复旦大学：《数学分析》第十章 函数项级数（10.1）函数项级数的一致收敛性习题

第十章函数项级数 习题10.1函数项级数的一致收敛性 1.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 1)S(x)=c, (1)x∈(0,1), (i)x∈(1,+∞) (2)S(x)=xe", x∈(0,+∞) (3)S,(x)=sin (1)x∈(-∞,+∞), (i)x∈[-A,4](A>0); (4)Sn(x)=arctan nx (1)x∈(0,1), (i)x∈(1+∞); (5)S(x)=1x2+, x∈(-∞,+∞); x∈[0,1] (7)Sn(x)=In- (1)x∈(0,1), (i)x∈(1+∞); (8)Sn(x)= (1)x∈(0,1) (i)x∈(1,+∞); (9)S(x)=(sinx)", x∈[0,x]; 0S队(x)=(sinx),(i)x∈[0,z],(i)x∈[,丌-6](δ>0) )S(x)=(1+x), (1)x∈(0,+∞),(i)x∈(0,4](A>0); n (2)S,(x)= x (i)x∈(0+∞),(i)x∈[6+∞)δ>0。 解(1)(i)S(x) d(Sn,S)=Sup|S2(x)-S(x)=1—/→0(n→∞), 所以S(x)在0.1)上非一致收敛 d(Sn,S)=sup|Sn(x)-S(x)=e-→0(n→∞), 所以{Sx)在(1+∞)上一致收敛 (2)S(x)=0 d(Sn,S)=sup|sn(x)-S(x)=→0(n→∞)

第十章 函数项级数 习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 ⑴ Sn(x) = , (i) x −nx e ∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑵ Sn(x) = x , x −nx e ∈ (0,+∞)； ⑶ Sn(x) = sin n x , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑷ Sn(x) = arctan nx, (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑸ Sn(x) = 2 2 1 n x + , x∈ (−∞,+∞) ； ⑹ Sn(x) = nx(1 - x) n , x∈ [0,1]； ⑺ Sn(x) = n x ln n x , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) )； ⑻ Sn(x) = n n x x 1+ , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑼ Sn(x) = (sin x) n , x∈ [0,π ]； ⑽ Sn(x) = (sin x) n 1 , (i) x∈ [0,π ]， (ii) x∈ [δ ,π − δ ]（δ > 0）； ⑾ Sn(x) = n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1+ , (i) x∈ (0,+∞)， (ii) x∈ (0, A]( A > 0)； ⑿ Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 , (i) x∈ (0,+∞) , (ii) x ∈[δ ,+∞), δ > 0。 解 （1）(i) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (0,1) d S S S x S x n x n = − ∈ = 1 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,1)上非一致收敛。 (ii) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (1, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ n e− = → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上一致收敛。 （2）S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (0, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ ne 1 = → 0 (n → ∞)， 1

所以{S(x)在(0.+)上一致收敛。 d(sn, S)=sup S,(x)s(x)= 所以{S(x)在(-m,+∞)上非一致收敛 (i)s(x)=0,当n d(Sn,S)= sup S(x)-S(x)≤→0(n→∞), 所以{S(x)}在[-A,4上一致收敛 (4)(i)S(x)=x d(Sn,S)= supS(x)-(x=x-/→0(n→) 所以S(x)在01)上非一致收敛 (i)S(x)= d(n,S)=sup ISn(x)-S(x) arctan n- 所以Sx)在(1+∞)上一致收敛 (5)S()=,由于(x)-(x)=1x2+-≤,于是 d(Sn,S)=supS(x)-S(x)→0(n→∞), 所以{S(x)在(-,+∞)上一致收敛 (6)S(x)=0, Sn()-S(-)=(1--) 0(n→∞), 所以{Sx)在0上非一致收敛。 (7)(i)S(x)=0,由于Sn(0+)-S(+)=0,且

