精品课程《数学分析》课外训练方案 第十二章数项级数 基本概念 1、数项级数及其收敛与发散概念 给定数列{n},即u1,L2,3…un (1) 将(1)的项依次用加号连接起来,即1+l2+l2+…+ln+ (2) 简写为∑un称为数项级数,简称级数。l4,l2…,un…称为级数(2)的项,un称为 (2)的第n项与通项 有限和是我们熟知的,但无限和对我们是陌生的。怎样来计算无限和呢?无限和叫做 什么?因此,无限多个数的和是一个未知的新概念,它是有限和的推广。 数项级数的定义考察前n项部分和Sn=1+2+…+un或Sn=∑u4。于是,级数(2) 对应着一个部分和数列,即 S1=l1,S2=l41+l2,S3=b1+2+l2…,Sn=l1+l2+…+ln… 定义如果级数(2)的部分和数列{Sn}收敛,即 lim s=S,称级数(2)收敛,并称S是 级数(2)的和。记为S=∑un=1+2+n3+…+n+…如果部分和数列{S}发散,称 级数(2)发散,此时级数(2)没有和 这样,级数的收敛与发散转化为它的部分和数列的收敛与发散。于是,级数的各种性质转化为 它的部分和数列的各种性质来讨论 实质:级数及其和正是数列及其极限的一种新的形式。 2、收敛级数的性质 定理1(柯西收敛准则)级数∑Un收敛的充要条件是:VE>0,N当n>N时,对任意P,有 l4+…+l E 数列S}存在极限,是指对VE>0,3N,当n>N时,对任给的自然数p,|Sn-Sm<E 推论1:若级数∑n收敛,则lmn=0
精品课程《数学分析》课外训练方案 第十二章 数项级数 一、基本概念 1、数项级数及其收敛与发散概念 给定数列{un }，即u1,u2 ,u3, Lun ,L （1） 将（1）的项依次用加号连接起来，即u1 + u2 + u3 +L+ un +L （2） 简写为 ∑ 称为数项级数，简称级数。 称为级数（2）的项， 称为 ∞ n=1 un u1 ,u2 ,L,un ,L un （2）的第n 项与通项。 有限和是我们熟知的，但无限和对我们是陌生的。怎样来计算无限和呢？无限和叫做 什么？因此，无限多个数的和是一个未知的新概念，它是有限和的推广。 数项级数的定义 考察前 n 项部分和 Sn = u1 + u2 +L+ un 或 ∑ 。于是，级数（2） = = n k Sn uk 1 对应着一个部分和数列，即 S1 = u1, S2 =u1+u2 , S3 = u1 + u2 + u3 ,LL, Sn = u1 + u2 +L+unLLL 定义 如果级数（2）的部分和数列{Sn }收敛，即 S S n n = →∞ lim ，称级数（2）收敛，并称 S 是 级数（2）的和。记为 =∑ = + + +L+ +L；如果部分和数列 发散，称 ∞ = n n S un u u u u 1 1 2 3 { } Sn 级数（2）发散，此时级数（2）没有和。 这样，级数的收敛与发散转化为它的部分和数列的收敛与发散。于是，级数的各种性质转化为 它的部分和数列的各种性质来讨论。 实质：级数及其和正是数列及其极限的一种新的形式。 2、收敛级数的性质 定理 1（柯西收敛准则） 级数∑un 收敛的充要条件是：∀ε > 0,∃N 当n > N 时，对任意 p ，有 + + + 0,∃N ，当 n > N 时，对任给的自然数 p ， − < ε n n+ p S S 。 推论 1：若级数∑ 收敛，则 ∞ n=1 un lim = 0 →∞ n n u 1
精品课程《数学分析》课外训练方案 其等价命题是:如果 lim u=0,则级数>un发散 注意:limn=0仅是级数∑n收敛的必要条件,而不是充分条件,即imun=0 ln也可以发散 例1+++…++…,有mnun=mn=0,而调和级数∑却是发散的 从柯西收敛准则知,级数∑un收敛等价于级数∑un的充分远(即n>N)的任意片段( 对任意pun1+un2+…+ln)的绝对值可以任意小,由些可见,级数∑ln的敛散性仅与级 数充分远的任意片段有关,与级数>un任意指定的有限和无关,从而我们有 推论2:若去掉,增添或改变级数∑un的有限项,则不改变级数∑Un的敛散性 定理2若级数∑un收敛,其和是S,则级数∑cn=C1+Cm2+…+cn+…也收敛, 其和是cS,其中c是常数。 定理3若级数∑un与∑v收敛,其和分别是A和B,则级数 ∑(un±vn)=(4±n)+(u2±n2)+…+(un±vn)+…也收敛。其和是A±B 3、正项级数 正项级数是指级数a1+l2+…+ln+…的每一项ln的符号是非负或非正。如果 n≥0=12,…),称级数∑un是正项级数 4、绝对收敛的性质
