临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第七章实数的完备性 基本概念 1.对每个E>0,都能找到一个自然数N,对一切n,m≥N,成立不等式xn-x1<E 则称{xn}为( cauchy)基本数列,记作lim(xn-xm)=0 2.数列{xn},若{xn}:xn→a(k→∞),则称a是数列{xn}的一个极限点。如点 例{-)}有2个极限点。数列{x}的最大(最小)极限点如果存在,则称为该数列的上(下) 极限,并记为 limx( lim x) 二、基本定理 1.设q(x)是ab上压缩映射,且φ([a,b])c[a,b],则p(x)在ab]上存在唯一的不动 2.每个数列{xn}的上极限和下极限必定唯一,且 limx sup{xn,xn1,…}= limsupx, lim x=inf{x2,xn+12…}= lim inf x。 3.{xn}存在极限则{xn}的上极限和下极限相等,即 limx= lim x= lim x。 4若开区间族{O}覆盖了有界必区间ab,即bUO,则从{O}中必可挑出有 限个开区间Oa,…,O,统一覆盖了abl。即ab=On∪…UO.。 三、基本要求 1.掌握六个基本定理,能准确地加以表述,并深刻理解其实质意义 2.明确基本定理是数学分析的理论基础,并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的 基本性质和一些有关命题,从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力 四、典型例题 例1用单调有界定理证明区间套定理.即已知 1)单调有界定理成立
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第七章 实数的完备性 一、基本概念 1. 对每个ε >0，都能找到一个自然数 N ，对一切 n,m ≥ N ，成立不等式 n m x x − < ε ， 则称{ }n x 为（cauchy）基本数列，记作 , lim ( ) 0 n m n m x x →∞ − = 。 2. 数列{ }n x ，若{ } k n x ： k n x → a（k → ∞ ），则称a 是数列{ }n x 的一个极限点。如点 例{( 1) }n − 有 2 个极限点。数列{ }n x 的最大（最小）极限点如果存在，则称为该数列的上（下） 极限，并记为 lim n n x →∞ （ lim n n x →∞ ）。 二、基本定理 1. 设ϕ(x) 是[a,b]上压缩映射，且ϕ([a b, ]) ⊂ [a,b]，则ϕ(x) 在[a,b]上存在唯一的不动 点。 2. 每个数 列 { }n x 的 上 极限和 下极限 必定唯 一 ， 且 lim n n x →∞ ＝ 1 sup{ , , } limsup n n k n k n x x x + →∞ ≥ L = ， lim n n x →∞ ＝ 1 inf{ , , } liminf n n k n k n x x x + →∞ ≥ L = 。 3. { }n x 存在极限则{ }n x 的上极限和下极限相等，即 lim n n x →∞ ＝ lim n n x →∞ ＝ lim n n x →∞ 。 4. 若开区间族{Oα} 覆盖了有界必区间[a,b]，即[a,b] Oα α ⊂ U ，则从{Oα} 中必可挑出有 限个开区间 1 , , n Oα L Oα ，统一覆盖了[a,b]。即[a,b]= 1 n O O α ULU α 。 三、基本要求 1. 掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2. 明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的 基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 四、典型例题 例 1 用单调有界定理证明区间套定理．即已知： 1 ） 单调有界定理成立； - 1 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 2)设{an,bn]}为一区间套 欲证:35∈{an,b]n=12,…且惟 证明:证明思想:构造一个单调有界数列,使其极限即为所求的5 为此,可就近取数列{n}(或{}).由于 a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b, 因此{an}为递增数列,且有上界(例如b1).由单调有界定理,存在 lim a=5,且 又因bn=(bn-an)+an,而lim(bn-an)=0,故 lim b,= lim(b -a,)+lim,=0+5=5 且因{n}递减,必使bn≥5.