第二十章曲线积分 第二十章曲线积分 §1第一型曲线积分 1.计算下列第一型曲线积分 (1),(x+y)ds,其中L是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三 角形 (2(x2+y3b,其中L是以原点为中心R为半径的右半圆 周; (3).xyxs,其中L为椭圆2+y2=1在第一象限中的部分; 1y14,其中L为单位圆r2+y2= L (5)(x2+y2+z2)ds,其中L为螺旋线x=aost,y=asnt z=bt(0≤t≤2)的一段 (6),xyb,其中L是曲线x=t,y=专√2?,=2a2(0≤ t≤1)的一段 ()J√2+2,其中L是x2+y2+x2=n2与=y相交 的圆周 解(1),(x+y (x+y)ds+(x+y)ds+」(x +yds
81第一型曲线积分 1+√2 (2)右半圆的参数方程为: Rin.(-5≤0≤5) 从而 R2d0= R2 b 从而 b 1+ydz 6222 rva r2 dr b√a4-(a2-b2)xdx2 (4)由于圆的参数方程为:x=cos0,y=sin0.(0≤0≤2x),从而 sindo 4 (5),(x2+y2+z2)d=(a2+b2t2)√a2+b2a =x(3a2+4x2b2)√a2+b2 (6),xyxd=|t·令√23:-t21+2t+t2d t2(1+tdt 527
第二十章曲线积分 (7)其截线为圆2y2+x2=a2,其参数方程为x=y Int,z = acost,(0≤t≤2m) √2y2+z2a t+a2 cos2 = 2求曲线x=a,y=a,x=3a2(o≤t≤1,a>0)的质量, 设其线密度为P=√ 解曲线质量为 2t2 dt 号1+24(1+2)=号(2/2-1) 3.求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cst)(0≤t≤x)的重心, 设其质量分布是均匀的 解因d=√(4-wt)2+amnt=2imd dt 4 故重心坐标为 t=mpoa(- sint)2a sin 2dt 2 tsin ndt-asintsin tdt =- atoms</r +alcs六dt+ (∞32 s Poa(1-cost )2asin dt
81第一曲线积分 dt (sin g t 4.若曲线以极坐标p=p(0)(01≤0≤02)表示,试给出计算 f(x,y)ds的公式,并用此公式计算下列曲线积分 (1),e+)d,其中L为曲线p=a(≤0≤x)的一段; (2),xd,其中L为对数螺线p=a(x>0)在圆r=a内的部 解因L的参数方程为x=p(0),y=p(0)sn(61≤0≤a2)且 d=√(m)2+()2d=√p(0)+p2(0)d t, (r,y)ds=f(P(0) os0, P(0 )sine)v2(0)+p2(0)d0 /2,2 (1),e ea√a2+0d0 (2),s=acas·√a2e2H+a2k2e2bd0 =a21+k2c2.a=4kn21+k2 4k2+1 5证明:若函数∫在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(a≤t≤P) 上连续,则存在点(x0,y0)∈L使得,,f(x,y)d=f(x0,y)△L 其中△L为L的长 证明由于∫在光滑曲线L上连续,从而曲线积分」,∫(x,y)s 存在,且 f(r,y)ds=f((t),y(r))vr2(t)+y2(t)dt 又因f在L上连续,L为光滑曲线,所以 fx(t),y()与√x2(t)+y2(t)在[a,B]上连续,由积分中 529
第二十章曲线积分 值定理知:彐to∈[a,β]使 a(t),y()√x2()+y2(2)d =几x(o,t)]1z()+y2(d f[x(to),y(to)]·△L 令 (t0),显然(x0,y0)∈L且 f(x,y)ds=f(xo,yo)·△L s2第二型曲线积分 1.计算第二型曲线积分: (1).xy-yx,其中L为本节例2的三种情形 (2)(2a-y)dx+b,其中L为螺线x=a(t-sm1,y=a(1 cot)(0≤t≤2)沿t增加方向的一段; (3y 二+yy,其中L为圆周x2+y2=a2,依逆时针方向 L (4),ydxz+ sindy,其中L为y=snx(0≤x≤)与x轴所围 的闭曲线,依顺时针方向; (5)xdx+yxy+xd,其中L为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段 解(1)若积分沿抛物线OB:y=2x2,且dy=4xd 2 若积分沿直线OB:y=2x,且dy=2dx则 rdy odx=(2x-2x)dx=0 若积分沿折线OAB,OA:y=00≤x≤1,AB:x=1,0≤y≤2