精品课程《数学分析》课外训练方案 其等价命题是：如果 lim = 0 ，则级数∑ 发散。 →∞ n n u ∞ n=1 un 注意： lim = 0 仅是级数∑ 收敛的必要条件，而不是充分条件，即 ， →∞ n n u ∞ n=1 un lim = 0 →∞ n n u ∑ ∞ n=1 un 也可以发散。 例 + + +L+ +L n 1 3 1 2 1 1 ，有 0 1 lim = lim = →∞ →∞ n u n n n ，而调和级数∑ n 1 却是发散的。 从柯西收敛准则知，级数∑ 收敛等价于级数 的充分远（即 ）的任意片段（ ∞ n=1 un ∑ ∞ n=1 un n > N 对任意 p,un+1 + un+2 +L+ un+ p ）的绝对值可以任意小，由些可见，级数∑ 的敛散性仅与级 ∞ n=1 un 数充分远的任意片段有关，与级数∑ 任意指定的有限和无关，从而我们有 ∞ n=1 un 推论 2：若去掉，增添或改变级数∑ 的有限项，则不改变级数 的敛散性。 ∞ n=1 un ∑ ∞ n=1 un 定理 2 若级数∑ 收敛，其和是 ，则级数 也收敛， ∞ n=1 un S ∑ = + +L+ +L ∞ = n n n cu cu1 cu2 cu 1 其和是cS ，其中c 是常数。 定理 3 若级数∑ 与 收敛，其和分别是 ∞ n=1 un ∑ ∞ n=1 n v A 和 B ，则级数 ∑( ) ± = ( ± )+ ( ± )+L+ ( ± ) +L ∞ = n n n n n u v u v u v u v 1 1 2 2 1 也收敛。其和是 A ± B 。 3、正项级数 正项级数是指级数 u1 + u2 +L+ un +L的每一项un 的符号是非负或非正。如果 un ≥ 0( ) n = 1,2,L ，称级数∑ 是正项级数。 ∞ n=1 un 4、绝对收敛的性质 2
精品课程《数学分析》课外训练方案 定理4若级数∑an收敛其和是S,则按顺序结合在一起,构成的新级数 +u+ +u)+(u,41+u,,+. 也收敛,其和是S。 定理5∑a与∑bn绝对收敛,其和分别是a与b,则它们的乘积也收敛,为ab。 、基本方法 1、用柯西准则判断级数的敛散性; 2、用比式判别法、根式判别法和积分判别法判断正项级数的敛散性 交错级数的莱布尼兹判别法: 4、用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法判断一般项级数的敛散性 三、基本要求 1、掌握级数的基本概念和敛散的意义 2、会判断各类级数的敛散性:主要是5种判别法针对不同级数的运用。 四、典型例题 例1、以等比数列为通项的几何级数∑ar"=a+a+ar2+…+ar"+…的敛散性。 其中a≠0,r是公比 解1)当川≠1时,几何级数的部分和Sn是 =a+artar+...+ar 1)当1时,极限1mnS=加m1=1r 因此,当1时,极限lmS,=1n=0:因此,当>1时,几何级数发散 2)当r=1时
精品课程《数学分析》课外训练方案 定理 4 若级数∑ 收敛,其和是 S，则按顺序结合在一起，构成的新级数 ∞ n=1 an (u1 + u2 +……+ un ) + (un+1 + un+2 +……+ u2n ) + (u2n+ + u2n+2 +……+ u3n ) +…… 也收敛，其和是 S。 定理 5 ∑ 与 绝对收敛，其和分别是 与b ，则它们的乘积也收敛，为 ab。 ∞ n=1 an ∑ ∞ n=1 bn a 二、基本方法 1、用柯西准则判断级数的敛散性； 2、用比式判别法、根式判别法和积分判别法判断正项级数的敛散性； 3、交错级数的莱布尼兹判别法； 4、用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法判断一般项级数的敛散性。 三、基本要求 1、掌握级数的基本概念和敛散的意义。 2、会判断各类级数的敛散性；主要是 5 种判别法针对不同级数的运用。 四、典型例题 例 1、 以等比数列为通项的几何级数 的敛散性。 其中 是公比。 ∑ = + + +L+ +L ∞ = n n n ar a ar ar ar 2 1 a ≠ 0,r 解 1）当 r ≠ 1时，几何级数的部分和 Sn 是 r a ar S a ar ar ar n n n − − = + + + + = − 1 2 L 1 i）当 r 1时，极限 = ∞ − − = →∞ r a ar S n n n 1 lim ； 因此，当 r > 1时，几何级数发散。 2）当 r = 1时 3
精品课程《数学分析》课外训练方案 (1)r=1时,几何级数是a+a+a+…+a+ S.=a+a+a+…+a=na lim s =lim na n→① 即部分和数列{Sn}发散 (2)当r=-1时,几何级数是a-a+a-a+…+(-1)-a+…,Sn=0,当n是偶数 Sn=a,当n是奇数。即部分和数列{Sn}发散。由此,(1)当<1时,几何级数收敛 (2)当≥1时,几何级数发散。 例2∑1 (n+1) 解 ∵、× n·(n+ n n+ n 于是imSn=lim1 例3证明级数+ +…收敛,并求其和 1.66·1111·16 (5n-4)(5n+1) 证通项ln可改写为 5n-4)(5n+1)5L5n-45m+1 (5n-4)(5n+1) 5(5n+1