这就证得∈anbn]}n=12, 最后,用反证法证明如此的占惟一事实上,倘若另有一个5∈{an,bn]n=12 则由 5-s(bn-an)→0(m→∞) 导致与-5>0相矛盾 例2用确界定理证明区间套定理.即已知: 1)确界定理成立(非空有上界的数集必有上确界) 2)设{an,b为一区间套 欲证:存在惟一的点∈anbn]n=12, 证明:证明思想:给出某一数集S,有上界,使得S的上确界即为所求的ξ 为此,取S={an},其上界存在(例如b).由确界定理,存在5=sup{an} 首先,由为{an}的一个上界,故an≤5,n=12,…,再由是{n}的最小上界,倘 有某个bnbn,这与{anb为区间套相矛盾 a,b,)。所以任何b≥5.这就证得 an≤5≤bn,n=1 关于5的惟一性,与例1中的证明相同 例3设f(x)是闭区间[ab]上的递增函数,但不必连续.如果 f()2a,f()≤b,则3xo∈[ab],使f(x0)=x0,(山东大学研究生入学试题)
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 2 ）设{[an ,bn ]}为一区间套． 欲证：∃ξ ∈{ } [ ] an ,bn ,n = 1,2,L且惟一． 证明： 证明思想：构造一个单调有界数列，使其极限即为所求的ξ ． 为此，可就近取数列{an }（或{bn }）．由于 , a1 ≤ a2 ≤ L ≤ an ≤ L ≤ bn ≤ L ≤ b2 ≤ b1 因此 {an }为递增数列，且有上界（例如 b1 ）．由单调有界定理，存在 = ξ →∞ n n lim a ，且 an ≤ ξ, n = 1, 2,L． 又因 ( ) bn = bn − an + an ，而 lim( − ) = 0 →∞ n n n b a ，故 = − + = + ξ = ξ →∞ →∞ →∞ lim lim( ) lim 0 n n n n n n n b b a a ； 且因{bn }递减，必使bn ≥ ξ ．这就证得ξ ∈{[an ,bn ]}, n = 1,2,L． 最后，用反证法证明如此的ξ 惟一．事实上，倘若另有一个ξ' ∈{[an ,bn ]}, n = 1,2,L， 则由 ξ − ξ′ ≤ ( b − a ) → 0 (n → ∞) n n ， 导致与 0 ' ξ − ξ > 相矛盾． 例 2 用确界定理证明区间套定理．即已知： 1 ） 确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）； 2 ） 设{[an ,bn ]}为一区间套． 欲证：存在惟一的点ξ ∈{ } [ ] an ,bn , n = 1,2,L． 证明： 证明思想：给出某一数集 S ，有上界，使得 S 的上确界即为所求的ξ ． 为此，取 S = {an }，其上界存在（例如b1 ）．由确界定理，存在ξ = sup{an }． 首先，由ξ 为{an }的一个上界，故 an ≤ ξ,n = 1,2,L．再由ξ 是{an }的最小上界，倘 有某个 bm bm ，这与{[an ,bn ]}为区间套相矛盾 ( ) ai bj , 。所以任何bn ≥ ξ ．这就证得 an ≤ ξ ≤ bn , n = 1, 2,L ． 关于ξ 的惟一性，与例 1 中的证明相同． 例 3 设 是闭区间[ 上的递增函数, 但不必连续 . 如果 则 ,使 f (x) ] ] a,b f ( ) a ≥ a, f (b) ≤ b, ∃x0 ∈[a,b ( ) 0 0 f x = x .(山东大学研究生入学试题) - 2 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 证法一:(用确界技术.参阅[3]P76例10证法1 设集合F=(x)2xa≤x≤b}.则a∈F,F不空;Fc[]F有界,由确界 原理,F有上确界.设x=supF,则x0=下证f(x)=x i>若x0∈F,有∫(x)≥x;又∫(x)≤f(b)≤b,得∫(x)∈[b]由 f(x)递增和f(x0)≥x,有f((x0)≥f(x),可见f(x0)∈F.由x0=supF,→ f(x0)≤x0,于是,只能有f(x)=x0 ⅱ>若x0gF,则存在F内的数列{n},使xn↑x0,(n→∞);也存在数列 n},x0a,f(b)c,取a1=c,b1=b;若f()an,∫(bn)<b由区间套定理,丑x,使对任何n,有x∈[anbn]现证 f(x0)=x.事实上,注意到n→∞时an↑x和bn↓x0以及∫递增,就有 f(an)≤/(x0)≤f(bn)<b 令 得x0≤f(x0)≤x0于是有f(x)=x
