临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第十章定积分的应用 基本概念 1.对于曲线C的无论怎样的分割T,如果存在有限极限 lim S=s,则称曲线C是可 求长的,并把s定义为曲线C的长度 基本定理 设L:x=x()y=y(0)a≤1≤B,又4x()y)B(z(y),x()和y)在 区间[a,上连续可导且x2()+y()≠0.则L上以A和B为端点的弧段的孤长为 s=」√z(+b( 三、基本要求 1.理解微元法的思想,并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题 化成定积分; 2.熟练地应用本章给出的公式,计算平面区域的面积、平面曲线的弧长,用截面面积 计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等 四、典型例题 例1.求由双纽线r2=a2cos20所围平面图形的面积 解,0200引叫 可见图形夹在过极点,倾角为 ±z的两条直线之间).以-0代O方程不变 图形关于X轴对称;以丌-代,方程不变, 图形关于Y轴对称.参阅P242图10-6
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第十章 定积分的应用 一、基本概念 1. 对于曲线C 的无论怎样的分割T ，如果存在有限极限 S s T T = →0 lim ，则称曲线 是可 求长的，并把 C s 定义为曲线C 的长度。 二、基本定理 1. 设 L : x = χ(t) ( , y = y t),α ≤ t ≤ β ，又 A(χ(t), y(t)),B(χ(t), y(t))， χ(t)和 在 区间[ y(t) α,β ]上连续可导且 ( ) ( ) 0 . 则 2' 2' χ t + y t ≠ L 上以 A 和 B 为端点的弧段的弧长为 s [ ] ( )t [y ( )t ] dt ∫ = + β α χ 2 ' 2 ' . 三、基本要求 1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题 化成定积分； 2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积 计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。 四、典型例题 例 1. 求由双纽线 cos 2θ 所围平面图形的面积 . 2 2 r = a 解： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ ⇒ ∈ − 4 , 4 cos 2 0, π π θ θ 或 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 4 5 , 4 3π π . ( 可见图形夹在过极点, 倾角为 4 π ± 的两条直线之间 ) . 以 −θ 代θ 方程不变, ⇒ 图形关于 X 轴对称 ; 以π −θ 代θ , 方程不变, ⇒ 图形关于Y 轴对称 . 参阅 P242 图 10-6 - 1 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 因此 A=4.a 200=a 例2求星形线vx2+y2=Va2的全长 解:星形线的参数方程为 x=acos t 0≤t≤2丌 dx=-3acos2tsin tdt, dy= 3a costsin2tdr ds=avcostsin2t+cos'tsin t dt =3a sint cost dt 弧长s=453sm(cobh=6msm21=6 例3(关于变上积分):设∫(x)在(a≤x≤b)内连续,且f(x)>0。证明函数 tf(t dr 在(0,+∞)内单调增。 f(d 证明:F(x)= xf()f(dt-f()rldr (x)(x-0)/(M f(dt 故F(x)在+∞)为单调增。 例4求lim 解:这是一个型未定式。[ed可看成以u=cosx为中间变量的复合函数。从而 由洛必塔法则有, x→0 x→0 例5若(对)在p]上连续,证明!finx=/osxy
