习题12.6无条件极值 1.讨论下列函数的极值: (1)f(x,y)=x4+2y-2x2-12y2+6; (2)f(x,y)=x2+y2-x2-2xy-y (3)f(x,y,z)=x2+y2 (4)f(x,y)=(y-x2)(y-x4); (5)f(x,y)=x++b,其中常数a>0,b>0 (6)f(xy,)=x++,2 (x,y,z>0) 解(1)先求驻点。由 f=4x3-4x=0 1=8y2-24y=0 解得 x=0,±y=0,±3 即函数有9个驻点。再由fn=4(3x2-1),fn=0,f=240y2-1),可知 H=96(3x2-1)(y2-1)。 应用定理1262。驻点(00),(1,√3),(1-√3),(-1,√3),(-1,-√3)满 足H>0,所以是极值点,而其余驻点不是极值点。再根据∫的符号, 可知函数在(00)点取极大值6;在(,√3),(,-√3),(-1,√3),(-1,-√3)四 点取极小值-13。 注本题可使用配方法得到 f(x,y)=(x2-1)2+2(y2-3)2-13, 由此易知(,y3),(1-√3),(-1,√3),(-1,-√3四点为函数的最小值点, 最小值为-13,函数无最大值,(00点为函数的极大值点,极大值为6。 (2)先求驻点。由
习题 12.6 无条件极值 1． 讨论下列函数的极值： （1） f (x, y) = x 4 + 2y 4 − 2x 2 −12y 2 + 6； （2） f (x, y) = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 ； （3） f (x, y,z) = x 2 + y 2 − z 2 ； （4） f (x, y) = ( y − x 2 )( y − x 4 )； （5） y b x a f x y xy 3 3 ( , ) = + + ，其中常数a > 0, b > 0； （6） y z z x y f x y z x 2 ( , , ) = + + + （ x, y,z > 0）。 解 (1) 先求驻点。由 3 3 4 4 0 8 24 x y f x x f y y ⎧⎪ = − = ⎨ ⎪ = − = ⎩ 0 ， 解得 x y = ± 0, 1; = ± 0, 3 ， 即函数有 9 个驻点。再由 2 4(3 1) xx f = x − ， 0 xy f = ， 2 24( 1) yy f = y − ，可知 2 2 H x = − 96(3 1)( y −1)。 应用定理 12.6.2。驻点(0,0) ，(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)满 足H > 0，所以是极值点，而其余驻点不是极值点。再根据 xx f 的符号， 可知函数在(0,0) 点取极大值6；在(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)四 点取极小值−13。 注 本题可使用配方法得到 2 2 2 2 f x( , y) = − (x 1) + 2( y − 3) −13， 由此易知(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)四点为函数的最小值点， 最小值为−13，函数无最大值，(0,0) 点为函数的极大值点，极大值为6。 （2）先求驻点。由 145
f2=4x3-2x-2y=0 1=4y-2x-2y=0 两式相减,可解得x=y=0,±1,即驻点为(0,0),(1.1),(-1-1)三点。再 由fn=12x2-2,fn=-2,fy=12y2-2,可知 H=4(6x2-1)6y2-1 应用定理12.62。驻点(1),(-1,-1)满足H>0,所以是极值点,再 根据∫的符号,可知函数在(,1),(-1-1)两点取极小值-2 在(00)点,有H=0,且f(0,0)=0。由于f(x,x)=2x2(x2-2), f(x,-x)=2x4,可知函数在(00)点附近变号,所以(0,0)不是极值点。 (3)先求驻点。由 解得(0,0.0)是唯一的驻点。由f(0,0,0)=0,f(x,y,0)=x2+y2 f(0,0,)=-2,可知函数在(0,0,0)点附近变号,即(0,0,0)不是极值点 所以函数无极值点 注对于二次多项式f(x),x∈R",它的 Hesse矩阵H是常数矩 阵,我们有如下结论 设x为f(x)的驻点,则由f(x)-f(x)=(x-x)H(x-x)可知 (a)f(x)为最小值的充分必要条件是H为半正定矩阵 (b)f(xn)为最大值的充分必要条件是H为半负定矩阵 (c)f(x)不是极值的充分必要条件是H为不定矩阵 本题由于函数f(x,y,)的Hese矩阵为不定矩阵,所以(0.0,0)不是 f(x,y,)的极值点
