第六章微分中值定理及应用 第六章微分中值定理及应用 s1拉格朗日中值定理和函数的单调性 1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点,使得f()=0 1 (1)f(x)= 00 所以不存在一点∈(-1,1),使得f()=0. 2.证明:(1)方程x3-3x+c=0(这里c为常数)在区间[0,1]内 不可能有两个不同的实根; (2)方程x+px+q=0(n为自然数,p,q为实数)当n为偶数 时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根 证(1)记f(x)=x3-3x+c,用反证法假设f(x)=0在[0, 1]内有两个不同的实根x1,x2,那么f(x1)=f(x2),又因为∫(x)在 [0,1]上连续在(0,1)内可导,所以由罗尔中值定理知:存在一点∈ (0,1),使得f()=0 但f(x)=3(x2-1)只有两个实根x=±1,因此不存在e∈(0
§1拉格朗日中值定理和函数的单调性 1),使得∫()=0,于是推出矛盾 (2)设∫(x)=x+px+q,用反证法 1)当n=2k(k=1,2,…)为偶数时,假设f(x)=0至少有三个 实根x1,x2,x3,不妨设x1<x2<x3,则由罗尔中值定理知:存在1 ∈(x1,x2),2∈x2,x3),使得 f(1)=2k6k-1+p=0,f(62)=2k221+p=0,但由于幂函 数x21在(-∞,+∞)上严格递增从而f(x)=2kx2k-1+p也在 (-∞,+∞)上严格递增,而乓1<x2<2,所以f(1)<f(2),于 是推出矛盾. 2)当n=2k+1(k=0,1,2,…)为奇数时,若k=0,结论显然成 立若k=1,2,…,假设f(x)=0至少有四个实根,则由罗尔中值定理 f(x)=(2k+1)x2+p=0,即2k、,2k+1=0至少 有三个实根,这与(1)的结论矛盾 3.证明定理6.3的推论2 证设F(x)=f(x)-g(x),则因为F(x)在区间I上可导,且 F(x)=f(x)-g(x)≡0,所以由定理63的推论1知:F(x)为I 上的一个常量函数,即 F(x)=f(x)-g(x)=c(c为某一定数) 从而,在Ⅰ上有 f(x)=g(x)+c(c为某一定数) 4.证明:(1)若函数f在[a,b]上可导,且f(x)≥m,则 ∫(b)≥f(a)+m(b-a); (2)若函数f在[a,b]上可导,且f(x)≤M,则f(b)-f(a)≤ 16-a) (3)对任意实数x1,x2都有 证(1)因为f在[a,b]上可导,所以由拉格朗日中值定理知:存
第六章微分中值定理及应用 在E∈(a,b)使得 f(b)-f(a)=f()(b-a) 又f()≥m,故 f(b)-f(a)≥m(b-a),即f(b)≥f(a)+m(b-a) (2)因为f在[a,b]上可导,所以由拉格朗日中值定理知:存在 ∈(a,b)使得 f(b)-f(a)=1f()(b-a), 又1f()长≤M,所以f(b)-f(a)≤M(b-a) (3)当x1=x2时结论显然成立,当x1≠x2时,对函数sinx在以 x1,x2为端点的区间上应用拉格朗日中值定理,得 sinai -.?= cosf(x1-x2), 其中￡在x1与x2之间,因此 I sinT1-sinx2 I=I cosE 11 31-I2IsI 21-I2 I 5.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 b0. 1+h 证(1)因为f(x)=lnx在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,所以 由拉格朗日中值定理,存在∈(a,b)使得 In g= Inb- lna b 从而 b b∠b <In< (2)对函数f(x)= arctanr在[0,h]上应用拉格朗日中值定理 知:存在E∈(0,h)使得 arctan arctan -arctan=h 从而
§1拉格朗日中值定理和函数的单调性 1+h20,x≠0,故∫在(-∞,0)U( 内递增 7.应用函数的单调性证明下列不等式 (1)anx>x-,x∈(0,); (2)0 证(1)设f(x)=tnx-x+,则∫(x)=tan2x+x2>0, x∈(0,3),所以∫在(0,3)内严格递增只f(x)在x=0处连续且 f0)=0,故当00,即mx>x~3 133
第六章徽分中值定理及应用 2)设(2)=sx,则f(x)=(x-1nx)x000(x> 0)从而当x>0时,f严格递增.又f(x)在x=0处连续,且f(0)= 0,所以当x>0时,f(x)>0时,f(x)>0,即ln(1+x)>x- 设g(x) 2(1+x) ln(1+x),x>0.同理可证,当x> 0时,g(x)>0,即x >ln(1+x)综合上述结果可得,当 x>0时,有 <la(1+x)<x-2(1 8.以S(x)记由(a,f(a)),(b,f(b),(x,f(x))三点组成的三 角形面积,试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理 证易见 (x)=2bf(b)1, f(x)1 若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则S(x)亦在[a,b]上连