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 因此 ∫ = ⋅ = 4 0 2 2 cos 2 2 1 4 π A a θdθ a . y x 例 2 求星形线3 2 3 2 3 2 x + y = a 的全长 解：星形线的参数方程为 , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y a t x a t 3 3 sin cos 0 ≤ t ≤ 2π , dx 3a cos tsin tdt 2 = − , dy = 3acostsin2 tdt ， ds a t t t t 4 2 2 4 = 3 cos sin + cos sin dt = 3a | sint cost | dt . 弧长 s 4 2 3asint costdt 6a 0 = = ∫ π sin t 6a 2 0 2 = π 。 例 3 (关于变上积分)：设 f (x) 在(a ≤ x ≤ b)内连续，且 f (x) > 0。证明函数 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = x x f t dt tf t dt F x 0 0 在(0,+∞)内单调增。 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ' 0 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ ∫ x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ x x f t dt f x x t f t dt 故 F(x)在(0,+∞)为单调增。 例 4 求 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x ∫ − → 解：这是一个 0 0 型未定式。 ∫ 可看成以 − 1 cos 2 x t e dt u = cos x 为中间变量的复合函数。从而 e dt ( ) x e ( x du d e dt dx d x u t x t cos sin 2 2 2 ' cos 1 1 cos ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − ∫ ∫ )。 由洛必塔法则有， x e xe x e dt dx d x e dt x x x t x x t x 2 1 2 sin lim 2 lim lim 2 2 2 cos 0 cos 1 0 2 1 cos 0 = = − = − → − → − → ∫ ∫ 。 例 5 若 f (x) 在[0,1]上连续，证明 ( ) ( ) ∫ ∫ = 2 0 2 0 sin cos π π f x dx f x dx - 2 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 证明:设x=-t则dx=-dt,且 当x=0时,t=x;x=时,t=0.于是 /m=(叫一)上(mMm如 注意:此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。 例6证明广义积分x.a>0当a1时,[也发散 例7计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积 解:联立两曲线的方程可求得交点为(2,-2)和(8,4).根据区域的形状,选取y 为积分变量,则所求面积是两个曲边梯形之差,即 S=[(y+4)-y2jd=18 例8一圆柱形的贮水桶高为5米,底圆半径为3米,桶内盛满了水。问要把桶内的水 全部吸出需作多少功? 解:作x轴使其正向朝下,取深度x为积分变量,它的变化区间为[0,5],相应于[ 5]上任一小区间[xx+x]的一薄层水的高度为d水的比重为9800/米2,这薄层水 的重力为98003a这薄层水吸出桶外需作之功为dhp=(800×32mh)x.故所求功 W=[dh=88200m|63462000焦 五、复习题
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 证明：设 x = − t 2 π 则 dx = −dt , 且 当 x = 0 时， 2 ; 2 π π t = x = 时，t = 0 . 于是 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 2 0 2 0 0 2 2 0 cos cos 2 sin sin π π π π π f x dx f t dt f t dt f x dx 注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。 例 6 证明广义积分 dx x ∫ a 1 0 1 ， a > 0 当 a 1时， dx x ∫ a 1 0 1 也发散。 例 7 计算抛物线 y 2x 与直线 2 = y = x − 4 所围成的图形的面积。 解：联立两曲线的方程可求得交点为 ( 2, -2 ) 和 (8, 4 ) .根据区域的形状，选取 y 为积分变量,则所求面积是两个曲边梯形之差，即 ∫− = + − = 4 2 2 ] 18. 2 1 S [( y 4) y dy 例 8 一圆柱形的贮水桶高为 5 米，底圆半径为 3 米，桶内盛满了水。问要把桶内的水 全部吸出需作多少功？ 解：作 轴使其正向朝下，取深度 为积分变量，它的变化区间为 [ 0, 5 ] ,相应于 [ 0, 5 ] 上任一小区间 x x [x, x + dx]的一薄层水的高度为 dx .