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 证法一: ( 用确界技术 . 参阅[3] P76 例 10 证法 1 ) 设集合 F = {x f ( ) x ≥ x,a ≤ x ≤ b}. 则a ∈ F, F 不空 ; F ⊂ [a,b],F 有界 .由确界 原理 , F 有上确界. 设 x0 = sup F , 则 x [a,b] 0 = .下证 ( ) 0 0 f x = x . ⅰ> 若 x0 ∈ F , 有 f ( ) x0 ≥ x0 ; 又 f (x0 ) ≤ f (b) ≤ b , 得 f (x0 )∈[a,b]. 由 f (x) 递增和 f ( ) x0 ≥ x0 , 有 ( ) ( ) ( ) 0 0 f f x ≥ f x , 可见 f (x0 )∈ F . 由 , . 于是 , 只能有 x0 = sup F ⇒ ( ) 0 0 f x ≤ x ( ) 0 0 f x = x . ⅱ> 若 x0 ∉ F , 则存在 F 内的数列{xn }, 使 , 0 x x n ↑ (n → ∞); 也存在数列 { }, ， , ( ) nt x0 a ， f (b) c , 取a = c b = b 1 1 , ; 若 , 取 , 如此得一级区间[ . 依此构造区间套 f ( ) c ( ) bn bn f < 0 ∃x , 使对任何 n ,有 [ ] an bn x , 0 ∈ . 现证 f ( ) x0 = x0 . 事实上, 注意到n → ∞ 时 和 以 及 递增, 就有 0 a x n ↑ 0 b x n ↓ f ( ) ( ) ( ) n n bn bn a ≤ f a ≤ f x0 ≤ f < . 令 n → ∞ , 得 x0 ≤ f ( ) x0 ≤ x0 于是有 ( ) 0 0 f x = x . - 3 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 例4设在闭区间叵]上函数∫(x)连续,g(x)递增,且有∫(a)g(b 试证明:方程f(x)=g(x)在区间(ab)内有实根.(西北师大2001年硕土研究生入 学试题 证明:构造区间套{nb,使f(an)gbn)由区间套定理,35 使对Ⅶn,有E∈[anbn].现证f()=g().事实上,由g(x)在[ab]上的递增性和 anb]的构造以及an个5和bn↓5,有 f(an)<g{(an)≤g()≤g(bn)<f(bn) 注意到∫(x)在点连续,由 Heine归并原则,有 lim f(a)=() limf(b)=s f()≤g()≤f(),→f(5)=g().5为方程∫(x)=g(x)在区间(ab)内的实根 例5试证明:区间]上的全体实数是不可列的 证明:(用区间套技术,具体用反证法)反设区间[0]上的全体实数是可列的,即可 排成一列: 把区间[01三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含x,记该区间为一级区间 a,b].把区间[a,b]三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含x2,记该区间为二级 区间[a2,b2].依此得区间套{anbn]},其中区间{anbn]不含x,x12…,xn,由区间套定理, 35,使对Ⅶn,有∈[nbn]当然有e[0,1]但对Ⅶn有x0g{nb]而 5∈gnb→xn≠5,矛盾
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 例 4 设在闭区间[a,b]上函数 f (x) 连续, g(x) 递增 ,且有 f (a) ( g(b). 试证明: 方程 f ( ) x = g(x)在区间(a,b)内有实根 . （ 西北师大 2001 年硕士研究生入 学试题 ） 证明：构造区间套{ } [ ] an ,bn ,使 ( ) ( ) ( ) ( ) n n bn g bn f a .由区间套定理, ∃ξ , 使对∀n , 有 [an bn ξ ∈ , ]. 现证 f (ξ ) = g(ξ ). 事实上, 由 g(x)在[a,b]上的递增性和 [ 的构造以及 和 , 有 an bn , ] an ↑ ξ bn ↓ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n bn f a < g a ≤ g ξ ≤ g b < f . 注意到 f (x) 在点 连续，由 Heine 归并原则, 有 f ( ) a f (ξ ) f (b ) f (ξ ) n n n n = = →∞ →∞ lim ,lim ⇒ f ( ) ξ ≤ g(ξ ) ≤ f (ξ ), ⇒ f ( ) ξ = g(ξ ).