3 3 4 2 2 4 2 2 x y f x x y f y x y ⎧⎪ = − − = ⎨ ⎪ = − − = ⎩ 0 0 ， 两式相减，可解得 x y = = 0,±1，即驻点为(0,0) ，(1,1)，(−1,−1)三点。再 由 f xx = − 12x 2 2， f xy = −2， 2 12 2 yy f = y − ，可知 2 2 H x = − 4(6 1)(6y −1) − 4。 应用定理 12.6.2。驻点(1,1)，(−1,−1)满足 ，所以是极值点，再 根据 H > 0 xx f 的符号，可知函数在(1,1)，(−1,−1)两点取极小值−2。 在 (0,0) 点，有 H = 0 ， 且 f (0,0) = 0 。由于 f x( , x) = − 2x 2 2 (x 2) ， 4 f ( , x x − =) 2x ，可知函数在(0,0) 点附近变号，所以(0,0) 不是极值点。 （3）先求驻点。由 2 0 2 0 2 0 x y z f x f y f z ⎧ = = ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎩ = − = ， 解 得 (0,0,0) 是唯一的驻点。由 f (0,0,0) = 0 ， 2 ( , ,0) 2 f x y = + x y ， 2 f (0,0,z) = −z 0 ) ，可知函数在 点附近变号，即( 不是极值点， 所以函数无极值点。 (0,0,0) 0,0,0) 注 对于二次多项式 ， ，它的 Hesse 矩阵 H 是常数矩 阵，我们有如下结论： f (x) n x ∈ R 设 x0为 f (x)的驻点，则由 f f (x) − = (x0 0 ) ( ) x x − T H (x x − 可知 （a） f (x0 )为最小值的充分必要条件是 H 为半正定矩阵； （b） f (x0 )为最大值的充分必要条件是 H 为半负定矩阵； （c） f (x0 )不是极值的充分必要条件是 H 为不定矩阵。 本题由于函数 的 Hesse 矩阵为不定矩阵，所以 不是 的极值点。 f x( , y,z) (0,0,0) f x( , y,z) 146
(4)先求驻点。由 )=0 f,=2 解得x=y=0;x=土1y=1;x=一片,y=,即驻点为(0.0),(1),(-1) 28初(亚3五点。再由f=30x-=2x=4x, Jy=2,可知 H=2(30x2-12yx2-2y)-(2x+4x2)2。 应用定理1262。驻点 8,(-y,3)满足H>0,所以是极值点, 再根据f的符号,可知函数在 y、23取极小值-1。 3 在(1,1),(-,1)点H0,再根据的符号 147
（4）先求驻点。由 4 2 2 4 2 (3 2 ) 0 2 0 x y f x x yx y f y x x ⎧⎪ = − − ⎨ ⎪ = − − = ⎩ = ， 解得 x y = = 0 ; x = ± = 1, y 1 ; 1 , 2 8 x = ± y = 3 ，即驻点为(0,0) ，(1,1)，( 1− ,1) ， ) 8 3 , 2 2 ( 和 ) 8 3 , 2 2 (− 五点。再由 4 2 30 12 2 xx f x = − yx − y ， 3 2 4 xy f = − x − x ， f yy = 2，可知 4 2 H x 2(30 12yx 2y) 3 2 = − − − + (2x 4x ) 。 应用定理 12.6.2。驻点 ) 8 3 , 2 2 ( ， ) 8 3 , 2 2 (− 满足 ，所以是极值点， 再根据 H > 0 xx f 的符号，可知函数在 ) 8 3 , 2 2 ( ， ) 8 3 , 2 2 (− 取极小值 1 64 − 。 在(1,1)，( 1− ,1) 点H 0，再根据 xx f 的符号， 147
可知函数在(,)点取极小值3b。 (6)先求驻点。由 f y 12 解得唯一的驻点2,2,2H。由于函数在2,2,2点的Hese矩阵 22-21是正定的,所以函数在(232)取极小值42 设f(x,y,)=x2+3y2+22-2x+2x,证明函数f的最小值为0 证先求驻点。由 f2=2x-2y+2z=0 f,=6y f 解得唯一驻点(0),由于函数在(00)点的Hese矩阵-260是 正定的,所以函数在(0,0,0)点取极小值f(0,0,0)=0。 注本题可使用配方法得到 f(x,y,z)=(x-2y)2+(x+2=)2+y2, 由此可知函数在(0,0,0)点取最小值f(0,0,0)=0 3.证明函数f(x,y)=(1+e”)cosx-ye有无穷多个极大值点,但无极小值 点 证由 f(x,y)=-1+e) x=0 f(x, y)=e cosx(+y)e'=0 148
