θ θ θ θ θ d a d a A ， 令t = tanθ ，则 ∫ ∫ +∞ − − +∞ − + − = + + = 0 1 2 1 2 0 4 2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 1 2 t t d t t dt a t t A a 2 0 1 2 2 2 2 arctan a t t a = π − = +∞ − 。 ⒉ 求由抛物线 y 2 = 4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。 解 选取焦点(a,0)为极点, x轴为极轴，建立极坐标。 则由 x = r cosθ + a, y = rsinθ 代入抛物线的方程 y a 2 = 4 x 中，可得抛物线的极 坐标方程为 1 cosθ 2 − = a r 。 设过焦点的弦的极角为α ，则它与抛物线所围的面积为 ∫ + − = α π α θ θ α d a A 2 2 (1 cos ) 4 2 1 ( ) 。 233
由 (a)=2a2 8a- cosa ( cos a)-(I-cosa) sin a 令A(a)=0,得到a=x。由于当ax时, A(a)>0,所以4(a)在a=x取到极小值,也就是最小值x): AG- (1 6、,610 3.求下列曲线的弧长: (1)y=x32,0≤x≤4 y 42 (3)y= In cos x,0≤x≤a<; (4)星形线 0≤t≤2π; y=asin (5)圆的渐开线 x=a(cost+tsin t) y=a(sint-t cost) (6)心脏线r=a(1-cos),0≤0≤2π (7)阿基米德螺线r=ae,0≤θ≤2π; 0≤6≤3 解(1)L 0-8 (2)L= )dy= (+y )dy= 2 (3)L=Vi+tan xdxJ sec xdr=In(tan a+ seca) (4)L=4[ 3asint cos tdx=6a (5)由x(t)= at cost,y()= at sin t,可得
由 α α α α α 4 2 2 2 2 sin 8 cos (1 cos ) 1 (1 cos ) 1 '( ) 2 a A a = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = ， 令 A'(α) = 0 ，得到 2 π α = 。由于当 2 π α 时， A'(α) > 0 ，所以 A(α)在 2 π α = 取到极小值，也就是最小值 ) 2 ( π A ： ) 2 ( π A 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 10 2 ) cot 2 (1 cot (1 cos ) 1 2a d = −a + d = a − = ∫ ∫ π π π π θ θ θ θ 。 ⒊ 求下列曲线的弧长： ⑴ y x = ，0 4 3 2/ ≤ x ≤ ； ⑵ x y y = − 2 4 2 ln ，1 ≤ y ≤ e； ⑶ y x = ln cos ，0 2 ≤ ≤ x a < π ； ⑷ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π ⑸ 圆的渐开线 ； x a t t t y a t t t t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ (cos sin ), (sin cos ), 0 2π ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，0 2 ≤ θ ≤ π； ⑺ 阿基米德螺线r a = θ, 0 2 ≤ θ ≤ π； ⑻ 3 sin3 θ r = a ，0 ≤ θ ≤ 3π 。 解（1） = + = ∫ 4 0 4 9 L 1 xdx 27 80 10 − 8 。 （2） 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 4 2 e e e L y y dy y y dy − − 1 4 + = + − = + = ∫ ∫ 。 （3） 2 0 0 1 tan sec ln(tan sec ) a a L x = + dx = xdx = a + ∫ ∫ a 。 （4） 2 0 L 4 3a t sin costdx 6 π = = ∫ a。 （5）由 x′( )t a = t cost, y′( )t = atsin t ，可得 234
