§1反常积分的概念 第十一章反常积分 S1反常积分的概念 1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值 (1)。mx-xdx; re"dx (3) ∫∫ (1 ∞4x2+4x+5 o e sindo (7))e'sinzdx 解1)m边=。d2)=-122=2-122 ma=m(2-2)= +∞ 无穷积分收敛 2) e re dr ae dr 由上一题知 2收敛,令t=-x则 te dt cedx=0∴无穷积分收敛 e 2dr= lim 67
第十一章反常积分 im(1-2e-2)=1∴无穷积分收敛 x2(1 x2(1+x) lin( →+∞1x (1+x)-lnx) =1m(1-+(1+1)-h2)=1-12∴无穷积分收敛 dx 4 dr lim a arctanx+5)18+ lim i arctan(x+5) lim arctan (a +0)-lim arctan (b+ D)) 无穷积分收敛 6)Le"*sin. dx =0(1-e" - sina) 积分收敛 7) e.xdx= esinxdx+e'sinzdx e2 sindh=b(1-(sa-sina)e)当a→+∞时,极限不存在 同理 e sin.rdr=[(sinb-sb)e-1],当b→-∞时,趋于 ∴原积分发散 8) dx=ln(a+1+a2)当 a→+∞时,趋于+∞,…原积分发散
1反常积分的概念 2.讨论下列瑕积分是否收敛?若收敛,则求其值 (1 (5))Inrdx; (8) 1)解=;1(6-a2)-(n-a)n]① 当P1时,n→a①式极限不存在∴发散 当P=1时, 1 dx=ln|b-al-ln|n-a|当n→a 极限不存在.∴原积分发散 2)解。11d2=,21-1)=2b b→1-时,极限不存在∴原积分发散 b→1 dx lim 0√|x-1i 4积分收敛 dz=im[1-√1-a2]=1 ∴积分收敛
第十一章反常积分 5). Inada rInx 11 imn(a-1-alna)=-1∴积分收做 (iaz landi + 2idt arctan - - ano=arct 0(a+p54=2(1+2+amy i-a)+ arct:n 当a→1时,①式极限为,②极限为,所以 dx:=丌 7) )2 0√1-(2x-1)2 d(2x-1)+ 2√1-(2x-i arash(2x-1)+aresh(2c-1)11=T (8) z(Inz) bar Jo r(Inr ) dr t Ji x(Inz)odr 70
§1反常积分的概念 lim a-o*Jo x(Inr )p b Ji a(Inz) dr lim: L(In.x)1-P 12+ lir,(nx)l-p 12 (1-p(m2) b→1 (Inb )-p-lin (Ina)I-p 此极限不存在,故积分发散 3.举例说明:瑕积分|f(x)dr收敛时,f2(x)dx不一定收敛 解例如令八(x)=1,则(x)hx=.1x=2 f(x)dx收敛,但。dx由p积分知发散 4.举例说明:」(x)x收敛且f在a,+∞)上连续时,不 解例如」,sinx2dx=(°sntd,由狄利克雷利别法知 2 sint收敛但当x→+∞时,simx2极限不存在 5证明:若f(x)dr收敛,存在极限lmnf(x)=A,则A=0. 证若A≠0,不妨设A>0,则由limf(x)=A,取e 3M,当x>M时,有f(x)-A1:∫”会 发散,由此较判别法知,f(x)dx发散,矛盾.A=0
第十一章反常积分 6证明若f在a,+∞)上可导,且f(x)dz与f(x)dx 都收敛,则limf(x)=0 证f(x)=f(a)+|f(t)dt f(t)dt收敛 imf(x)=f(a)+f(t)d极限存在 又f(x)dz收敛,由上题知,lmf(x)=0 S2无穷积分的性质与收敛判别 1.证明定理11.2及其推论1 解定理11.2的证明 g(x)dx收敛.∴e>0,彐G> 当u1>G,u2>G时,令U2>U1,有1"g(x)dx10(特别取 M,当x>M时,g(x)-1<c:5E(x)1(x)1< 对于|)由比较原则得 1f(x)dx与g(x)dx同敛态 对于ⅱ)|f(x)1<eg(x) g(x)dx收敛,则 (f(x))dx收敛
