黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 重积分（9.5）利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

第五节利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分 利用柱面坐标计算三重积分 巴二、利用球面坐标计算三重积分 小结思考题

庄一、利用柱面坐标计算三重积分 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在 xoy面上的投影P的极坐标为r,O,则这样的 A个数r,日,z就叫点M的柱面坐标 工工工 规定:0≤r<+0 M(x,y, z) 0≤e≤2π, 0<<+0 6 P(r,) 上页

0  r  +, 0    2, −   z  +. 一、利用柱面坐标计算三重积分 个数 就叫点 的柱面坐标． 面上的投影 的极坐标为 ，则这样的三 设 为空间内一点，并设点 在 r z M xoy P r M x y z M , , , ( , , )   规定： x y z o M(x, y,z) P(r, )  r • •

如图,三坐标面分别为 z r为常数→圆柱面 6为常数→半平面; Mx,y,z) cz为常数。→平面 柱面坐标与直角坐 标的关系为 8(, 0) x=rcos 6, y=sine, Z=Z 上页

     = = = . sin , cos , z z y r x r   柱面坐标与直角坐 标的关系为 r 为常数 z 为常数  为常数 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． • M (x, y,z) P(r, ) •  r z x y z o

如图,柱面坐标系 中的体积元素为 rde dv= rdrdedz ∫ f(, v, z)dxdydz J de ll f(rcos 8, rsin 0, z)rdrdedz. 上页

   f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) .   = f r  r  z rdrddz d r x y z o dz dr rd 如图，柱面坐标系 中的体积元素为 dv = rdrddz

例1计算Ⅰ=zz,其电2是球面 x2+y+z=4与抛物面x+y2=3z 所围的立体 x=rose 解由{p= rsin e,知交线为 Z= Z r2+z2=4 →z=1,r=3 2=3x 上页

例1 计算   I = zdxdydz，其中 是球面 4 2 2 2 x + y + z = 与抛物面x y 3z 2 2 + = 所围的立体. 解 由      = = = z z y r x r   sin cos ,    = + = r z r z 3 4 2 2 2  z = 1, r = 3, 知交线为

把闭区域9投影到xoy面上,如图, 2 Q ≤z≤√4-r 3 0<r≤ 9 0≤0≤2兀 3 ,2 2兀 de di ridz _13 T 0 4 上页

    − =   2 3 2 2 4 0 3 0 r r I d dr r zdz . 4 13 =  把闭区域  投影到 xoy 面上，如图， 0 2 . 0 3, 4 3 : 2 2          − r z r r

例2计算I=(x2+y2) )dxdydz,其2 是曲线=2,X=0绕0轴旋转周而成 的曲面与两平面z=2,z=8所围的立体 王解出{P=2 绕0z轴旋转得, y=0 h旋转面方程为x2+y2=2, 王所围成的立体如图, 上页

例２ 计算   I = (x + y )dxdydz 2 2 ， 其中 是曲线 y 2z 2 = ，x = 0 绕oz 轴旋转一周而成 的曲面与两平面z = 2,z = 8所围的立体. 解 由    = = 0 2 2 x y z 绕 oz 轴旋转得， 旋转面方程为 2 , 2 2 x + y = z 所围成的立体如图

所围成立体的投影区域如图, D1:x2+y2=16, 0≤0≤2兀 0<r≤4 ● ≤z≤8 0≤e 0≤ 2:x2+y2=4 2 23s2 上页

: D2 4, 2 2 x + y = . 2 2 0 2 0 2 : 2 2               z r r : D1 16, 2 2 x + y = , 8 2 0 4 0 2 : 1 2               z r r 所围成立体的投影区域如图， D2 D1

I=11-12 fJ6x2+y2xdxdydz-[e2+y2)dxdy dz, 王4C间上,h= 1 2 frdrdef fiz=J 2π 2 d0d2r·r2=2π 2 6 D 原式I= 4525 3尤-二兀=336兀 上页

( ) ( ) , 1 2 2 2 2 2 1 2     = + − +  = − x y dxdydz x y dxdydz I I I   =  1 2 8 2 1 D I rdrd r fdz , 3 4 5 =    =  2 2 2 2 2 D I rdrd r fdz , 6 2 5 =  原式I =  3 4 5 −  6 2 5 = 336 .    =    8 2 4 0 2 0 2 2 r d dr r r dz    =    2 2 2 0 2 0 2 2 r d dr r r dz

二、利用球面坐标计算三重积分 设M(x,y,z)为空间内一点,则点M可用 三个有次序的数,mθ来确定,其中r为原 午点O与点M间的距离,q为有向线段OM与z 工工工 轴正向所夹的角,6为从正z轴来看自x轴按 逆时针方向转到有向线段OP的角,这里P为 点M在xOy面上的投影,这样的三个数r,g, 6就叫做点M的球面坐标. 上页

二、利用球面坐标计算三重积分 就叫做点 的球面坐标． 点 在 面上的投影，这样的三个数 ， ， 逆时针方向转到有向线段 的角，这里 为 轴正向所夹的角， 为从正 轴来看自 轴按 点 与点 间的距离， 为有向线段 与 三个有次序的数 ， ， 来确定，其中 为原 设 为空间内一点，则点 可用 M M xoy r OP P z x O M OM z r r M x y z M       ( , , )