精品课程《数学分析》课外训练方案 （1） r = 1时，几何级数是 a + a + a +L+ a +L Sn = a + a + a +L+ a = na lim = lim = ∞ ( ≠ 0) →∞ →∞ S na a n n n 即部分和数列{Sn }发散。 (2) 当 r=－1 时，几何级数是 − + − +L+ (− ) +L − a a a a a n 1 1 ， Sn = 0 ，当n 是偶数； Sn = a ，当 n 是奇数。即部分和数列{Sn }发散。由此，（1）当 r < 1时，几何级数收敛。 （2）当 r ≥ 1时，几何级数发散。 例 2 ( ) ( ) ∑ ∞ = + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 1 − 1 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 1 1 n n n n n L L 解 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 + = − + − + − − = − + − + − + + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = n n n n n n n Sn L L 于是 1 1 1 lim lim 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − →∞ →∞ n S n n n 。 例 3 证明级数 ( ) ( ) L +L − ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ 5 4 5 1 1 11 16 1 6 11 1 1 6 1 n n 收敛，并求其和。 证 通项un 可改写为 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ⋅ + + + ⋅ + ⋅ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = − ⋅ + = 5 1 1 1 5 1 5 1 1 5 4 1 16 1 11 1 11 1 6 1 6 1 1 5 1 5 4 5 1 1 6 11 1 1 6 1 5 1 1 5 4 1 5 1 5 4 5 1 1 n n n n n S n n n n u n n L L 4
精品课程《数学分析》课外训练方案 于是imSn=lim 例4证明:调和级数1+++…+-+…是发散的。 证由于n都是正数,所以部分和数列{Sn}是严格增加的,讨论子数列{S2} S2,S4,S8,…,S l1111111 3+44+4=25+6+7+88+8+8+8=2 … 12m-+2 limS≥liml+ 即limS2=,Vn≥2,3唯一的自然数m使2m≤n0)(4)∑ 2.别法或根式判别法判定下列级数的收敛性。 (1)∑ 2+(-1) 3.用拉贝判别法判定下列级数的敛散性
精品课程《数学分析》课外训练方案 于是 5 1 5 1 1 1 5 1 lim lim ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − →∞ →∞ n S n n n 。 例 4 证明：调和级数 + + +L+ +L n 1 3 1 2 1 1 是发散的。 证 由于un 都是正数，所以部分和数列{Sn }是严格增加的，讨论子数列{S m } 2 ： ⎟ = ∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ + + + > ⋅ = + + + + > + = + + + > + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + ⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + →∞ →∞ − − − − − − m S S S S S S m m m m m m m m m m m m m m 2 lim lim 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 , 2 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 7 1 6 1 5 1 , 2 1 4 1 4 1 4 1 3 1 , 2 1 2 2 1 2 1 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 , , , , , 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 4 8 2 2 1 L 14 2 4444 4 3 4444 L L 14243 14 24 4 34 L L 即 = ∞ ， 唯一的自然数 使 ，且有 →∞ S m m 2 lim ∀n ≥ 2,∃ m m m 2 n 2 1 ≤ (4) 1 n n n ∑ 2．别法或根式判别法判定下列级数的收敛性。 (1) 1 2 ( 1) 2 n n n ∞ = + − ∑ (2) 2 1 cos 3 2n n n n π ∞ = ∑ (3) ( ) 3 1 2 1 3 n n n n ∞ n = ⎡ ⎤ + − ⎣ ∑ ⎦ (4) 1 ! n n n n ∞ = ∑ 3． 用拉贝判别法判定下列级数的敛散性。 (1) ( )( ) ( ) ! 2 1 2 2 2 n + + + n ∑ L 5
