临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第四章函数的连续性 、基本概念 1.函数在一点的连续性: 设函数∫在某U(x)内有定义,若Iimf(x)=∫(x),则称∫在点x连续 函数连续的等价定义 (1)函数∫在点x连续分→lim△y=0 Ax→0 (2)函数∫在点x连续分VE>0,30>0,当x-x0kd时,|f(x)-f(x0)kE 2.函数一致连续的定义: 设∫为定义在区间/上的函数。若对任给的E>0,存在一个δ=6(E)>0,使得对任 何x,x”∈1,只要|x-x"k6,就有f(x)-f(x)kE,则称函数∫在区间上一致连 二、基本定理 1.局部有界性定理:若∫在x连续。则∫在某U/(x)有界。 2.局部保号性定理:若∫在x连续,且∫(x0)>0(orr>0((x)<r<0)。 3.四则运算:若∫和g在x点连续,则∫±g,f·g,(8(x)≠0)也都在点x连续。 4.复合函数连续性定理:若∫在点x连续,记∫(x0)=l,函数g在连续,则复合 函数g°f∫在点x连续。 5.反函数连续性定理:若函数∫在[a,b]上严格单调并连续,则反函数∫在其定义域 [f(a),f(b或[∫(b),f(a)]上连续 6.若∫在闭区间[a,b]上连续,则∫在[{a,b]上有最大值与最小值 7.若∫在[a,b]上连续,则∫在[a,b]上有界
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第四章 函数的连续性 一、基本概念 1. 函数在一点的连续性： 设函数 f 在某U x( 0 ) 内有定义，若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ，则称 f 在点 0 x 连续。 函数连续的等价定义： ⑴ 函数 f 在点 0 x 连续⇔ 0 lim 0 x y ∆ → ∆ = 。 ⑵ 函数 f 在点 0 x 连续⇔ ∀ > ε 0,∃δ > 0 ，当 0 | x x − | 0 ，存在一个δ = δ ε( ) > 0 ，使得对任 何 x′ ′ , x ′∈ I ，只要| x x ′ ′ − ′ | 0(or > r 0( f ( ) x < r < 0)。 3. 四则运算：若 f 和 g 在 0 x 点连续，则 0 , , ( ( ) 0 f f g f g g x g ± ⋅ ≠ )也都在点 0 x 连续。 4. 复合函数连续性定理：若 f 在点 0 x 连续，记 0 ( ) 0 f x = u ，函数 在 连续，则复合 函数 在点 g 0 u g o f 0 x 连续。 5. 反函数连续性定理：若函数 f 在[ , a b]上严格单调并连续，则反函数 1 f − 在其定义域 [ ( f a), f (b)] 或[ ( f b), f (a)] 上连续。 6. 若 f 在闭区间[ , a b]上连续，则 f 在[ , a b]上有最大值与最小值。 7. 若 f 在[ , a b]上连续，则 f 在[ , a b]上有界。 - 1 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 8.设∫在[a,b]上连续,且∫(a)≠∫(b)。若4是介于f(a)和∫(b)之间的任何实数, 则至少存在一点x∈(a,b),使得f(x0)= 9.若∫在[a,b]上连续,且f(a)和∫(b)异号(f(a)f(b)0和。0>0 ,使得(x)≤M,x∈U(xn;) 证明:据∫在x0连续的定义,VE>0,36>0,当x∈U(x0;.引)时满足
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 8. 设 f 在[ , a b]上连续，且 f a( ) ≠ f (b) 。若 µ 是介于 和 之间的任何实数， 则至少存在一点 f a( ) f b( ) 0 x ∈( , a b)，使得 0 f x( ) = µ 。 9. 若 f 在[ , a b] 上连续，且 f a( ) 和 f b( ) 异号（ f a( )⋅ f (b) 0 和δ 0 > 0 ，使得 ( ) ( ) 0 0 f x ≤ M, x ∈U x ;δ ． 证明： 据 f 在 x0 连续的定义，∀ε > 0,∃δ > 0,当 ( ;δ ) 0 x ∈U x 时满足 - 2 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 I f(x)-f(ro)0,当x∈U(x0:)时,就有 f(x)|-|f(x)|sf(x)-f(x)0,3δ>0, x∈(a.b)且x-x1<d时,有 f(x')-f(x)<e 因此,特别当x,x∈(aa+。)或(-6.b)时,同样有/(x)-()< 这表示x→a+0或x→b-0时∫(x)存在极限的柯西条件得到满足,所以证得 im/(x)与im(x) 都存在 注若f(x)在(a,b)上一致连续,则f(x)在(a,b)上必定有界.这是因为上面证明中 已知g(x)在[a,b上连续,从而g(x)在[ab]上有界,故在g(x)在(ab)上也有界;而在 (a,b)上f(x)=g(x),所以知道f(x)在(a,b)上有界 对于一般在(a,b)上的连续函数f(x),它在(a,b)上不一定有界.例如f(x)=-在 (0,1)上处处连续,但它在(01)上是无界的.由此又可说明∫(x)=-在(0,1)上必定不一 致连续