可知函数在( , ) 2 2 a b b a 点取极小值3ab。 （6）先求驻点。由 2 2 2 1 0 1 0 1 2 0 x y z y f x z f x y f y z ⎧ ⎪ = − = ⎪ ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎪ ⎪ = − = ⎩ ， 解得唯一的驻点 1 1 3 4 2 4 2 ,2 ,2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ 。由于函数在 1 1 3 4 2 4 2 ,2 ,2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 点的 Hesse 矩阵 3 1 4 2 1 1 2 4 1 1 1 4 2 2 0 2 2 2 0 2 2 − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ − ⎟是正定的，所以函数在(2 ,2 ,2 ) 4 3 2 1 4 1 取极小值 1 4 4 2⋅ 。 2．设 f (x, y,z) = x 2 + 3y 2 + 2z 2 − 2xy + 2xz，证明函数 f 的最小值为0。 证 先求驻点。由 2 220 6 2 0 4 2 0 x y z f x y z f y x f z x ⎧ =−+ = ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎩ = + = ， 解得唯一驻点 ，由于函数在( 点的 Hesse 矩阵 是 正定的，所以函数在 点取极小值 (0,0,0) 0,0,0) 2 2 2 2 6 0 2 0 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (0,0,0) f (0,0,0) = 0。 注 本题可使用配方法得到 1 1 2 2 ( , , ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 1 2 2 f x y z = −x y + x + z + y ， 由此可知函数在(0,0,0)点取最小值 f (0,0,0) = 0。 3. 证明函数 有无穷多个极大值点，但无极小值 点。 y y f (x, y) = (1+ e )cos x − y e 证 由 ( , ) (1 e )sin 0 ( , ) e cos (1 ) e 0 y x y y y f x y x f x y x y ⎧⎪ = − + = ⎨ ⎪ = − + = ⎩ ， 148
解得x=kx,y= cos kz-1,所以驻点为 kr, cos kn-1),k=0,±1,±2, 由fn=-(1+e")cosx,fn=-e'sinx,fn=e'cosx-(2+y)e",可知在 驻点(kz,cosk-1)处, H=cos k(l+e )e 所以当k为奇数时H0,再由f<0,可知(kz, cos kT-1)是极大值点。所以函数有无穷 多个极大值点,但无极小值点 4.求函数f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y)在闭区域 D={(x,y)x≥0,y≥0,x+y≤2} 上的最大值与最小值 解由 f = cos x-cos(x+y)=0 f =cos y-cos(x+y)=0 得到cosx=cosy=cos(x+y)。在D={(x,y)|0<xy<x+y<2r}上考虑, 得到x=y=2y,0(3是函数在区域内部唯一的生点,由 于在区域边界上,即当x=0或y=0或x+y=2x时,有f(x,y)=0,而在 区域内部唯一的驻点上取值为(A20,根据闭区域上连续 函数的性质,可知函数的最大值为/=33,最小值为=0 5.在o上用怎样的直线ξ=ax+b来代替曲线y=x2,才能使它在平 方误差的积分 J(a, 6)= [(-分)d 为极小意义下的最佳近似 解(ab)=[(x2-ax-b)2dk a (a2-2b)+ab+b2 52 是ab的二次多项式,它的Hese矩阵3是正定的,所以有最小 值(见第1题(3)的注)。对参数a,b求导
