第十二章数项级数 第十二章数项级数 s1级数的收敛性 1.证明下列级数的收敛性并求其和 6 6·1111·16 (2)(+)+( 11 1 n+1)(n+2) (4)∑(n+2-2√n+1+√n); (1)5-5(1-6+(~1 所以lms=3,从而该级数收敛且和为 (2)∑是公比为的几何级数,故收敛于 ∑收敛于-,所以∑(n+1)收敛于1+ (3)因an n(n+1)(n+2) 1)(n+1)(n+2
81级数的收敛性 从而S=习2(ak+1)-(+1k+2) (n+1)(n+2) 故该级数收敛,其和为 (4)因为其通项为 an=√n+2-2√n+1+√n=√n+2-√n+1 1 n+1+√n 所以 √k+2+√k+ n+2+√n+1 1 故该级数收敛且其和为1-2 (5)S-1 sn=(+3+…+2n1)-(1.(1)2 3…()3+5:()4+…+(2n-1)()n+ =1+2·(1)2+2·(1)3+…+2.(1) -(2n-1)·() +…+nn=2)]-(2n-1)()
第十二章数项级数 (2n-1)()n 所以 lim s=3.即所给级数收敛,且其和为3 2证明:若级数∑an发散则∑Can也发散(c≠0) 证(反证法)若∑Cn收敛,则由C≠0知 ∑un=∑ 由定理122知∑xn也收敛,与题设矛盾从而当∑un发散时, Cun也发散 3设级数∑an与∑vn都发散试问∑(un+vn)一定发散吗? 又若un与vn(n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论? 解当∑un与∑vn都发散时,∑(un+vn)不一定发散例 ∑n=∑1和∑n=∑(-1)都发散,而∑(an+vn)=0+ 0+…收敛 但当xn与vn(n=1,2,…)都是非负数时,则∑(un+vn)一定发 散,证明如下 由∑un发散知,存在0>0,对任何自然数N,总存在自然数 m(>N)和p0,有 I um,+1 +um+2 从而 1(um+1+tm1)+(nt2+vmn2)+…+(mgt+n+n2)1≥e0 由柯西准则知∑(un+vn)发散 4.证明:若数列{an}收敛于a,则级数∑(an-an+)=a1-a 证由已知lim n=1
1级数的收敛性 所以lmSk=lim(a1-ak+1)=(a1- lim ak+1)=a1-a, 即 5.明:若数列{bn}有 lim b=+∞,则 (1)级数∑(bn+1-bn)发散; (2)当bn≠0时,级数∑( 1_1)1 证(1)因Sn=∑(b+1-bn)=bn+1-b1,万 b1) 故级数∑(bn+1-bn)发散 (2)当b,≠0时,m=0,从而 lmS=m(b-y)=lm(1-1)=1 n+1 即 b b 6.应用第4,5题结果求下列级数的和 (1)∑ (2)>(-1)+2mn+1; (3) 2n+1 n1(n2+1)(n+1)2+1] 解(1 而数列1-11收敛于0,所以 a+1-1 0 (2)原式=∑[-(=1-( (-1)x) 295
第十二章数项级数 而数列{-(=1)收敛于0,所以 (-1)m+1-2n+1 0=1 (3)原式 n2+1(n+1y+1,而数列21收敛于 0,所以 (n2+1)[(n+1)2+1]12+1 7.应用柯西准则判别下列级数的敛散性 (1)∑sin2 2n2+1 (3)∑(-1) (4)∑—1 解(1)任给自然数p,有 0,存在N,当m>N时任给自然数p E 所以该级数收敛 (2)取60=3,对任一N,取m=N+1,p=1,则m>N且 um10+19m+1) =E0 据柯西准则知原级数发散 (3)任给c>0,取N=[],当m>N时,任给p, 力+1 m+2 +1m+2 +(-1)p+1