ξ 为方程 f (x) = g(x)在区间( )内的实根. ] a,b 例 5 试证明:区间[0,1 上的全体实数是不可列的 . 证明：( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间[0,1]上的全体实数是可列的,即可 排成一列: x1 , x2 ,L, xn ,L 把区间[ 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含 ，记该区间为一级区间 . 把区间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含 ，记该区间为二级 区间[ ..依此得区间套 , 其中区间 ] ] ] ] ]} 0,1 1 x [ 1 1 a ,b [ 1 1 a ,b 2 x 2 2 a ,b {[an bn , [ ] an bn , 不含 .由区间套定理, n x , x , , x 1 2 L ∃ξ , 使对∀n , 有 [an bn ξ ∈ , ]. 当然有 .但对∀n 有 [ ] an bn x , 0 ∉ 而 [ ] an bn ξ ∈ , , ⇒ xn ≠ ξ . 矛盾 . - 4 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 注本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚 五、复习题 1.求数列{Jn}的上、下确界 (2)xn=n[2+(-2)"] (3)x2k=k,x2k41=1+(k=1,2,3,) (4)xn=1+(-/+1 n (5)xn +2m(-1) n-1 2nT (6)x= COS n+1 2.设∫(x)在D上定义,求证: (1)sup-f(x)=-inf f(x); (2)inf(-f(x)=-supf(r 3.设B=supE,且βgE,试证自E中可选取数列{xn}且x互不相同,使 imxn=B;又若B∈E,则情形如何? 4.试证收敛数列必有上确界和下确界,趋于+∞的数列必有下确界,趋于-∞的数列 必有上确界 5.试分别举出满足下列条件的数列: (1)有上确界无下确界的数列 2)含有上确界但不含有下确界的数列 (3)既含有上确界又含有下确界的数列 (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列,其中上、下确界都有限. 6.利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4. 7.利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限 8.用区间套定理证明单调有界数列必有极限. 9.试分析区间套定理的条件:若将闭区间列改为开区间列,结果怎样?若将条件 a1,b]→{a2,b]彐…去掉或将条件b-an→>0去掉,结果怎样?试举例说明
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 注 本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚． 五、复习题 1．求数列{Jn}的上、下确界： (1) 1 1 ; n x n = − (2) [2 ( 2) ]; n n x n = + − (3) 2 2 1 1 , 1 ( 1, 2,3, k k x k x k k = + = + = L); (4) 1 [1 ( 1) ] ; n n n x n + = + − (5) ( 1) 1 2 ; n n n n x − = + (6) 1 2 cos . 1 3 n n n x n − π = + 2．设 f x( ) 在 D 上定义，求证： (1) sup{ ( )} inf ( ); x D x D f x f ∈ ∈ − = − x (2) inf{ ( )} sup ( ). x D x D f x f ∈ ∈ − = − x 3．设 β = sup E ，且 β ∉ E ，试证自 E 中可选取数列 { }n x 且 n x 互不相同，使 lim n x x β →∞ = ；又若 β ∈ E ，则情形如何? 4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于 +∞ 的数列必有下确界，趋于 的数列 必有上确界． −∞ 5．试分别举出满足下列条件的数列： (1) 有上确界无下确界的数列； (2) 含有上确界但不含有下确界的数列； (3) 既含有上确界又含有下确界的数列； (4) 既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 6．