解得 x k = π , y = cos kπ −1，所以驻点为 ( , kπ cos kπ −1) ，k = 0,± ± 1, 2,"。 由 f xx = −(1+ ey ) cos x， sin y xy f = −e x， e cos (2 ) e y y yy f = −x + y ，可知在 驻点( , kπ cos kπ −1) 处， cos (1 ) y y H k = π + e e ， 所以当 k 为奇数时H 0，再由 0 xx f 0，根据闭区域上连续 函数的性质，可知函数的最大值为 2 3 3 fmax = ，最小值为 fmin = 0。 5．在[0,1]上用怎样的直线ξ = ax + b 来代替曲线 ，才能使它在平 方误差的积分 2 y = x ∫ = − 1 0 2 J (a,b) ( y ξ) dx 为极小意义下的最佳近似。 解 1 2 2 0 J a( ,b) = − (x ax −b) dx ∫ 1 1 2 2 ( 2 ) 523 a = − + a b − + ab + b 是a,b的二次多项式，它的 Hesse 矩阵 2 1 3 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ 是正定的，所以有最小 值（见第 1 题（3）的注）。对参数a,b求导， 149
21 +b=0 2 J=a+2b-=0 3 得到a=1b=-,即,-是唯一的驻点,所以必定是最小值点。因 此最佳直线为5=x-6° 6.在半径为R的圆上,求内接三角形的面积最大者。 解设圆内接三角形的各边所对的圆心角为a,a2a3,则三角形的面 积为 S=o[sin a, +sin a,+sina, ] =-[si in a, +sina -sin(a, +a 由第4题知a1=a2=2z=a1时面积最大,这时圆内接三角形为正三角 形, 7.要做一圆柱形帐幕,并给它加一个圆锥形的顶。问:在体积为定 值时,圆柱的半径R,高H,及圆锥的高h满足什么关系时,所用的 布料最省 解由帐幕的体积F=zR2H+1zRh,得到H=R3,于是帐幕的 表面积为 S=2zRH+RVR2+h2=2-2xM+R√R+n2。 R 对R与h求偏导数,得到 3√R2+h2 as 2V 2h +丌√R2+h2+ OR R 3 R2+h2 由第一个方程,得到R=5h,再将R=5h与F=xFH+1xR代入第
2 1 0 3 2 2 2 0 3 a b J a b J a b ⎧ = − + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + − = ⎪⎩ ， 得到 1 1, 6 a b = = − ，即 1 1, 6 ⎛ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟是唯一的驻点，所以必定是最小值点。因 此最佳直线为 6 1 ξ = x − 。 6．在半径为R 的圆上，求内接三角形的面积最大者。 解 设圆内接三角形的各边所对的圆心角为 1 2 3 α , , α α ，则三角形的面 积为 2 2 1 2 3 1 2 1 [sin sin sin ] [sin sin sin( )] 2 2 R R S = + α α α + = α + α − α +α 2 ， 由第 4 题知 1 2 2 3 3 π α =α = =α 时面积最大，这时圆内接三角形为正三角 形， 2 max 4 3 3 S = R 。 7．要做一圆柱形帐幕，并给它加一个圆锥形的顶。问：在体积为定 值时，圆柱的半径R ，高H ，及圆锥的高 满足什么关系时，所用的 布料最省？ h 解 由帐幕的体积 2 1 3 V R = + π H π R2 h ，得到 2 1 3 V H h π R = − ，于是帐幕的 表面积为 2 2 2 2 2 2 3 V Rh S RH R R h R R h2 R π = + π π + = − +π + 。 对R 与h求偏导数，得到 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 2 2 0 3 S R Rh h R h S V h R R h R R R h π π π π π ⎧∂ = − + = ⎪ ⎪ ∂ + ⎨ ∂⎪ = − − + + + = ⎩ ⎪∂ + 。 由第一个方程，得到 5 2 R = h，再将 5 2 R = h与 2 1 3 V R = + π H π R2 h代入第 150