L (6)L=「√r2+r"2do=[-2asin9d=8a。 (7)L= rde= a +1d=m1+4x2+ln2x+V1+4x2) (8)L=√2+r2d0=「asin2dO=2ra 4.在旋轮线的第一拱上,求分该拱的长度为1:3的点的坐标。 解设所求点所对应的参数为a,则 L,= va 1-cos)2+a2sin2tdt=4a(l-cos " L2=D(1-9+asm=4+02y, 由L2=3L,得c0=1,即a=2x,所以该点的坐标为(2x-33)。 5.求下列几何体的体积: (1)正椭圆台:上底是长半轴为a、短半轴为b的椭圆,下底是 长半轴为A、短半轴为B的椭圆(A>a,B>b),高为h; (2)椭球体 (3)直圆柱面x2+y2=a2和x2+z2=a2所围的几何体; (4)球面x2+y2+2=a2和直圆柱面x2+y2=ax所围的几何体 解(1)F=z(a+n2x(b+ x=的 B-b (2AB+2ab+Ab+aB) h (2)=m加1- (3)用平行于0y平面的平面去截这立体的第一卦限的部分,截 面为正方形,于是 (a -x dx==a 4)用平行于0y平面的平面去截这立体,则截面积为 235
2 2 0 L atdt 2 π = = π a ∫ 。 （6） 2 2 2 2 0 0 2 sin 8 2 L r r d a d a π π θ = + ′ θ θ = = ∫ ∫ 。 （7） 2 2 2 2 2 0 0 L r r d a 1d π π = + ′ θ = θ θ + = ∫ ∫ ( ) 2 2 ln 2 1 4 2 π 1+ 4π + π + + π a a 。 （8） 3 3 2 2 2 0 0 3 sin 3 2 L r r d a d a π π θ = + ′ θ = θ = π ∫ ∫ 。 ⒋ 在旋轮线的第一拱上，求分该拱的长度为 1:3 的点的坐标。 解 设所求点所对应的参数为α ，则 ) 2 (1 cos ) sin 4 (1 cos 0 2 2 2 2 1 α α = − + = − ∫ L a t a tdt a ， ) 2 (1 cos ) sin 4 (1 cos 2 2 2 2 2 2 π α α = − + = + ∫ L a t a tdt a ， 由L2 = 3L1，得 2 1 2 cos = α ，即α π 3 2 = ，所以该点的坐标为 ) 2 3 ) , 2 3 3 2 (( a π − a 。 ⒌ 求下列几何体的体积： ⑴ 正椭圆台：上底是长半轴为 、短半轴为 的椭圆，下底是 长半轴为 a b A、短半轴为 B 的椭圆（ A a > , B > b），高为h； ⑵ 椭球体 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1； ⑶ 直圆柱面 x y 2 2 + = a2和 x z a 2 2 2 + = 所围的几何体； ⑷ 球面 x y 2 2 + + z 2 = a2和直圆柱面 x y ax 2 2 + = 所围的几何体。 解（1） 0 ( )( ) (2 2 6 h A a B b h V a x b x dx AB ab Ab a h h B) π π − − = + + = + + + ∫ 。 （2） dz abc c z V ab c c π π 3 4 (1 ) 2 2 = − = ∫− 。 （3）用平行于 平面的平面去截这立体的第一卦限的部分，截 面为正方形，于是 0yz 3 0 2 2 3 16 V 8 (a x )dx a a = − = ∫ 。 （4）用平行于0yz平面的平面去截这立体，则截面积为 235
A(x)=2/-x2 a2-x2-y2dy=2vax-x2va2-ax+2(a2-x2)arcsin a+x 由 (a2-x2)arcsin -dx=arcsin -d(ax-x) a+x a+x (a'x--xarcsin dx=(-.)a a+xo Jo 2√x(a+x) 及 ,小Va-x-a=、R3)=15, 6.证明以下旋转体的体积公式: (1)设f(x)≥0是连续函数,由0≤a≤x≤b,0≤y≤f(x)所表示的区 域绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为 V=2r xf(x)dx: (2)在极坐标下,由0≤α≤θ≤β≤π,0≤r≤r(θ)所表示的区域绕极 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 3Jor(0)sin ede 证(1)作区间anb的划分P:a=x0<x1<x2<…<xn=b,则关于小区域 (xy)x1≤x≤x1,0≤y≤/(}绕y轴旋转所得的体积有 △1≈m(x2-x1)f(x1)≈2m,f(x,)Ax2° 设=max(Ax),令→0,就有 V=2r xf(x)dx 36