1级数的收敛性 1 1 1 N,且 (m+k) k 所以此级数发散 (m+p)+(m p)2>2D p)2m√22√2 证明级数∑un收敛的充要条件是:任给正数e,有某自然数 N,对一切n>N总有 …+wn|0,存在 自然数N1,使当n>m>N1时, 取N≥N1+1对任何n>N,有 aN+uN+1+……+un|0,存在某自然数N,对一切n>N,总有 则对一切n>m>N,都有 uN+ uN+1+ +…+tm)l≤wN+uN+1+…+un|+|wN+uN+1+ 由柯西准则知∑un收敛 9举例说明:若级数∑xn对每一个固定的自然数p满足条件 lim(un+un+1+ .+uu+)=0
第十二章数项级数 则此级数仍可能不收敛 解例如级数∑1,对每一个自然数p, n+1+…+1-)=limn+m1 lim(1 1 n t p n+1 但级数∑发散 10.设级数∑n满足:加括号后级数∑(an+1+…+an1,)收敛 (n1=0),且在同一括号中的n+1,n+2,…,n4n符号相同证明 ∑un亦收敛 证明:设级数∑an的部分和为Sn 则级数∑(xn+…+1,)=∑A,并设其部分和为T 已知∑A收敛,可设址mT 则T=A1 又yn∈N,3k∈N,使得n+1≤n≤nk+1(n1=0)且由已知 Ak中的项符号相同 所以级数∑an的部分和Sn总介于T-1与T之间 即以下两不等式必有其一成立 ()Tk-1≤Sn≤Tk )T≤Sn≤Tk 又imTk= lim TH-1=S 因此imSn=S,故∑an收敛
§2正项级数 §2正项级数 1.应用比较原则判别下列级数的敛散性 (1)∑n212;(2m3:()2 (4)>)an);(5)∑(1-as1y );(6)∑ (7)2(a-1)(a>1);(8)2(mn7) (9)∑(an+an-2)(a>0); 解()由于0≤n212≤,而∑收敛,故∑12 收 敛 (2h3-x(3),∑(3)收敛故原级数收敛 (3因为1-1,而∑卫发散,故原级数发散 (4)因为、4mm2),而S1收敛,故原级数收 (5)1-cs 而∑ 2n2收敛故原级数收敛 (6)-1-1,而∑L发散,故原级数发散 (7)a=1时,部分和为0,故收敛,当a>1时 an=1 12lna+(3) a2-1=nha+113a+()~mn 而∑发散故a>1时,原级数发散
第十二章数项级数 ,(8)因为(mn)n已)上收敛,故原级 敛 1 (9)im a+an-2 a =(lna)2(罗比塔法则) 又∑与收敛故原级数收敛 2.用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性 (2∑1322-12(2)2(t+12(3)2n+1) (2n15)∑2:()23n (7)∑()",(其中an→a(n→∞);an,a,b>0,且a≠b) 解(1)因“+1=x(2n+1)!!n! 2n+1 (2n-1)!!(n+1)! →2(n n 故该级数发散 (2)因4N+1=n+2(n→∞),所以该级数发散 (n→∞),故该级数收敛 (4)因“=(;)→1(n→∞),故该级数收敛 (5因n=号m2→(n→),故该级数收敛 3(-1)→2(n→∞),而>1,由比式判别法此 级数发散 (7)因n=b→(n→∞),从而b>a时,该级数发散;bN
§2正项级数 切n+1 证明:若级数∑vn收敛,则级数∑vn也收敛;若∑vn发散,则 也发散 证由题意知当n>N0时,“≤红,从而对n>N0,有 0N0,的入2 是常数故当∑vn收 敛时∑un收敛当∑un发散时∑vn也发散 4.设正项级数∑an收敛证明级数∑a2也收敛;试问反之是否 成立? 证由∑an收敛知lman=0,于是存在N,当n≥N时,0≤an0)也收敛 证由于≤1(a+1),而∑a,∑都收敛,得 ∑3(a2+1)收敛由比较原则∑a收敛 设正项级数∑vn收敛证明级数∑√unun+1也收敛