§2无穷积分的性质与收敛判别 当c=+∞时,即:m(x)=+∞,则YM>0,3G,当x >G, 4>M. I(=)>Mg(z) ∫(x)d发散1(x)|发散 2.设f与g是定义在[a,+∞)上了函数,对任何u>a,它们在 [a,n]上都可积证明:若f(x)dz与g2(x)dx收敛,则 ∫xl(x)d与[r(x)+g(x)Pax也都收敛 证∵1(x)g()<个t足且∫”P(x与2()h 收敛:「“+x2dx收敛 由比较原则1f(x)g(x)ldz收敛,f(x)g(x)dx收敛 又 ((r)+ g())2dx=(x)dr+g2(x)dx+ f(c)g()dx 等式右端三个积分都收敛:(f(x)+g(x)2dx收敛 3.设f,g,h是定义在[a,+∞)上的三个连续函数,且成立不等 式h(x)≤f(x)≤g(x).证明 ()若(2)d与。()b都收做,则。(x)d也收敛 (2)又若h(x)dx=」g(x)dx=A,则」f(x)dx=A 证(1)h(x)dx与g(x)dx都收敛 (g(x) h(x))dx收敛又0≤g(x)-f(x)≤g(x)-h(x)由比较原则
第十一章反常积分 g(x)-f(x)ldx收敛,又f(x)dz=g(x)dx+ (f-g)dx,故f(x)d收敛 2)对n>a,h(x)≤f(x)≤g(x):h(x)dx≤ f(x)dx≤g(x)dx,令n→+∞,由迫敛性得f(x)dx=A 4.讨论下列无穷积分的收敛性 (2) (3) 01+√x +oe rarctan dr; 1+ (5)ln(1+x) 7, 解1)limx3y4+1 =1,P>10<入<+c 收敛 2)lim 由p积分知 dx收敛 xdx收敛 1+√x =1,0<A<+∞,0<p<1 dx发散 11+√x arctan.T a arctan 274
§2无穷积分的性质与收敛判别 由p积分 dx收敛 +om arctan dx收敛 n(1+x) 5)当n>1时,lin n(1+x) 由p积分 收敛∴当n>1时, In(1 收敛 In(1+z) 当n≤1时,m1 ∞ 1“女发散,x+1发散 6)当n-m>1时+2m>1 0 1+ λ=0,p=1+n,m>1:积分收敛 5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 (1) dci sgn(sine2 dr 1 +oo 0100+x; (4) sin.xdr 解1)”mx=2,”mt 1单调递减趋于0(2→+),∫,snt≤2y>1) 由狄利克雷判别法,积分收敛 sint cost ∈[1,+∞)
第十一章反常积分 其中,由狄利克雷判别法知收敛,而发散 ∫;"1-(业发散原积分条件收敛 2)1如2d=。1+2a(m≠0) 1 +x21,P=2>1,λ=1∴ dx收敛 当sinx≠0时 1+x2 0∴原积分绝对收敛 3)小g∞xzdx≤1Jx在[0,+∞)上单调递减且当x→+ 100+ ∞时,趋于零,∴积分收敛 又m千22x=am0+2)+m0+ 2(100+x) dx发散 12(100+xz)2adx收敛 原积分为条件收敛 4)广n(n In(Inz)sinad+: In(nz )sinzdr 小.snm长≤2且在,+)上,(mx)y=1-bhn}<0 x+(lnx2 1(nx2单调递减且有lm(mz=immx=0 Inx 由狄利克雷判别法知, sinner收敛 T 原积分收敛 又1(nxix1≥-址(mx)s2x=h)-=mx) 而:1mmx2d发散,「址(n3)dm收敛 In( 2ln.x 276