二个方程,得到H=1h,所以当B=H=力时,布料最省。 8.求由方程x2+2x+2y2=1所确定的隐函数y=y(x)的极值 解由 x+ y 0. x+2 得到x+y=0,再代入x2+2x+2y2=1得到y2=1,由此可知隐函数 y=y(x)的驻点为x=±1,且当x=±1时有y=1。 由于在驻点有 2y) 根据y"(±1)的符号可知y=y(x)在x=-1取极大值1,在x=1取极小值-1。 注本题也可由 2xy+2y2=(x+y)2+y2=1 得到-1≤y≤1,由此可知y=y(x)在x=-1取极大值1,在x=1取极小值 9.求由方程2x2+2y2+2+8yz-x+8=0所确定的隐函数z=x(x,y)的极 值 解由 ax1-2=-8 04(y+2=) ay1-2=-8 得到x=0与y+2z=0,再代入2x2+2y2+2+8yz-+8=0,得到 7=2+2-8=0即z7° 8 由此可知隐函数z=x(x,y)的驻点为0,-2)与
二个方程，得到 1 2 H = h，所以当 5 1 2 R H h = = 时，布料最省。 8．求由方程 x 2 + 2xy + 2y 2 = 1所确定的隐函数 y = y(x)的极值。 解 由 0 2 ' = + + = − x y x y y , 得到 x + y = 0 , 再代入 x 2 + 2xy + 2y 2 = 1得到 y 2 = 1，由此可知隐函数 y = y(x)的驻点为 x = ±1，且当 x = ±1时有 y = ∓1。 由于在驻点有 2 1 ' ( ) 1 '' (1 2 ') 2 ( 2 ) y x y y y x y x y y + + = − + + = − + + ， 根据 y"(±1)的符号可知 y = y(x)在 x = −1取极大值1，在 x =1取极小值−1。 注 本题也可由 2 2 2 x x + + 2 2 y y = (x + y) + y =2 1 1 ， 得到− ≤1 y ≤ ，由此可知 y = y(x)在 x = −1取极大值1，在 取极小值 。 x =1 −1 9．求由方程 所确定的隐函数 的极 值。 2 2 8 8 0 2 2 2 x + y + z + yz − z + = z = z(x, y) 解 由 4 0 1 2 8 4( 2 ) 0 1 2 8 z x x z y z y z y z y ⎧∂ = = ⎪ ⎪∂ − − ⎨∂ + ⎪ = = ⎪⎩∂ − − , 得到 x = 0与 y + 2z = 0 , 再代入2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8yz − z + 8 = 0，得到 7 8 0 2 z + z − = 即 8 1, 7 z = − 。由此可知隐函数 z z = ( , x y)的驻点为(0,−2) 与 16 (0, ) 7 。 151
由 ay21-22-8 可知在驻点(0,-2)与(0,0)有H>0。 在(0-2)点,=1,因此a2=13>0,所以(02)为极小值点, 极小值为=1:在(0.)点,=-8,因此=-4<0,所以(0.为 极大值点,极大值为z 注1原方程可以改写为 2x2+2(y+2z)2=(z-17z+8 由左边非负可得(-1)7=+8)≥0,即≤-8或者z≥1 注2在三维空间中,方程的图像是双叶双曲面,由两个不相连 的部分组成。其中之一开口向上,最小值z=1,另一个开口向下,最 大值z 8 7 10.在Oy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,和x+2y-16=0 的距离的平方和最小。 解平面上点(x,y)到三直线的距离平方和为 D(x,y)=x2+y2+( x+2y-162 对xy求偏导数 D2=2x+=(x+2y-16)=0 D,=2y+=(x+2y-16)=0, 得到x=8,y=16,所以函数只有一个驻点(,16
由 2 2 4 1 2 8 z x z y ∂ = ∂ − − ， 2 0 z x y ∂ = ∂ ∂ ， 2 2 4 1 2 8 z y z ∂ = ∂ − − y ， 可知在驻点(0,−2) 与 16 (0, ) 7 有H > 0。 在(0,−2) 点， z =1，因此 2 2 4 0 15 z x ∂ = > ∂ ，所以(0,−2) 为极小值点， 极小值为 z =1；在 16 (0, ) 7 点， 8 7 z = − ，因此 2 2 4 0 15 z x ∂ = − < ∂ ，所以 16 (0, ) 7 为 极大值点，极大值为 8 7 z = − 。 注 1 原方程可以改写为 2 2 2 2 x y + + ( 2z) = (z −1)(7z + 8) ， 由左边非负可得( 1 z z − + )(7 8) ≥ 0，即 8 7 z ≤ − 或者 z ≥1。 注 2 在三维空间中，方程的图像是双叶双曲面，由两个不相连 的部分组成。其中之一开口向上，最小值 z =1，另一个开口向下，最 大值 8 7 z = − 。 