水的比重为 9800 牛/米 3 ，这薄层水 的重力为9800 × 32 πdx ,这薄层水吸出桶外需作之功为 dw ( πdx)x 2 = 9800×3 . 故所求功 为 3462000 2 88200 5 0 2 5 0 = = ≈ ∫ x W dw π 焦。 五、复习题 - 3 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 1.已知下列函数在指定区间上可积,用定义求下列积分: (2)「k(k是常数) (4)a'dx(a≠1,a>0) 2.设f(x)在[a+c,b+C]可积,证明∫(x+c)在[a,b]上可积,且 J1,x=C, cE(a, b). lo,xe[a, c)u(c, b] 求证(x)tx x=0 4.若函数∫(x)在[a,b上可积,其积分是I,今在[a,6内有限个点上改变∫(x)的值 使它成为另一函数∫(x),证明∫(x)也在[a,b]上可积,并且积分仍为 5.设∫(x)在[a,b连续,∫(x)≥0,f(x)不恒为零,证明 f(x)dx>0 6.设(x)在[a连续,∫(x女=0,证明(x)在[a上恒为零 7.举例说明f2(x)在[a,b]可积,但f(x)在[a,b]不可积 8比较下列各对定积分的大小: dx,3dx 9.证明下列不等式(设所给的积分存在) (1)1≤|edx≤e
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 1. 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) (0 ) b a xdx ∫0 ) 2．设 f x( ) 在[ , a c + b + c]可积，证明 f x( ) + c 在[ , a b]上可积，且 ( ) ( ) b b c a a c f x c dx f x dx + + + = ∫ ∫ . 3．设 1, , ( , ), ( ) 0, [ , ) ( , ], x c c a b f x x a c c b ⎧ = ∈ = ⎨ ⎩ ∈ ∪ 求证 ( ) 0 . b a f x dx = ∫ 4．若函数 f x( ) 在[ , a b]上可积，其积分是 I ，今在[ , a b]内有限个点上改变 的值 使它成为另一函数 f x( ) * f (x) ，证明 * f (x) 也在[ , a b]上可积，并且积分仍为 I . 5. 设 f x( ) 在[ , a b]连续， f x( ) ≥ 0， f x( ) 不恒为零，证明 ( ) 0 b a f x dx > ∫ . 6. 设 f x( ) 在[ , a b]连续， 2 ( ) 0 b a f x dx = ∫ ，证明 f x( ) 在[ , a b]上恒为零. 7. 举例说明 2 f (x) 在[ , a b]可积，但 f x( ) 在[ , a b]不可积. 8. 比较下列各对定积分的大小： (1) 1 1 2 0 0 xdx x dx ∫ ∫， ； (2) 2 2 0 0 xdx sin xdx π π ∫ ∫， ； (3) 1 1 2 0 1 3 3 x x dx dx − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫， . 9. 证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) ； 1 2 0 1 x ≤ ≤ e dx e ∫ - 4 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 1< d x< (3)-≤ dx=0: 2J01+x 1l.设∫(x),g(x)在[a,b]连续,证明 m∑(5)g()Ax=/(x(xk 其中a=x<x1<…<xn=b,Ax1=x1-x1,5,O1∈[x-1,x](=1,2,…,n) n=max(Ax, 12.f(x)在[a,b连续,且∫(a)=0,求证 f(r)dr/s(b-a2 2max/(x) 13.设0<δ<1,求证 (1-("dt lim 14.(1)设∫(x)在[a,b上连续,且对[a,b]上任一连续函数g(x)均有 ∫(x)g(x)dx=0,证明∫(x)≡0,x∈[a,b] (2)设∫(x)在[a,b上连续,且对所有那些在[a,b上满足附加条件g(a)=g(b)=0的 连续函数g(x),有[f(x)g(x)x=0证明:在[ab]上同样有f(x)=0