利用有限覆盖定理 9．2 证明紧致性定理 9．4． 7．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 8．用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 9．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件 [ , a b 1 1] ⊃ [a2 ,b2 ] ⊃L去掉或将条件 0 n n b a − → 去掉，结果怎样?试举例说明． - 5 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 10.若x}无界,且非无穷大量,则必存在两个子列x→,xm→a(a为有限数 1l.有界数列{xn}若不收敛,则必存在两个子列x→>a,xm→b(α≠b) 12.求证:数列{an}有界的充要条件是,{an}的任何子数列{an}都有收敛的子数列 13.设f(x)在[a,b]上定义,且在每一点处函数的极限存在,求证:f(x)在[a,b]上 有界 14.设∫(x)在[a,b]无界,求证:存在c∈[a,b],对任给δ>0,函数f(x)在 (c-d,c+o)∩[a,b]上无界 15.设∫(x)是(a,b)上的凸函数,且有上界,求证:limf(x),imf(x)存在 16.设∫(x)在[a,b]上只有第一类间断点,定义 O(x)=f(x+0)-f(x-0) 求证:任意E>0,(x)≥E的点x只有有限多个 17.设∫(x)在[O,+∞)上连续且有界,对任意a∈(-∞,+∞),f(x)=a在[0,+∞)上 只有有限个根或无根,求证:Iimf(x)存在 18,设∫(x)在(a,b)连续,求证:f(x)在(a,b)一致连续的充要条件是 limf(x)与limf(x)都存在, 19.求证数列x=11 √2 +一产=当n→>∞时的极限不存在 20.利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性: (1)x=ao+a, 9+a,9++a, (qkl,lak ksM) 2 sIn n 21.证明lmf(x)存在的充要条件是:对任意给定E>0,存在δ>0,当 04x2-x0kd,04x"-x0k<6时,恒有
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 10．若{ }n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 , k k n m x → ∞ x → a ( a 为有限数)． 11．有界数列{ }n x 若不收敛，则必存在两个子列 , ) k k n m x → → a x b (α ≠ b ． 12．求证：数列{an}有界的充要条件是，{an}的任何子数列{ank }都有收敛的子数列． 13．设 在[ , 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证： 在[ , 上 有界． f x( ) a b] f x( ) a b] 14．设 f x( ) 在 [ , a b] 无界，求证：存在 c a ∈[ ,b] ，对任给 δ > 0 ，函数 f x( ) 在 ( , c c − + δ δ ) ∩[a,b]上无界． 15．设 f x( ) 是( , a b)上的凸函数，且有上界，求证： lim ( ), lim ( ) x a x b f x f → → + − x 存在． 16．设 f x( ) 在[ , a b]上只有第一类间断点，定义 ω( ) x f =| (x + − 0) f (x − 0) | . 求证：任意ε > 0,ω(x) ≥ ε ) 的点 x 只有有限多个． 17．设 f x( ) 在[0,+∞) 上连续且有界，对任意 a ∈( , −∞ +∞ ， 在[0 上 只有有限个根或无根，求证： f x( ) = a ,+∞) lim ( ) x f x →+∞ 存在． 18，设 f x( ) 在( , a b)连续，求证： f x( ) 在( , a b)一致连续的充要条件是 lim ( ) x a f x → + 与 lim ( ) x b f x → − 都存在， 19．求证数列 1 1 1 2 n x n = + +L+ 当 n → ∞时的极限不存在． 20．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1) 0 1 2 (| | 1,| | ); n n n k x = + a a q + a q +L+ a q q 0 ，存在 δ > 0 ， 当 0 0 0 < − | x x ' |< δ , 0 <| x ''− x |< δ 时，恒有 - 6 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 If(x)-f(x)kE 22.