10．在Oxy平面上求一点，使它到三直线 x = 0，y = 0，和 的距离的平方和最小。 x + 2y −16 = 0 解 平面上点( , x y)到三直线的距离平方和为 2 2 2 16 ( , ) ( ) 5 x y D x yxy + − 2 = + + 。 对x, y求偏导数， 2 2 ( 2 16) 5 4 2 ( 2 16) 0, 5 x y D x x y D y x y ⎧ = + + − = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + + − = ⎪⎩ 0, ， 得到 8 1 , 5 5 x y = = 6 ，所以函数只有一个驻点 8 16 ( , ) 5 5 。 152
由于 limD(x,y)=+∞ 可知函数D(xy)在驻点(815)有最小值 11.证明:圆的所有外切三角形中,以正三角形的面积为最小。 证设圆半径为1,外切三角形的两个顶角为2a与2B,则三角形的面 积为 S=cot a+cot B+cot(-a-B)=cot a+cot B+ tan(a+B) 由 2a+sec2(a+B)=0, dB -csc B+sec (a+B)=0 得到a=B=x-a-B,所以 =B 即外切正三角形的面积为最小 12.证明:圆的所有内接n边形中,以正n边形的面积为最大。 证设圆半径为1,圆内接n边形的各边所对的圆心角为 a4(k=12,…,n),则n边形的面积为 S=alsina, +sin a2 +.+sin am-1-sin(a, +a2 +.+an-I 由 =-[cosa1-cos(a1+a2+…+an-1)=0,(k=1,2,…,n-1) 推出 a1=a2=…=an1=2丌-(a1+a2+…+an1) 所以
由于 |( , )| lim ( , ) x y D x y →∞ = +∞， 可知函数D x( , y)在驻点 8 16 ( , ) 5 5 有最小值。 11．证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小。 证 设圆半径为1，外切三角形的两个顶角为2α 与2β ，则三角形的面 积为 cot cot cot( ) cot cot tan( ) 2 S π = + α β α + − − β = α + β + α + β 。 由 2 2 2 2 csc sec ( ) 0, csc sec ( ) 0, S S α α β α β α β β ⎧ ∂ = − + + = ⎪ ⎪∂ ⎨ ∂ ⎪ = − + + = ⎪⎩∂ ， 得到 2 π α = = β −α − β ，所以 6 π α = β = ， 即外切正三角形的面积为最小。 12．证明：圆的所有内接n边形中，以正n边形的面积为最大。 证 设圆半径为 1 ，圆内接 n 边形的各边所对的圆心 角 为 α k (k = 1,2,", n)，则n边形的面积为 [sin sin sin sin( )] 2 1 S = α1 + α 2 +"+ α n−1 − α1 +α 2 +"+α n−1 。 由 1 1 2 1 1 [cos cos( )] 0 2 n k S α α α α α − ∂ = − + + + ∂ " = ，(k = 1,2,", n −1)， 推出 1 2 1 1 2 1 2 ( n n α α α π α α α ) = =" " = − = − + + + − ， 所以 153
2丌 即内接正n边形的面积为最大。 13.证明:当00,于是g(x)严格单调 增加。再由limg(x)=e-,得到 f(x,y)≤o(x)B>0)。 求使产鱼总量最大的放养数 解鱼总产量为 =3-ax-By)x+(4-Bx-2ay)y=-ax-2Bxy-2ay+3x+4y o 对x,y求偏导数, By+3=0, =-2Bx-4ay+4=0, 解得
2 k n π α = ，( 1 k n = , 2,", ) ， 即内接正n边形的面积为最大。 13．证明：当0 0 ，于是ϕ(x) 严格单调 增加。再由 1 1 lim ( ) x ϕ x e− → − = ，得到 1 f ( , x y) ϕ(x) e− ≤ β > 0 ）。 求使产鱼总量最大的放养数。 解 鱼总产量为 2 2 P x = (3−α β − y)x + (4 − β x − 2α y) y = −αx −−+ 2β xy 2α y 3x + 4y 。 0, 0, 对x, y求偏导数， 2 2 3 2 4 4 x y P x y P x y α β β α ⎧⎪ = − − + = ⎨ ⎪ = − − + = ⎩ ， 解得 154