所以{S x n ( )}在(0,+∞)上一致收敛。 （3）(i) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) ( , ) d S S S x S x n x n = − ∈ −∞ +∞ = 1 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在( , −∞ +∞)上非一致收敛。 (ii) S(x) = 0，当 π A n 2 > ， ( , ) sup ( ) ( ) [ , ] d S S S x S x n x A A n = − ∈ − n A ≤ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在[ , −A A]上一致收敛。 （4）(i) 2 ( ) π S x = ， ( , ) sup ( ) ( ) (0,1) d S S S x S x n x n = − ∈ 2 π = ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,1)上非一致收敛。 (ii) 2 ( ) π S x = ， ( , ) sup ( ) ( ) (1, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ arctan n 2 = − π → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上一致收敛。 （5）S(x) = x ，由于 n x n S x S x x n 1 1 ( ) ( ) 2 2 − = + − ≤ ，于是 ( , ) sup ( ) ( ) ( , ) d S S S x S x n x n = − ∈ −∞ +∞ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在( , −∞ +∞)上一致收敛。 （6）S(x) = 0， − ) = 1 ) ( 1 ( n S n Sn n n ) 1 (1− ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在[0,1]上非一致收敛。 （7）(i) S(x) = 0，由于Sn (0+) − S(0+) = 0 ，且 2

=-(1+ln-)∞), 所以{S(x)在(0,1)上非一致收敛。 (i)S(x)=1, 1+ Sn(+-)-S(1+-)= n→)0) 1+(1 所以{S(x)在(+0)上非一致收敛。 (9)S(x)= ,取xn∈[0,n],使得snxn=1-,则 0,z].x≠z Sn(xn)-S(xn)=(1--) 0( 所以{S(x)在[0上非一致收敛 (10)(05(7-=0x=0 取xn∈(0,x),使得 SIn x=-,则 10<x<丌

[ ] S (x) − S(x) = dx d n (1 ln ) 0 1 + < n x n (n ≥ 2)， 于是 n n d S S S x S x n x n ln ( , ) sup ( ) ( ) (0,1) = − = ∈ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(0,1)上一致收敛。 (ii) S(x) = 0， Sn (2n) − S(2n) = 2ln 2 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上非一致收敛。 （8）(i) S(x) = 0， − − − ) = 1 ) (1 1 (1 n S n Sn n n n n ) 1 1 (1 ) 1 (1 + − − ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,1)上非一致收敛。 (ii) S(x) = 1， + − + ) = 1 ) (1 1 (1 n S n Sn 1 ) 1 1 (1 ) 1 (1 − + + + n n n n ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上非一致收敛。 （9） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ≠ = = 2 0 [0, ], 2 1 ( ) π π π x x x S x ，取 ∈[0,π ] n x ，使得 n xn 1 sin = 1− ，则 2 π xn ≠ ， Sn (xn ) − S(xn ) = n n ) 1 (1− ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在[0,π ]上非一致收敛。 （10）(i) ，取 ⎩ ⎨ ⎧ < < = = π π x x S x 1 0 0 0, ( ) ∈ (0,π ) n x ，使得 n n x 2 1 sin = ，则 3

Sn(xn)-S(xn)=-1-/→0(n→∞), 所以{S、x)在(0,x)上非一致收敛 d(Sn,S)= sup S(x)-S(x)=1-sin”→0(n→∞), 所以{S(x)在z-6]上一致收敛 (11)(i)S(x)=e, S(n)-S(n)=2"-e"-/→0(n→∞), 所以{S(x}在(0,+∞)上非一致收敛。 (i)S(x)=e2,由于Sn(0+)-S(0+)=0,且当n充分大时, S, (x)-S(x)I 0 dx 于是 d(Sn,S)=sup(, (x)-S(x)=e-1 →0(n→∞), n 所以{Sx)在(0,上一致收敛 (12)(1)S(x)= 2 所以{S(x)在(0,+∞)上非一致收敛。 (iiS(x) 2 x+-+√x