证明∫(x)在x0点连续的充要条件是:任给E>0,存在6>0,当 04x2-xko,04x"-x0kd时,恒有 If(x)-f(x"ka 23.证明下列极限不存在 2n丌 n+1 (3)x,=sin(vn'+n) (4)x,=cosn (5)x, =tan 24.设∫(x)在(a,+∞)上可导,|∫(x)|单调下降,且limf(x)存在,求证 25.设f(x)在(-∞,+∞)可导,且f(x)k<1,任给x0,令 f(xn)(n=0,1,2,…) 求证 (1) lim x存在 (2)上述极限为x=f(x)的根,且是唯一的 26.设∫(x)在[a,b满足条件: f(x)-fksklx-ylVxyela, b],0<k<1; (2)f(x)的值域包含在[a,b]内 则对任意x0∈[a,b],令x1=∫(xn)(n=0,1,2,…),有 (1) lim x存在 (2)方程x=∫(x)的解在[a,b]上是唯一的,这个解就是上述极限值
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 | f x( ') − f (x '') | 0 ，存在 δ > 0 ， 当 0 0 0 < − | x x ' |< δ , 0 <| x ''− x |< δ 时，恒有 | f x( ') − f (x '') |< ε. 23．证明下列极限不存在： (1) 1 2 cos ; 1 3 n n n x n − π = + (2) ( 1) 1 2 ; n n n n x − = + (3) 2 sin( ); n x = + π n n (4) cos ; n x = n (5) tan . n x = n 24 ． 设 f x( ) 在 ( , a +∞) 上可导， | ' f x( ) | 单调下降 ， 且 lim ( ) x f x →+∞ 存 在 ，求证 lim '( ) 0 ． x xf x →+∞ = 25．设 f x( ) 在( , −∞ +∞) 可导，且| ' f x( ) |≤ k <1，任给 0 x ，令 1 ( ) ( 0,1,2, ), n n x f x n + = = L 求证， (1) lim n x x →∞ 存在； (2) 上述极限为 x = f x( ) 的根，且是唯一的． 26．设 f x( ) 在[ , a b]满足条件： (1) | ( f x) − ≤ f ( y) | k | x − y |, ∀x, y ∈[a,b], 0 < k < 1; (2) f x( ) 的值域包含在[ , a b]内． 则对任意 0 x ∈[ , a b]，令 x f n n +1 = = ( ) x (n 0,1,2,L) ，有 (1) lim n x x →∞ 存在； (2)方程 x = f x( ) 的解在[ , a b]上是唯一的，这个解就是上述极限值． - 7 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 27.设∫(x)在[ab]上连续,并且最大值点x是唯一的,又设x∈[a,b,使 limf(xn)=f(x),求证 lim x = xo 28.设f(x)在[a,b上连续,可微,又设 (1)min f(x)0,求证:存在∈(a,b),使∫(5)=0, 且f(x)>0(5<x≤b) 30.设f(x)是[a,b]上的连续函数,其最大值和最小值分别为M和m(m<M),求证 必存在区间[a,B],满足条件: (1)f(a)=M,f(B)=maf(a)=m,f(B)=M: (2)m<f(x)<M,当x∈(a,B) 1.∫(x)在[,2a]连续,且f(0)=f(2a),求证:存在x∈[0,a],使∫(x)=f(x+a) 32.设∫(x)在[a,b上连续,且取值为整数,求证:f(x)≡常数 33.设∫(x)在(a,b)上一致连续,a,b≠±∞,证明∫(x)在(a,b)上有界 34.若函数∫(x)在(a,b)上满足利普希茨( Lipschitz)条件,即存在常数K,使得 ∫(x)-f(x")K|x'-x",x,x"∈(a,b) 证明:f(x)在(a,b)上一致连续 35.试用一致连续的定义证明:若函数∫(x)在[a,C]和[c,b]上都一致连续,则∫(x)在 [a,b]上也一致连续 36.设∫(x)在(-∞,+∞)上连续,且limf(x)与limf(x)存在.证明;f(x)在
