第一章实数集与函数 §1实数 1.设a为有理数,x为无理数,证明 (1)a+x是无理数 (2)当a≠0时,ax是无理数 证:(1)假设a+x是有理数,则(a+x)-a=x是有理数 这与题设x是无理数相矛盾,故a+x是无理数 (2)假设ax是有理数,则=x为有理数,这与题设x是无理数 相矛盾,故ax是无理数 2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0; (2)x-1|1后一个不等 式组的解是-1
第一章实数集与函数 从而不等式两端平方,有 x-1+2x-1-2√(x-1)(2x-1)≥3x-2, 因之有2√(x-1)(2x-1)≤0,所以√(x-1)(7x-1)=0 由此解得x=1或x=,但x=1或 均不符合原不等式 所以原不等式无解 3.设a,b∈R,证明:若对任何正数e有1a-b|b(或a
§1实数 即(a2+x)2≤(a2+b2)(a2+2),所以a2+≤√(a2+b2)(a2+ 2a2-2√(a2+b2)(a2+c2)≤-2bc,两端再同加b2+c2,则有 +b2-√a2+c2|≤|b-c1 其几何意义为:当b≠c时,以(a,b),(a,c),(0,0)三点为顶点的 三角形,其两边之差小于第三边 当b=c时,此三角形变为以(a,c),(0,0)为端点的线段,此时等 号成立 7设x>0,b>0,a≠b,证明介于1与之间 解因为1-4+x=ba,g+x-=(b-a 且x>0,b>0,所以当a>b时,16 a-b>2x-2b
第一章实数集与函数 b时,不等式的解为x>ab 当ab 且 a>6 x>b 故当a>b时,x>+b;当a≤b时无解 (3)由原不等式有a-bx>-√a+b 当a0(a,b,c为常数,且a
2数集与确界原理 前一个不等式组的解为x≤,后一个不等式组无解,所以原不 等式的解为x∈(-∞,1] (2)由1x+1|≤6有 当x>0时-6x≤x2+1≤6x,它的解为x∈[3-22,3+22]; 当xc时,由a0, 所以ac都是原不等式的解 原不等式的解是:x∈(a,b)U(c,+∞) (4)当z∈(4,]时≥2由正弦函数的周期性知≥ 的解是x∈[2k+王2x+x共中k为整数 2.设S为非空数集.试对下列概念给出定义 (1)S无上界; (2)S无界 解(1)设S是一非空数集,若对任意的M>0,总存在x0∈S, 使x0>M,则称数集S没有上界 (2)设S是一非空数集,若对任意的M>0,总存在x0∈S,使 xo1>M,则称数集S无界 3.试证由(3)式所确定的数集S有上界而无下界 证:S={ 2-x2,x∈R} 对任意的x∈R,y=2-x2≤2,所以数集S有上界2而对任意的 M>0,取x1=√3+M,则y1=2-x=2-3-M=-1-M∈S, 但y1
第一章实数集与函数 (1)S={x1x2-√2,即2 √2分别是S的上、下界.又对任意的c>0,不妨设e>22,于是存 在x0=2-2,x1=2+2,使x,x1∈S,但xo> 0,存在x1=1!=1∈S,使x10,取 01-e,所以 supS=1;由n的取法知n是无理数,∈S,n0必存在 自然数k,使x=1-1∈s,且a=1-1>1-e,所以sps=1, 又x=1 1 2=2∈S,x=1-2=20,存在日∈S;
§2数集与确界原理 必要性:设nfS=∈S,则对一切的x∈S,x≥且s∈S 所以E=minS 6.设S为非空数集,定义S={x1-x∈S},证明: 证:(1)设=infS,由下确界的定义知,对任意的x∈s,有 x≥5,且对任意的e>0,存在x0∈S,使x0--e,由上确界定义知supS=-6,即 nfS=-supS,同理可证(2)式成立 7.设A,B皆为非空有界数集,定义数集 A+B={z1z=x+y,x∈A,y∈B} iEB: (1sup(A+ B)= spA + supB (2)if(A+ B)= infA+ infB 证:(1)设supA 对任意的z∈A+B,存在 x∈A,y∈B,使z=x+y,于是x≤n,y≤n.从而Z≤m+m, 对任意的e>0,必存在x0∈A,y∈B,且x0>m y>m-万 则存在x0=x0+y∈A+B,使0>(m+n)-e 所以sup(A+B)=n+m=supA+spB (2)同理可证 8.设a>0,a≠1,x为有理数,证明 pa|r为有理数,r1的情况,a1,a严格递增,故对 任意的有理数r0,不妨设ε
第一章实数集与函数 取有理数r0,使得kg2(a2-e)1 lx|=1 解利用描点作图法,各函数图像如图1-3至图1-7 Y X X 图1-5 o25 图1-6
§3函数概念 2.试比较函数y=a2与y= logz分别当a=2和 时的 图像 解当a=2时,y=a2是单调递增函数,当a=3时,它是单 调递减函数;xz>0时,)x2,对任意的x∈R,(1)x与2的 值都大于0,即函数的图像都在x轴的上方 y=bgax是y=a2的反函数当a=2时,是单调递增函数,当 号时是单调递函数当0kx;x=1时 kgx=kgx=0,即函数都过点(1,0),当x>1时,gx
第一章实数集与函数 4. 0≤x≤ 0等价于x>1,所以y=lg(gx)的存在域是 ∈(1,+∞) (3)因为y= arcsin的存在域是x∈[-1,1],而-1≤g≤1 等价于1≤x≤100,所以y= arcsin(g)的存在域是x∈[1,100 (4)因为y=lgx的存在域是x>0,而y= arcsin. T的值域为 2≤y≤2,由00 求:(1)f(-3),f(0),f(1) (2)f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0)(△x>0 解(1)f(-3)=2+(-3)=-1