型曲线积分 (2)因dx=a(1-coet)d,dy= asind,从而 [(2a-a+ acost ).a(1-cost) (asin?t+aint)dt ex1- cobv dt acost 13r (3)由圆的参数方程 x=ast,y= asin,(0≤t≤2)则 rdz ydy a-sint cost+ a cos sin2tdt =0 (sinr +sinzoosx)dt+(0+sinr. 0)dx sindy (5)直线的参数方程是 x=1+t,y=1+t,z=1+3t(0≤t≤1) dx+xy+xdkz=[(1+t)+2(1+2t)+3(1+3t)ld 2.质点受力的作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的 距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b),求力所作的功:
第二十章曲线积分 解椭圆的参数方程为: x=acs0,y=bsin0(0≤0≤π12) F=k√x2+y2 )=(-kx,-ky),(k>0) 则W=Pdx+Qdy k(rdx ydy kl[acost(aint)+b2sint cost ]dt (a2-b2)sintdsint =e( 3.设质点受力的作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy平面 的距离成反比,若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(c≠0),从M(a, b,c)到N(2a,2b,2c),求力所作的功 解F=k,因为力的方向指向原点,故其方向余弦为: r , cosp==y COSa = ,0sr=一之 其中r=√x2+y2+z2 力的三个分力为P=-k,Q=-kyB。k三 kyd,uk k(a+ b k +b2+ 62+c2In +64+cIn2 4.证明曲线积分的估计公式 Pdx+Qdyl≤LM 532
82第二型曲线积分 其中L为AB的弧长,M为: P2 利用上述不等式估计积分 y t y 并证明 lim IR=0 dr 证(1)ax+Qdy=(pb+Qg)ds且 lp+。1≤√(p2+Q2)(4)2+()2] 从而 i pdr Qdy Is I p e+Qe i ds p2+Q2ds≤.Mds=LM (2)因max x2+y2 +ay t 由(1)知 2+y2=R2(x2+my+1)1≤2n.4 ydr- xdy 由于|IR≤2→0(R→+∞)故 lim IR =0 5.计算沿空间曲线的第二型曲线积分: (1),oad,其中L为x2+y2+x2=1与y=z相交的圆,其方 向按曲线依次经过1,2,7,8卦限; (2)(2-2)dx+(2-x2)by+(x2-y)ld,其中L为球面 x2+y2+x2=1在第一卦限部分的边界线,其方向按曲线依次经过xy 平面部分,yz平面部分和xx平面部分 533
第二十章曲线积分 解(1)曲线的参数方程为x=∞s0,y=2sin0,z=2snO(0 ≤0≤2x),当θ从0增加到2π时,点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦 限,于是 sin. JC (2)设I=(y2-z2)dx+(x2-x2)d (x2-y2)dz 其中 r cos0 L1:y=sm0(0c≤6≤2) 0 0 图20-1 L2:1y=cg9(≤g≤) 2- sInp 3:1y (0≤ψ≤) 2 - Cosp (y2-x2)dx+(x2-x2)dy+(x2-y2)d =-[2(sinl+a2)=-4 同理 (sin+ cos p)dp
总练习题 所以1=-4_4 总练习题 1.计算下列曲线积分 (1),ys,其中L是由y2=x和x+y=2所围的闭曲线; (2),y1d,其中L为双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2); (3)zd,其中L为圆锥曲线x= toost,y= tsint,z=t,t∈[0,to]; (4J3小y-2ykx,L是以a为半径,圆心在原点的右半圆周从 最上面的一点A到最下面一点B; (5)「以二d,L是抛物线y=x2-1从A0,-4)到B(2,0)的 L正-y 段; (6),ydx+x2ay+x2d,L是维维安尼曲线x2+y2+x2=a2, x2+y2=ax(z≥0,a>0),若从x轴正向看 去,L是逆时针方向进行的 解(1)闭曲线L如图所示,其中AOB一段 为x=y2,y∈[-2,1,d=√1+4y2d,AB直 段为x=2-y,y∈[-2,1],d=√2dy,所以 √1+4y2dy+ 图202 (1+4y2)2