精品课程《数学分析》课外训练方案 1·3.5 2 2.4 2.4.6 4.证明下列极限。 (1)lim 5.设∑,∑v为正项级数,且存在N>0时,一切n>N0,有世≤一m世,证明 若级数∑v收敛,则级数∑un也收敛:若∑un发散,则∑,也发散 6.设正项级数∑un收敛,证明级数∑v2也收敛,试问反之是否成立? 7.设an≥0,且数列{nan}有界,证明级数∑a收敛。 8.设{an}为递减正项数列,证明:级数∑an与∑2"anm同时收敛或同时发散 9.设an>0,证明数列{(1+a)1+a)(1+a)与级数∑a同时收敛或同时发 0,b>0,cn=b。-bn+1,证明 (1)若存在某自然数N及常数k,当n>N0时有cn≥k>0则级数∑an发散 2)若n>N时有cn≤0,且m1 +∞,则级数∑a发散。 b 11.下列级数那些是绝对收敛,条件收敛或发散的 ∑(-1) 00 ∑ 12.应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性。 In (2∑
精品课程《数学分析》课外训练方案 (2) 1 1 3 1 3 5 2 2 4 2 4 6 p p p ⎛ ⎞ ⎛ ⋅ ⋅ ⎞ ⎛ ⋅ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⋅ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ ⎠ L 4． 证明下列极限。 (1) ( )2 lim 0 ! n n n n →∞ = (2) ( ) ! 2 ! lim ( 1) n n n a →∞ a > 5． 设 ∑un ,∑vn 为正项级数，且存在 N0 > 0时，一切n > N0 ，有 1 , n n n n u v u v + + ≤ 1 证明： 若级数∑vn 收敛，则级数∑un 也收敛；若∑un 发散，则 n ∑v 也发散。 6． 设正项级数∑un 收敛，证明级数 2 1 n n u ∞ = ∑ 也收敛，试问反之是否成立？ 7． 设 an ≥ 0，且数列{nan} 有界，证明级数 2 ∑an 收敛。 8． 设{an} 为递减正项数列，证明：级数 1 n n a ∞ = ∑ 与 2 2 m ∑ a m 同时收敛或同时发散。 9． 设 an > 0, 证明数列{( ) 1 1 + + a a 1 2 ( )L(1+ an )} 与级数 ∑an 同时收敛或同时发 散。 10．设 0, an > 1 1 0, n n n n n a b c b b a n+ + > = − ，证明： (1) 若存在某自然数 N0 及常数 k ，当 n > N0 时有c k n ≥ > 0 则级数 发散。 1 n n a ∞ = ∑ (2) 若 n > N0 时有cn ≤ 0，且 1 1 lim , n n k bk →∞ = ∑ = +∞ ，则级数 1 n n a ∞ = ∑ 发散。 11．下列级数那些是绝对收敛，条件收敛或发散的： (1) 1 2 100 ( 1) 3 1 n n n n ∞ = ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎝ ⎠ + ∑ ⎟ (2) ( )1 1 n n p n + − ∑ (3) 1 ( 1) n n n ∑ − (4) 1 ( 1) 1 n n n n ∞ = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∑ 12．应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性。 (1) 100 1 ln sin n 4 n n n π ∞ = ∑ (2) ( ) ( 1) 0 1 n n n x x n x − > + ∑ 6
精品课程《数学分析》课外训练方案 3.证明级数∑与b a+b 绝对收敛,且它的乘积等于 n! 14.证明 条件收敛 n=l n 15.证明下列级数收敛性,并求它们的和 357 (1)1- 2 (2)1+--+ 2481632 11111 23456 l6.重排级数S(-1)”使它发散
精品课程《数学分析》课外训练方案 13．证明级数 1 ! n n a n ∞ = ∑ 与 0 ! n n b n ∞ = ∑ 绝对收敛，且它的乘积等于 ( ) 0 ! n n a b n ∞ = + ∑ 。 14．证明 1 ( 1) n n n ⎡ ⎤ ∞ ⎣ ⎦ = − ∑ 条件收敛。 15．证明下列级数收敛性，并求它们的和。 (1) 3 5 7 1 2 4 8 − + − +L (2) 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 + − + − + +L (3) 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 − + − + − +L 16．重排级数 1 1 ( 1) n n n ∞ + = − ∑ 使它发散。 7