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 (2) 2 0 sin 1 2 x dx x π π ≤ ≤ ∫ ； (3) 2 0 2 1 2 2 1 sin 2 dx x π π π ≤ ≤ − ∫ ； (4) 4 0 ln 3 6 e xdx e x ≤ ≤ ∫ . 10．证明： (1) 1 0 lim 0 1 n n x dx →∞ x = + ∫ ； (2) 2 0 lim sin 0 n n xdx π →∞ = ∫ . 11．设 f x( ), g(x) 在[ , a b]连续，证明 0 1 lim ( ) ( ) ( ) ( ) n b i i i a i f g x f x g x d λ ξ θ → = ∑ ∆ = ∫ x , ), ， 其中 0 1 1 1 , , , [ , ]( 1, 2, n i i i i i i i a x x x b x x x ξ θ x x i n = < <L L < = ∆ = − − − ∈ = { } 1 max i i n λ x ≤ ≤ = ∆ . 12. f '(x) 在[ , a b]连续，且 f a( ) = 0 ，求证： 2 ( ) ( ) max '( ) 2 b a a x b b a f x dx f x ≤ ≤ − ≤ ∫ . 13. 设0 < δ <1，求证 1 2 1 2 0 (1 ) lim 0 (1 ) n n n t dt t dt δ →∞ − = − ∫ ∫ . 14 ． (1) 设 f x( ) 在 [ , a b] 上 连 续 ，且对 [ , a b] 上 任 一 连续函 数 均 有 ，证明 . g x( ) ( ) ( ) 0 b a f x g x dx = ∫ f x( ) ≡ 0, x∈[a, b] (2)设 f x( ) 在[ , a b]上连续，且对所有那些在[ , a b]上满足附加条件 的 连续函数 ，有 g a( ) = = g(b) 0 g x( ) ( ) ( ) 0 b a f x g x dx = ∫ .证明：在[ , a b]上同样有 f x( ) ≡ 0 . - 5 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 15.设∫(x),g(x)在[a,b连续,求证 ≤.∫2(x) g 而且等号成立当且仅当g(x)=Af(x)(或∫(x)=g(x),其中λ为常数 16.设f(x),g(x)在[a,b]连续,求证 ∫0(x)+gh5r(+.g(, 而且等号成立当且仅当g(x)=Af(x)(≥0常数) 17.设∫(x)在[O,+∞)连续且单调递增,求证:函数 F(x)=-f(dr 在(0,+∞)上连续且单调递增。 18.利用分部积分法证明: 设∫"(x)在[a,b]连续,且f(a)=f(b)=0,求证: (1)/(xs1 f"(x(x-a(x-b)dx f"(x) 20.设∫(x)在x>0时连续,对任意a,b>0,积分值 f(xdx 与a无关,求证:f(x)=c(c为常数) 21.设f(x)在任一有限区间上可积分,且 lim/(dt=
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 15．设 f x( ), g(x) 在[ , a b]连续，求证： 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx ≤ f x dx g x dx ∫ ∫ ∫ ， 而且等号成立当且仅当 g x( ) = λ f (x) (或 f x( ) = λg(x) )，其中λ 为常数。 16. 设 f x( ), g(x) 在[ , a b]连续，求证： 2 2 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b a a b a f x g + ≤ x dx f x dx + g x dx ∫ ∫ ∫ ， 而且等号成立当且仅当 g x( ) = λ f (x) (λ ≥ 0 常数). 17. 设 f x( ) 在[0, + ∞) 连续且单调递增，求证：函数 0 1 ( ) ( ) x F x f t dt x = ∫ 在(0, + ∞) 上连续且单调递增。 18. 利用分部积分法证明： 0 0 0 ( )( ) ( ) x x u f u x − = u du f t dtdu ∫ ∫ ∫ 19. 设 f ''(x)在[ , a b]连续，且 f a( ) = f (b) = 0，求证： (1) 1 ( ) ''( )( )( ) 2 b b a a f x dx = f x x − a x − b dx ∫ ∫ ； (2) 3 ( ) ( ) max ''( ) 12 b a a x b b a f x dx f x ≤ ≤ − ≤ ∫ ； 20. 设 f x( ) 在 x > 0 时连续，对任意 a b, > 0 ，积分值 ( ) ab a f x dx ∫ 与 a 无关，求证： ( ) c f x x = （c 为常数）. 21. 设 f x( ) 在任一有限区间上可积分，且 lim ( ) x f x l →∞ = 求证： 0 1 lim ( ) x x f t dt l →∞ x = ∫ - 6 -