Sn (xn ) − S(xn ) = 1 2 1 − ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,π ) 上非一致收敛。 (ii) S(x) = 1， d(S , S) sup S (x) S(x) n = n − x∈[δ ,π −δ ] δ n 1 = 1− sin → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在[ , δ π −δ ]上一致收敛。 （11）(i) S(x) = ex ， Sn (n) − S(n) = n n 2 − e ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,+∞)上非一致收敛。 (ii) S(x) = e x ，由于Sn (0+) − S(0+) = 0 ，且当n充分大时， [ ] S (x) − S(x) = dx d n 1 0 1 ⎟ − < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n e n x ， 于是 ( , ) sup ( ) ( ) (0, ] d S S S x S x n x A n = − ∈ n A n A e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 1+ → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(0, A]上一致收敛。 （12）(i) x S x 2 1 ( ) = ， − ) = 1 ) ( 1 ( n S n Sn ⎟ n ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 2 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,+∞)上非一致收敛。 (ii) x S x 2 1 ( ) = ， Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 ( ) 2 1 1 1 S x x x n x < = + + = ， 4

由于 S,(x)-S(x)= 2x(x+-)(√x+1x+-)4 可知 d(Sn,S)=sup Sn(x)-S(x)=sn(8)-S(8) δ+--√δ6 →0(n→∞), 所以{S(x)}在,+∞)上一致收敛 2.设S(x)=m(xn-x2"),则函数序列{S(x)}在[0上收敛但不一致 收敛,且极限运算与积分运算不能交换,即 imnS)dx≠mS(x)dxs 证函数序列{S(x)在[上收敛于S(x)=0。取xn=1-1,则 S(xn)-S(xn)=n(1-)”-(1- →)+ 所以{Sn(x)}在0上非一致收敛。 由于 lim [s, (x)dx= lim m(x-x2mydx=t, lim Sn(x)dx=0 n→)0 所以 lim S,(x)dx+[lim S,(x)dx 3.设S(x)=1+nx2,W (1)函数序列{Sx)}在(-∞+∞)上一致收敛; dx()在(+2)上不一致收敛 (3)极限运算与求导运算不能交换,即 lim d sn(x)= lim S,(x) x 并不对一切x∈(-∞,+∞)成立 解(1)S(x)= (x)=0,则 S,(x)-S(x) 0(n 11+n2x22n

由于 [ ] 0 4 1 ) 1 )( 1 2 ( 1 ( ) ( ) 2 3 + > + + + − − = x n x x n x x S x S x dx d n ， 可知 ( , ) sup ( ) ( ) [ , ) d S S S x S x n x n = − ∈ δ +∞ S (δ ) S(δ ) = n − δ δ δ 2 1 1 +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − n n → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在[ , δ +∞)上一致收敛。 2. 设Sn(x) = n( n x - n x 2 )，则函数序列{S (x)}在 上收敛但不一致 收敛，且极限运算与积分运算不能交换，即 n [0,1] n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx ≠ ∫ →∞ 1 0 limn Sn(x) dx。 证 函数序列{Sn(x)}在[0,1]上收敛于S(x) = 0。取 n xn 1 = 1− ，则 Sn (xn ) − S(xn ) = → +∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − n n n n n 2 ) 1 ) (1 1 (1 ， 所以{Sn(x)}在[0,1]上非一致收敛。 由于 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx →∞ = n lim n x x x n n ( )d 1 0 2 ∫ − 2 1 = ， S ∫ →∞ 1 0 limn n(x) dx = 0， 所以 dx n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n ≠ ∫ →∞ 1 0 limn Sn(x) dx。 3. 设Sn(x) = 2 2 1 n x x + ，则 ⑴ 函数序列{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛； ⑵ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛； ⑶ 极限运算与求导运算不能交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 并不对一切 x∈ (−∞,+∞) 成立。 解 （1）Sn(x)= 2 2 1 n x x + ，S(x) = 0，则 n x n x S x S x n 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 ≤ + − = → 0(n → ∞)， 5