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 27．设 f x( ) 在 [ , a b] 上连续，并且最大值点 0 x 是唯一的，又设 0 x ∈[ , a b] ，使 0 lim ( ) ( ) n x f x f x →∞ = ，求证 0 lim n x x x →∞ = 28．设 f x( ) 在[ , a b]上连续，可微，又设 (1) min ( ) max ( ); a x b a x b f x p f x ≤ ≤ ≤ ≤ 0 ，求证：存在ξ ∈( , a b)，使 f ( ) ξ = 0 ， 且 f x( ) > < 0(ξ x ≤ b) ． 30．设 f (x) 是[ , a b]上的连续函数，其最大值和最小值分别为 M 和 ，求证： 必存在区间[ , m m( < M ) α β ]，满足条件： (1) f M ( ) α = , f (β ) = m 或 f m ( ) α = , f (β ) = M ； (2) m f < ( ) x < M ，当 x ∈( , α β ) ． 31．f (x) 在[0, 2a]连续，且 f (0) = f (2a) ，求证：存在 x∈[0, a] ，使 f x( ) = f (x + a) ． 32．设 f x( ) 在[ , a b]上连续，且取值为整数，求证： f x( ) ≡ 常数． 33．设 f x( ) 在( , a b)上一致连续， a b, ≠ ±∞ ，证明 f x( ) 在( , a b)上有界； 34．若函数 f x( ) 在( , a b)上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数 K ，使得 | f x( ') − ≤ f (x '') | K | x '− x '' |, x ', x ''∈(a,b). 证明： f x( ) 在( , a b)上一致连续． 35．试用一致连续的定义证明：若函数 在[ , 和[ , 上都一致连续，则 在 上也一致连续． f x( ) a c] c b] f x( ) [ , a b] 36．设 f x( ) 在 ( , −∞ +∞) 上连续，且 lim ( ) x f x →−∞ 与 lim ( ) x f x →+∞ 存在．证明； f x( ) 在 - 8 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (-∞,+∞)上一致连续 37.若f(x)在区间X(有穷或无穷)中具有有界的导数,即∫(x)k≤M,x∈X,则 f(x)在X中一致连续 38.求证:f(x)=√xlnx在(0,+∞)上一致连续 39.设∫(x)在(a,+∞)上可导,且limf(x)=+∞,求证:f(x)在(a,+∞)上不一致 连续 40.求证:f(x)=xlnx在(O0,+∞)上不一致连续 41.判断下列函数在区间[0,1上的可积性: (1)f(x)在[0,1上有界,不连续点为x1 (2)f(x)= sin-),x∈(0,1]l =0 x∈(0,1] 0, (0,1 ∫( 0 42.讨论f(x),2(x),f(x)三者间可积性的关系 43.设∫(x),g(x)都在[a,b]上可积,证明: M(x)=max(f(x),g(x)), m(x)=min(f(x),g(x)) 在[a,b]上也是可积的 44.设f(x)在[a,b上可积,且∫(x)≥r>0,求证: 在[a,b]可积
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ( , −∞ +∞) 上一致连续． 37．若 f x( ) 在区间 X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即| ' ，则 在 f x( ) |≤ M x , ∈ X f x( ) X 中一致连续． 38．求证： f ( ) x = x ln x 在(0,+∞)上一致连续． 39．设 f x( ) 在( , a +∞) 上可导，且 lim '( ) x f x →+∞ = +∞ ，求证： 在( , 上不一致 连续． f x( ) a +∞) 40．求证： f x( ) = x ln x 在(0,+∞)上不一致连续． 41．判断下列函数在区间[0,1] 上的可积性： (1) f x( ) 在[0,1] 上有界，不连续点为 1 x n( 1, 2, n = = L) ； (2) sgn(sin ), (0,1], ( ) 0, 0; x f x x x ⎧ π ⎪ ∈ = ⎨ ⎪ ⎩ = (3) 1 1 , (0,1 ( ) 0, 0; x f x x x x ⎧ ⎡ ⎤ ⎪ − ∈ ⎢ ⎥ = ⎨ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ = ], (4) 1 , (0,1 1 ( ) 0, 0. x f x x x ⎧ ∈ ⎪ ⎪⎡ ⎤ = ⎨⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ = ], 42．