∫ − − − = − − 2 2 2 2 2 ( ) 2 ax x ax x A x a x y dy a x x ax x a ax a x + = 2 − − + 2( − ) arcsin 2 2 2 2 。 由 ) 3 1 ( ) arcsin arcsin ( 2 3 0 0 2 2 d a x x a x x dx a x x a x a a − + = + − ∫ ∫ ∫ + − − + = − a a dx x a x a a x x a x x a x x 0 2 3 0 2 3 2 ( ) ) 3 1 ) arcsin ( 3 1 ( 3 ) 45 32 3 = ( − a π ， 及 3 0 0 2 2 15 4 ax x a axdx a x (a x)dx a a a − − = − = ∫ ∫ ， 得到 3 ) 9 8 3 2 V = ( − a π 。 ⒍ 证明以下旋转体的体积公式： ⑴ 设 f x( ) ≥ 0是连续函数，由0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)所表示的区 域绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ∫ = b a V 2π xf (x)dx； ⑵ 在极坐标下，由0 ≤ α ≤ θ ≤ β ≤ π, 0 ≤ r r ≤ (θ) 所表示的区域绕极 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ∫ = β α θ θ θ π V r ( )sin d 3 2 3 。 证（1）作区间[a,b]的划分P : a = x0 < x1 < x2 < " < xn = b , 则关于小区域 {( , ) , 0 ( ) 1 x y x x x y f x i− ≤ ≤ i ≤ ≤ } 绕 y 轴旋转所得的体积有 ( ) ( ) 2 1 2 i i i i V x x f x ∆ ≈ π − − i i i ≈ 2πx f (x )∆x 。 设 max( ) 1 i i n = ∆x ≤ ≤ λ ，令λ → 0，就有 = ∫ 。 b a V 2π xf (x)dx 236
(2)解一:设x=r(0)cos,y=r(O)sin,a=r(a)cosa,b=r(B)cosB 则 V=72dx-3mar2(asin2a+ rbr2(B)sin2B J8my-dx+i od(vx)=jasin 0(/'cose-rsineyde T[13r2r'sin20 cos+2rsin 8 cos20-r3sin'8k 2T( r(0)sin Ode 解二:首先,由0≤θ≤B≤π0≤r≤a所表示的扇形区域绕极轴旋转一 周所成的旋转体的体积为 a sin (a'-x dx=(1-cos B)ao 然后作[a,月的划分:a=60<6<2<…<n=B,考察由 θ≤θ≤θ,0≤r≤r(θ)所表示的小曲边扇形区域绕极轴旋转一周所成 的旋转体的体积,这小区域可近似看作扇形,于是这小块的体积应近 似等于 △2zr(a - cOs 3r(0)(1-cos0-0)=r(0).sin 8, A0, 从而 r=∑2r(a)si△B。 令=max(△O)→0,就有 r(0)sin 0de 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积: ,绕x轴 (2)y=sinx,y=0,0≤x ①绕x轴,②绕y轴
(2) 解一： 设 x = r(θ ) cosθ , y = r(θ )sinθ , a = r(α) cosα , b = r(β ) cos β , 则 = ∫ a b V y dx 2 π π α α 2 2 ( )sin 3 1 − ar π β β 2 2 ( )sin 3 1 + br = ∫ a b y dx 2 π + ∫ b a d( y x) 3 1 2 π = ∫ − α β πr sin θ (r'cosθ rsinθ )dθ 2 2 ( ) + ∫ + − β α π r r θ θ r θ θ r θ dθ 2 2 3 2 3 3 3 'sin cos 2 sin cos sin 3 1 = ∫ β α θ θ θ π r ( )sin d 3 2 3 。 