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ( ) − ( ) 0 ，当 ( ) 0 0 x∈U x ;δ 时，就有 f (x) − f (x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) 0,∃δ > 0,，当 x , x ( ) a,b ' '' ∈ 且 − < δ ' '' x x 时，有 f ( x′) − f ( x′′) < ε ． 因此，特别当 x , x ∈( ) a,a + δ ' '' 或(b −δ ,b)时，同样有 ( )− ( ) < ε ' '' f x f x ． 这表示 x → a + 0或 x → b − 0时 f (x) 存在极限的柯西条件得到满足，所以证得 f (x) x a 0 lim → + 与 f (x) x b 0 lim → − 都存在． 注 若 f (x) 在(a,b)上一致连续，则 f (x) 在 (a,b)上必定有界．这是因为上面证明中 已知 g(x) 在[a,b]上连续，从而 g(x) 在[a,b]上有界，故在 g(x) 在 (a,b)上也有界；而在 ( ) a,b 上 f ( ) x = g(x)，所以知道 f (x) 在(a,b)上有界． 对于一般在 (a,b) 上的连续函数 f (x) ，它在 (a,b) 上不一定有界．例如 x f x 1 ( ) = 在 (0,1) 上处处连续，但它在(0,1) 上是无界的．由此又可说明 x f x 1 ( ) = 在 (0,1) 上必定不一 致连续． - 3 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 例3证明函数f(x)=-在区间(01)内非一致连续 证法一:(用一致连续的否定定义验证)取E0=1V6(1=E 证法二:(用教材例10的结果) 例4lim 解:sin√x+1- sin vx=2smyx+1Ncy+1+√x X+1+ x+1 √x+1-√ ≤l, lim sin = sin lim 例5设函数∫(x)在区间[0,2da>0)上连续,且f(O)=f(2a),证明:在区间 d]上至少存在某个c使∫(c)=f(+a) 证明:若f(a)=f(2a),取c=0或c=a即可;若f(a)≠f(2a)不妨设∫(a)>f(2a) 设F(x)=f(x)-f(x+a),应用零点定理即得所证 例6若∫在点x连续,则八、f2也在点x连续,反之如何? 证明:团/在点x连续易证。现证f2在点x连续
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 例 3 证明函数 ( ) x f x 1 = 在区间(0,1)内非一致连续. 证法一：( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 1, ( 1) ε 0 = ∀δ = ε x x x x x 证法二： ( 用教材例 10 的结果 ). 例 4 lim (sin x +1 − sin x ) x→+∞ 解： . 2 1 cos 2 1 sin 1 sin 2sin x x x x x x + − + + + − = 0 2 1 sin lim 2 1 1, lim sin 2 1 cos = + − = + − ≤ + + →+∞ →+∞ x x x x x x x x Q ， ∴I = 0. 例 5 设函数 f (x) 在区间[ ] 0,2a (a > 0)上连续, 且 f (0) = f (2a)，证明: 在区间 [0,a]上至少存在某个c 使 f ( ) c = f (c + a). 证明：若 f ( ) a = f (2a) , 取c = 0 或c = a 即可;若 f (a) ≠ f (2a)不妨设 设 f ( ) a > f (2a) F( ) x = f ( ) x − f (x + a) , 应用零点定理即得所证. 例 6 若 f 在点 x0 连续，则 f 、 也在点 连续，反之如何？ 2 f 0 x 证明： f 在点 x0 连续易证。现证 在点 连续， 2 f 0 x - 4 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 f(x)-f(x)同∫(x)+f(x0)·|f(x)-f(x0) ∫在点x连续→彐6>0,M>0,当x∈U(x0;)时(x)0,彐62>0,当x-x<2时,|(x)-f(x)< 取6=mm{6,2},则当xx<6时,p()-f2(x)<M x为有理数 反之不成立,如f(x)= xx为无理数 五、复习题 1.用定义证明下列函数在定义域内连续 (1)y=√x; (2)y (3)y=|x (4)y=sin 2.指出下列函数的间断点并说明其类型: (1)f()=x+1: (2)f(x)=[x]+[-x] (3)f(x)= x (4)f(x)=sgn|x|; (5)f(x) In x x为有理数 (6)f(x) 0,x为无理数 3.当x=0时下列函数无定义,试定义f(0)的值,使f(x)在x=0连续: (1)f(x) √1+x-1
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 0 0 0 2 2 f x − f x = f x + f x ⋅ f x − f x f 在点 x0 连续 0 ⇒ ∃δ 1 > ， M > 0，当 ( ) 0 1 x ∈U x ;δ 时 f (x) 0， 0 ∃δ 2 > ，当 − 0 < δ 2 x x 时， ( ) ( ) M f x f x ε − 0 < 取 { 1 2 δ = min δ ,δ }，则当 x − x0 < δ 时， ( ) ( ) ε ε − < ⋅ = M f x f x0 M 2 2 反之不成立，如 . ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = x x f (x) 为无理数 为有理数 x x 五、复习题 1. 