讨论 2 f ( ) x f , (x), | f (x) |三者间可积性的关系． 43．设 f x( ), g(x) 都在[ , a b]上可积，证明： M ( ) x = max( f ( ) x g, (x)), m(x) = min( f (x g ), ( ) x ) 在[ , a b]上也是可积的． 44．设 f x( ) 在[ , a b]上可积，且 f x( ) ≥ >r 0 ，求证： (1) 1 f ( ) x 在[ , a b]可积； - 9 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 (2)nf(x)在[a,b]可积 45.设∫(x)在[a,b]可积,求证:任给E>0,存在逐段为常数的函数(x),使 ∫1/(x)-(x)ak 46.设f(x)在[a,b]上有界,定义 orla, b]= sup f(x)-inf f(x), 求证 orla, b]= sup If(x)-f(x") x;x"∈[a,b 47.设f(x)在x0附近有定义且有界,定义 o (ro)=lim xo-,o+ 求证:f(x)在x连续的充分必要条件为O(x)=0 48.若函数f(x)在[A,B可积,证明 lim If(x+h)-f(x)l dx=0, h→0Ja 其中A<a<b<B(这一性质称为积分的连续性) 49.f(x)≥0,f"(x)≤0,对任意省仨x∈[a,b]成立,求证 f(x)≤ f∫(x)dx 50.设∫(x)在[a,b有连续的导函数,求证 mN/∫()r()h 51.设∫(x)在[a,b]可积,求证;存在连续函数序列qn(x),n=1,2,…,使 lim%,(x)dx=f(xdx 52.设∫(x)在[a,b黎曼可积,求证: (1)存在区间序列{[a,b]}使 [an,bm]c(an, b,)c(a, b), 且Of([an,b)<
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 (2) ln f x( ) 在[ , a b]可积． 45．设 f x( ) 在 [ , a b] 可积，求证：任给 ε > 0 ，存在逐段为常数的函数ϕ(x) ，使 | ( ) ( )| . b a f x − < ϕ x dx ε ∫ 46．设 f x( ) 在[ , a b]上有界，定义 [ , ] [ , ] [ , ] sup ( ) inf ( ), f x a b x a b ω a b f x f x ∈ ∈ = − 求证 ', '' [ , ] [ , ] sup | ( ') ( '') | . f x x a b ω a b f x f x ∈ = − 47．设 f x( ) 在 0 x 附近有定义且有界，定义 0 0 0 1 1 ( ) lim , f n x x x n n ω →+∞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠. 求证： f x( ) 在 0 x 连续的充分必要条件为 0 ( ) 0 f ω x = ． 48．若函数 f x( ) 在[ , A B]可积，证明： 0 lim | ( ) ( ) | 0, b h a f x h f x dx → + − = ∫ 其中 A a < < b < B (这一性质称为积分的连续性)． 49． f x( ) ≥ 0, f ''(x) ≤ 0, 对任意省仨 x∈[ , a b] 成立，求证： 2 ( ) ( ) . b a f x f b a ≤ x dx − ∫ 50．设 f x( ) 在[ , a b]有连续的导函数，求证： 1 max | ( ) | | ( ) | | '( ) | . b b a x b a a f x f x dx f x ≤ ≤ b a ≤ + dx − ∫ ∫ 51．设 f x( ) 在[ , a b]可积，求证；存在连续函数序列 ( ), 1, 2, n ϕ x n = L，使 lim ( ) ( ) . b b n n a a ϕ x dx f x dx →∞ = ∫ ∫ 52．设 f x( ) 在[ , a b]黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列{[a b, ]}使 1 1 [ , ] ( , ) ( , ) n n n n a b a b a b + + ⊂ ⊂ , 且 1 ([ , ]) f n n a b n ω < ； - 10 -
