§1数列极限概念 第二章数列极限 s1数列极限概念 n=1,2,…,a=0 (1)对下列E分别求出极限定义中相应的N: e1=0.1,e2=0.01,E3=0.001 (2)对e1,e2,e3可找到相应的N,这是否证明了an趋于0? 应该怎样做才对? (3)对给定的e是否只能找到一个N? 解(1)当日1=01时,要使|a1-01=1+(=D≤20,都能找到相应的N才行.即由a-011) 证()1图为n1-1=n1
第二章数列极限 取N=[]+1则当n>N时n1-12)所以任给e>0,取N=mmx211+1, n 3n2 当n>N时有21-20,取N=[]+1,则当n>N时, 0|≤0,取N=[4]+1, 当n>N时有|sin-011,令a=1+λ,(λ>0),则a”=(1+入)n =1+n+n(n-1)x2+…+>n(n-1)2 n (n-1)入2(n-1)x2 对任给的e>0,取N=[2+1],当n>N时, n n <e,所以limn=0. 3.根据例2,例4,例5的结果求出下列极限,并指出哪些是无穷小 数列 (1)lim:(2)lim 3(3)lin m3 (4)lim 1. (6)limy10(7)
§1数列极限概念 解根据例2Im1=0(a>0),知:(1),(3)为0 根据例4limg”=0(1q10)知:(2),(6),(7)为1 其中(1),(3),(4),(5)是无穷小数列 4.证明:若 lima=a,则对任一正整数k,有 lima+k=a 证明若 lima=a,则由定义知:任给e>0,存在N,当n>N 时,|an-a|N时,n+k>n>N. 所以|an+k-a10,对N>0, 总彐n0>N,使得|an-a|≥E0,则a不是{an}极限 (1)对于常数1,30=5>0,v自然数N,总3n0=N+1>N 使得11,-1=N1≥2,所以数列的极限不是1 (2)当n=2k时an=2k∴ lima=+∝ 当n=2k-1时 2k-1 ma 极限不存在,发散 6.证明定理2.1,并应用它证明数列1+(=1)的极限是1. 证充分性因为{an-a}是无穷小数列,于是由定义知:对任 意的正数e,一定存在自然数N,当n>N时,1(an-a)-0 an-a|0,3自然数 N,当n>N时,1an-a|=1(an-a)-01<e
第二章数列极限 所以im(an-a)=0,即{an-a}是无穷小数列 因为11+(=1-11≤M且11是无穷小数列, 从而1+(-1)-1}是无穷小数列 故由定理21知,1是数列{1+ }的极限. 7证明:若iman=a,则im1anl=1a1,当且仅当a为何值时 反之也成立 证任给e>0,由 lima=a知:存在N,当n>N时, N时|an|-1a a|0,可取N=[12]+1,则当n>N时,1√n+1-√n1 ,}=0,可取N=[1]+1,当n>N时,1+2++≤1<e
§2收敛数列的性质 故lim 2+…+n (3)任给e>0,当n为奇数时,an-1=1Q2 mHn==1+N时,有|an-1< 因此 lima=1 S2收敛数列的性质 1.求下列极限 (2)lm12 (3)mc2 (4)lim(√n2+n-n) (5)imn(1+2+…+y10)(6)Iim 1+ 解(1)原式= (2)原式=lm(12+2)=0 (一)+1 (3)原式=li (-2)·(-)+3 (0式=n+n如71
第二章数列极限 5)原式=1+1+…+1=10 1-()x (6)原式=m 2.设lman=a, lim b=b且aN时有an0,根据两个已知条件分别存在 N,N2,当n>N1时,an-a|N2时,bn-b|b-e0=2(a+b) 取N=maxN1,N2},当n>N时,必有anN时有an0,使|bn≤Mn=1,2, 由{an}为无穷小数列知,对e>0,必彐N,当n>N时 an1N时,ahn-0=anln1sM·M=g, 所以 lima, b=0,即{anbn}为无穷小数列 4.求下列极限 (1)lm/1 m(1·22·3 n(n+1) )m(+2 1, (5)imn(2+ (n+1)2
§2收敛数列的性质 (6)lim 解(1)原式=im[(1-4)+ 1 nn+1 (2)2.2…=2=2= 而12时,}<1-1<1,im lim√1=1 由迫敛性定理知,lm、1-1=1 (5)由于0<1+ 2+(an+1)2+…*1n<+n十“ =n+1=1+12→0(n→∞)由迫敛性定理知,原式=0 (6)由于,< mm+n=m√m2+1=1由追敛性定理知,原式=1 5.设{an}与{bn}中一个是收敛数列,另一个是发散数列 证明{an±bn}是发散数列又问{ahn}和1(n≠0)是否必为发散数
第二章数列极限 证明不妨设man=a,{bn}发散假设{an+bn}收敛于b则由极限 性质知bn={an+bn}-an收敛于b-a,即 limb=b-a这与{bn}发散 相矛盾,故{an+bn发散同理可得{an-bn}发散{a1)与(红(bn≠0) 不一定发散 例如若取{an}={1},bn}={n,则{a}收敛,{bn}发散, 但{anbn},{}都收敛 6.证明以下数列发散 (1)(-1)n+1(2)n(D(3)os241 证(1)令an=(-1)n+1则ima2n=1,ima2n-1=-1 由定理28知,{(-1)”-n;}发散 (2)因为{n(-1)}为无界数列,由定理23知,{n(-1)}发散 (3)令 gu lim agk= limcos2kr 1, limas+4= limos(2k +1)T=-1 由定理2.8知s}发散 7.判断下列结论是否成立.(若成立,说明理由;若不成立,举出反 例) (1)若{ak1}和{a2k都收敛,则{an}收敛 (2)若{a3k-2},{a3-1},{a3k}都收敛,且有相同极限,则{an}收 敛 解(1)不成立.例如:(-1)n (2)由于{a3k收敛,设lma3k=a,而{a3k}中含有{a3k-1}的子 列所以{a3k-1中有一个子列收敛于a而{a3k-1}收敛,由定理28知 a3k-1}收敛于a.同理由于{a3k中含有{a3k-2的子列,{a3xk-2}也收
82收敛数列的性质 敛于a,所以{an}收敛于a 8.求下列极限 1.3..2 2∑P (3)lim[(n+1)-n2],(02时,n!2时1<P!<2m1)+1=2+1+1(n→∞)由 迫敛性定理知,im∑P!=1 (3)因为-1<a-1<0,所以(1+n)1<n-1 即(1+n)<n-1(n+1)=n-1+n 因此有0<(1+n)-n2<n1,且lmn-1=0 由迫敛性定理知,原式=0 (4)因为(1-a)(1+a)(1+a2)…(1+a2)=1-a4 因此lm(1+a)(1+a2)…(1+a2)=lim 9.设a1,a2,…,an为m个正数,证明 设 maxia,423
第二章数列极限 则a1=va0,an>0,则 liman=1 证(1)因为man-10,都有lm%a=1.由于 lima=a>0,则存在两正数h,k,当n充分大时,使h<an<k 所以五<an<吳又由lm=lm限=1,故iman=1 s3数列极限存在的条件 1.利用im(1+1)n=c,求下列极限: (1)lim(1-1)(2)lm(1+1)+1 (3)la(1+n1)(4)l=a(1+2)(5)m(1+ 解(1)原式=lim(型-1)x lim )n1·(1 m(+n1yx2.(+n1)c (2)原式=im(1+1)(1+1)=c