所以{Sn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛 (2) d d x=0 S,(x) (1+n2x2)2 o(x)=limS,(x) n→∞dx 0x≠0 取 则 12 Sn(n)-o(xn) 0(n→∞), 所以{S,(x}在(-a+∞)上不一致收敛。 (3)由于在x=0处, lim Sn(x)=0, o(x)=lim S, o dx 所以在x=0处, m+ d Sn(ar)=d lim Sn(x) 不成立 4.设S(x)= arctan x,则函数序列{Sx)}在0.+∞)上一致收敛:试 问极限运算与求导运算能否交换,即 d Sn(x Sn(x dx 是否成立? 解 Sn(xF-arcta S,(x) S(x)=lim Sn(x)=0, S(x)=0 所以 lim s(1)=1≠S(1),即 H→① limS(x)=.lim Sn(x) d x 在x=1不成立 5.设Sn(x)=nxe-,其中a是参数。求a的取值范围,使得函数序列 S(x)}在[0,上 (1)一致收敛 (2)积分运算与极限运算可以交换,即 lim S, (x)dx=[lim,(x)dx 3)求导运算与极限运算可以交换,即对一切x∈[0,1成立 lim.Sm(x) d m Sn(x) d

所以{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （2） S (x) dx d n 2 2 2 2 2 (1 ) 1 n x n x + − = ， ( ) lim S (x) dx d x n n→∞ σ = ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = 0 0 1 0 x x ， 取 n xn 2 1 = ，则 ( ) n n S x dx d 25 12 −σ (xn ) = ─/→ 0（n → ∞）， 所以 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛。 （3）由于在 x = 0处， d x d n→∞ lim Sn(x) = 0， ( ) lim S (x) dx d x n n→∞ σ = = 1， 所以在 x = 0处， n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 不成立。 4. 设Sn(x) = n 1 arctan x n ，则函数序列{Sn(x)}在(0,+∞)上一致收敛；试 问极限运算与求导运算能否交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 是否成立? 解 Sn(x)= n 1 arctan xn， n n n x x S x 2 1 ' 1 ( ) + = − ， S(x) = n→∞ lim Sn(x) = 0，S'(x) = 0， 所以 '(1) 2 1 lim (1) ' S S n n = ≠ →∞ ，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 在 x = 1不成立。 5. 设Sn(x) = ，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列 {S nx n xe α − n(x)}在[0,1]上 ⑴ 一致收敛； ⑵ 积分运算与极限运算可以交换，即 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx = S ∫ →∞ 1 0 limn n(x) dx； ⑶ 求导运算与极限运算可以交换，即对一切 x∈[0,1]成立 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 。 6

解(1)S(x)= lim S,((x)=0,令Sn(x)=ne(1-mx)=0,得到x=-,即 supS, (x)-S(x)=S,() 所以lmd(Sn,S)=0当且仅当a0,Sn(x)}在[a+n,b- 上一致收敛于S(x)。 取00,38>0,Vx,x∈+ab-a],只要x-xN且x∈[口+nb-n]时,有 +a b

解 (1) S(x) = S n→∞ lim n(x) = 0，令Sn ' (x) = nα e−nx (1− nx) = 0，得到 n x 1 = ，即 = − = ∈ ( , ) sup ( ) ( ) [0,1] d S S S x S x n x n 1 1 ) 1 ( − − = n e n Sn α ， 所以 lim ( , ) = 0 →∞ d S S n n 当且仅当α 0 , {Sn (x)}在[ ] a +η,b −η 上一致收敛于S'(x)。 取0 0, ∃δ > 0 , ∀x', x"∈ [a +α,b −α], 只要 x'−x" N 且 x∈ [a +η,b −η]时，有 + ∈ n x 1 [a +α,b −α], 7

于是 S(x)-S(x)=|S()-S(x)036>0,wx∈-61],成立“S(x列N,Wx∈p1-l],成立x<元 于是 x"S(x)<8

于是 Sn (x) − S'(x) = S'(ξ ) − S'(x) 0, ∃δ > 0 , ∀x ∈[1−δ ,1]，成立 x S(x) N , ∀x ∈[0,1−δ ]，成立 M x n ε < ， 于是 x S(x) < ε n 8

对一切x∈[0成立,因此{x"S(x)}在[O,1上一致收敛

对一切 x ∈[0,1]成立，因此{x n S(x)}在[0,1]上一致收敛。 9