用定义证明下列函数在定义域内连续： (1) y = x ； (2) 1 y x = ； (3) y =| x |； (4) 1 y sin x = . 2．指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) 1 f x( ) x x = + ； (2) f x( ) =[ ] x + [−x] ； (3) sin ( ) | | x f x x = ； (4) f x( ) = sgn | x |； (5) ( ) ln f x x 1 = ； (6) sin , , ( ) 0 , x x f x x ⎧ π = ⎨ ⎩ 为有理数 为无理数； 3．当 x = 0 时下列函数无定义，试定义 f (0) 的值，使 f x( ) 在 x = 0 连续： (1) 3 1 ( ) 1 1 x f x x 1 + − = + − ； - 5 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (4)f(x)=(1+x)2 4.设f(x)是连续函数,证明对任何c>0,函数 -c, f(x)c 是连续的 5.若f(x)在x点连续,那么|f(x)和f2(x)是否也在x点连续?反之如何? 6.若函数f(x)字x=0点连续,而g(x)在x=0点不连续,问此二函数的和、积在x0 点是否连续?又若f(x)和g(x)在x0点都不连续,问此二函数的和、积在x点是否必不 连续 证明若连续函数在有理点的函数值为0,则此函数恒为0 8.若∫(x)在[ab连续,恒正,按定义证明在[ab连续 9.若f(x)和g(x)都在[ab连续,试证明max(f(x),g(x)和min(f(x),g(x)都在 [a,b]连续 10.若f(x)在{a,b,a<x<x2<…<xn<b,则在[x1,x2]中必有,使得 f()=-[f(x1)+f(x2)+…+f(xn 11.研究复合函数fog和gof的连续性设 (1) f(x)=sgn x, g(x)=1+x )=(1-x2)x 12.证明:若∫(x)在[a,b连续,且不存在r∈[ab,使f(x)=0,则f(x)在{a,b 恒正或恒负 13.设∫(x)为{a,b上的递增函数,值域为[f(a),f(b,证明f(x)在{a,b上连续 14.求下列极限
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 (2) tan 2 ( ) x f x x = ； (3) 1 f x( ) sin x sin x = ； (4) ( ) x f x x 1 = (1+ ) . 4．设 f x( ) 是连续函数，证明对任何 c > 0 ，函数 , ( ) ( ) ( ), ( ) , , ( ) c f x c, g x f x f x c c f x c ⎧ − 是连续的. 5．若 f x( ) 在 0 x 点连续，那么 | f x( )| 和 2 f ( ) x 是否也在 0 x 点连续？反之如何？ 6．若函数 f x( ) 字 x = 0 点连续，而 g( ) x 在 x = 0 点不连续，问此二函数的和、积在 0 x 点是否连续？又若 f x( ) 和 g( ) x 在 0 x 点都不连续，问此二函数的和、积在 0 x 点是否必不 连续？ 7．证明若连续函数在有理点的函数值为 0，则此函数恒为 0. 8．若 f x( ) 在 [ , a b] 连续，恒正，按定义证明 1 f x( ) 在 [ a b, ] 连续. 9．若 f x( ) 和 g( ) x 都在 [ , a b] 连续，试证明 max( f x( ) , g(x)) 和 min( f x( ) , g( ) x ) 都在 [ , a b] 连续. 10．若 f x( ) 在 [ , a b] , a x < 1 2 < x <L< xn < b ，则在 1 2 [ , x x ] 中必有 ξ ，使得 1 2 ( ) [ ( ) ( ) ( )] n f f x f x f x n ξ 1 = + +L+ . 11．研究复合函数 f o g 和 g o f 的连续性. 设 (1) 2 f ( ) x x = sgn , g(x) = 1+ x ； (2) 2 f ( ) x x = sgn , g( ) x = (1− x )x . 12．证明：若 f x( ) 在 [ , a b] 连续，且不存在 x ∈[a b, ] ，使 f x( ) = 0 ，则 在 恒正或恒负. f x( ) [ , a b] 13．设 f x( ) 为 [ , a b] 上的递增函数，值域为 [ ( f a), f (b)] ，证明 f x( ) 在 [ , a b] 上连续. 14．求下列极限： (1) 1 1 1 1 lim 2 x x x x x − + → ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ； - 6 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (2) lim(arctan x)cos (3) lim(cos x): e cos x+5 1+x2+ln(1-x) 15.证明方程x3+px+q=0(P>0)有且只有一个实根
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 (2) 1 lim arctan cos x x →+∞ x ( ) ； (3) 2 1 0 lim (cos ) x x x → ； (4) 2 0 cos 5 lim 1 ln(1 x x e x → x x) + + + − . 15．证明方程 3 x p + x + q = 0 ( p > 0) 有且只有一个实根. - 7 -