解二： 首先，由0 ≤ θ ≤ β ≤ π ,0 ≤ r ≤ a 所表示的扇形区域绕极轴旋转一 周所成的旋转体的体积为 3 cos 2 2 2 2 (1 cos ) 3 2 sin cos ( ) 3 V a a a x dx a a a β π β β π π β = + − = − ∫ 。 然后作[α, β ]的划分：α = θ 0 < θ1 < θ 2 < " < θ n = β ，考察由 , 0 ( ) θ i−1 ≤ θ ≤ θ i ≤ r ≤ r θ 所表示的小曲边扇形区域绕极轴旋转一周所成 的旋转体的体积，这小区域可近似看作扇形，于是这小块的体积应近 似等于 3 3 1 2 2 ( )(1 cos ) ( )(1 cos ) 3 3 V r i i i i i r π π ∆ ≈ θ − θ θ − − θ − i i i r θ θ θ π ≈ ( )⋅sin ∆ 3 2 3 ， 从而 ∑= ≈ ∆ n i i i i V r 1 3 ( )sin 3 2 θ θ θ π 。 令 max( ) 0 1 = ∆ → ≤ ≤ i i n λ θ ，就有 V r = ∫ 2 3 3 π θ θ α β ( )sin dθ 。 ⒎ 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积： （1） x a y b 2 2 2 2 + = 1，绕x 轴； （2） y x = sin ， y = 0，0 ≤ x ≤ π， ① 绕x 轴， ② 绕 y 轴； 237
(3)星形线 St 0≤1≤π,绕x轴; y=asin, (4)旋轮线 x=a(t-sinr) t∈[0,2r] ①绕y轴,②绕直线 y=2a; (5) (0<a≤b),绕x轴; (6)心脏线r=a(l-cos6),绕极轴; (7)对数螺线r=ae°,0≤θ≤π,绕极轴: (8)(x2+y2)2=a2( 绕x轴。 解(1)=可a=(d-x)=mb (2)① 丌; =2 t xsin xdx=2丌2。 (3)= dx= 37a sin't cos tdt 6a2(sin't-sin'1)dr= 32 (4)OV=2r)yf(x)dx=2ma(-sin((-cosi =6丌a 2v=z(2a)- [2a-a(l-cos D) a(1-cost)dt =7r'a2' (5)=x[(+a-x)2-1-、2-x2)k=4G-x=2xb。 (6)由第6题(2),得 2 a2(1-cos0)3sin04fa。 (7)V a'e sin 0de=-(e+1)a (8)V= 4 a'(cos20)2sidb,令=cosO,则 238
（3） 星形线 ，绕 x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 π x 轴； （4） 旋轮线 ， x a t t y a t t = − = − ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( sin ), ( cos ), [ , ] 1 0 2π y = 0， ① 绕 y 轴， ② 绕直线 y = 2a ； （5） x y 2 + − ( ) b 2 = a2，（0 < a ≤ b），绕 x轴； （6） 心脏线r a = ( c 1− osθ) ，绕极轴； （7） 对数螺线r a = e , θ 0 ≤ θ ≤ π ，绕极轴； （8） ( ) x y 2 2 + =2 a2 (x 2 − y 2 )，绕x 轴。 解（1） 2 2 2 2 2 3 4 (a x )dx ab a b V a a = π − = π ∫− 。 （2）① 2 0 2 2 1 π sin π π = = ∫ V xdx ； ② 2π 0 sin 2π2 。 π = = ∫ V x xdx （3） ∫ ∫ = = − π π π 0 2 3 7 2 V y dx 3 a sin t cos tdt a a 3 2 0 3 7 9 105 32 6πa (sin t sin t)dt πa π = − = ∫ 。 （4）① ； 2 3 2 0 3 2 V 2 xf (x)dx 2 a (t sin t)(1 cost) dt 6 a b a π π π π = = − − = ∫ ∫ ② 。 2 3 2 0 3 2 V π (2a) π [2a a(1 cost)] a(1 cost)dt 7π a π = − − − − = ∫ （5）V ( b a x b a x )dx b a x dx a b a a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = π ( + − ) − ( − − ) = 4π − = 2π ∫− ∫− 。 （6）由第 6 题（2），得 3 0 3 3 3 8 (1 cos ) sin 3 2 V a θ θdθ πa π π = − = ∫ 。 （7） 3 3 0 3 3 ( 1) 15 sin 3 2 V = a e d = e + a ∫ π π θ π θ θ π 。 （8） ∫ = 4 0 2 3 3 (cos 2 ) sin 3 4 π θ θ θ π V a d ,令t = cosθ ，则 238
a1(22-1)5dt 由 (212-1)2d=1(2n2-1)2-61t2(22-1)2d (22-13d-31(2r2-1m 得到 3 ∫1(2x2-15dt 1)2dt 44 1-ln√2t+ 48√2 ln(1+√2) 所以 (212-1)2dt 8.将抛物线y=x(x-a)在x∈[0,a1和x∈[a,c]的弧段分别绕x轴旋转 周后,所得到旋转体的体积相等,求c与a的关系 解 积分后化简,得到 a5-10a2c3+15ac4-6c5=0。 9.记(2)是曲线y 在x∈[0,引]的弧段绕x轴旋转一周所围成 的旋转体的体积,求常数a使得满足 V(a=lim v(s) 解由
∫ = − 1 2 1 2 3 3 2 (2 1) 3 4 V a t dt π 。 由 ∫ − 1 2 1 2 3 2 (2t 1) dt ∫ = − − − 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 (2 1) 6 (2 1) 2 t t 1 t t dt =1− 3 ∫ − 1 2 1 2 3 2 (2t 1) dt ∫ − − 1 2 1 2 1 2 3 (2t 1) dt ， 得到 ∫ − 1 2 1 2 3 2 (2t 1) dt 4 1 = ∫ − − 1 2 1 2 1 2 (2 1) 4 3 t dt 8 1 ln(1 2) 16 3 2 2 2 1 ln 2 2 1 8 2 3 4 1 2 1 1 2 2 ⎟ = + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − t t − − t + t − ， 所以 ∫ = − 1 2 1 2 3 3 2 (2 1) 3 4 V a t dt π = 3 3 2 2 ln( 2 1) 4 a⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − π 。 ⒏ 将抛物线 y x = ( ) x − a 在 x ∈[0, a]和 x a ∈[ , c]的弧段分别绕 x 轴旋转 一周后，所得到旋转体的体积相等，求c与a的关系。 解 ∫ − = ∫ − ， c a a x x a dx x x a dx 2 2 0 2 2 π ( ) π ( ) 积分后化简，得到 2 10 15 6 0 5 2 3 4 5 a − a c + ac − c = 。 ⒐ 记V(ξ) 是曲线 y x x = 1+ 2 在 x ∈[ , 0 ξ]的弧段绕 x 轴旋转一周所围成 的旋转体的体积，求常数a使得满足 V a( ) = lim V( ) →+∞ 1 2 ξ ξ 。 解 由 239
(a)=x (1+x2)22(1+a2) 可知lm(5)=2,于是得到a21,解得a=1 10.将椭圆x+=1绕x轴旋转一周围成一个旋转椭球体,再沿x轴 方向用半径为r(r0。所以S+S2在a=一处取到最小值: min{S+S2}=f(片) (2)旋转体体积 Ix-(ax)]dx )I 将a=一代入,就得到
(1 ) 2(1 ) ( ) 2 2 0 2 2 a a dx x x V a a + = + = ∫ π π ， 可知 2 lim ( ) π ξ ξ = →+∞ V ，于是得到 2 1 1 2 2 = + a a ，解得 a = 1。 10. 将椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1绕 x轴旋转一周围成一个旋转椭球体，再沿 x轴 方向用半径为r（r 。所以 1 2 S + S 在 2 1 a = 处取到最小值： { } 1 2 1 1 1 min ( ) (1 ) 2 2 3 S S + = f = − 。 （2）旋转体体积 π π )π 5 1 3 1 15 4 [( ) ] [ ( ) ] ( 5 2 1 4 2 0 2 4 = − + − = − + ∫ ∫ V ax x dx x ax dx a a a a 。 将 2 1 a = 代入，就得到 240