1拉格朗日中值定理和函数的单调性 续,在(a,b)内可导,且S(a)=S(b)=0,所以由罗尔中值定理知:在 (a,b)内至少存在一点E,使得S()=0而 f( I f(r)1 b-a f(b-f(a)0 f(a) [f(x)(b-a)-(f(b)-f(a)], 故 f(b)-f(a)=f()(b-a) 9.设f为[a,b]上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并存在一点 c∈(a,b)使得f(c)>0,证明至少存在一点E∈(a,b),使得∫() 0,所以f(1)>0,f(2)0 又由拉格朗日中值定理知:存在一点E∈(1,2)C(a,b),使得 f(2)-f(1)=f"()(2-61)∴f()<0 10.设函数f在(a,b)内可导,且f单调证明∫在(a,b)内连 证不妨设∫在(a,b)内单调递增,则对任一x0∈(a,b),必存 在x0的某一邻域U(x0)C(a,b).因为∫在U+(x0)内单调递增有 下界f(x0),在U(x0)内单调递增有上界f(xo),所以limf(x), imf(x)都存在从而由拉格朗日中值定理的推论
第六章徽分中值定理及应用 limf(r)=f+(xo), lim f()=f'(ro), 而f(x0)=f-(xo)=f(xo),故f(x)在(a,b)内连续. 11.设P(x)为多项式,a为P(x)=0的r重实根,证明:a必定是 P(x)的r-1重实根 证由题设P(x)=h(x)(x-a),其中h(x)为多项式,且 h2(a)≠0,从而 p(x)=(x-a)r[h'(x)(x-a)+rh(x)], 又因[h'(x)(x-a)+th(x)]|x=a=rh(a)≠0,所以a是p(x)= 0的r-1重实根 12.证明:设∫为n阶可导函数,若方程f(x)=0有n+1个相异 的实根,则方程fn(x)=0至少有一实根 证设f(x)=0的n+1个相异实根为 x00,证明方程x3+ax+b不存在正根 证由于f(x)=3x2+a 对于Vx>0,f(x)=3x2+a>0,单调增, 而当x=0f(0)=b>0 f(x)=x3+ax+b不存在正根 14.证明:mx>,z∈(0,5)
§2柯西中值定理和不定式极限 证原式等价于tanz·sinx>x2,x∈(0,5)设f(x)=tanx f(r)=sinx sect+1)-2x f(r)=3secx-cosx-2 f(r)=3tanxsecz sinx >0,xE(0,0) 故f(x)在(0,5)内严格递增.又f(x)在x=0处连续且f(0) 0,所以f(x)>0,x∈(0,)从而f(x)在(0,)内严格递增 又∫(x)在x=0处连续,且f(0)=0,所以∫(x)>0,x∈(0,5) 于是f(x)在(O,2)内严格递增且f(z)在z=0处连续,f(0)=0 所以∫(x)>0,x∈(0,5).即 tanx:sinx>x2,x∈(0, 15.证明:若函数f,g在区间[a,b]上可导,且∫(x)>g(x), f(a)=g(a),则在(a,b]内有f(x)>g(x) 证设F(x)=f(x)-g(x),则 F(x)=f(x)-g'(x)>0,x∈(a,b] 故F在[a,b]上严格递增,所以当x∈(a,b],有 F(x)>F(a)=0故在区间(a,b]上f(x)>g(x) S2柯西中值定理和不定式极限 1.试问函数f(x)=x2,g(x)=x3在区间[-1,1]能否应用柯西 中值定理得到相应结论,为什么? 解不能得到,因为∫(x)=2x,g(x)=3x2,当x=0时 f(x)=g(x)=0,不满足柯西中值定理的条件 2.设函数f在[a,b]上可导证明:存在∈(a,b)使得
第六章微分中值定理及应用 ELf(b)-f(a)]=(b2-a2)f() 证设F(x)=(b2-a2)f(x)-[f(b)-f(a)]x2,则F(x)在 [a,b]上可导.且F(a)=F(b)故由罗尔中值定理各:存在∈(a b),使得 F()=(b2-a2)f(e)-2E[f(b)-f(a)]=0 即2[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f() 3.设函数∫在点a,具有连续的二阶导数证明 f(a+h)+f(2-h)=2()=r(a) 证设g(x)=f(x)-f(x-h),并取绝对值充分小的h,使得 f(x)在U(a,21h1)内有定义则由拉格朗日中值定理知 f(a+h)+f(a-h)-2f(a f(a+h)-f(a)]-[f(a)-f(a-h)] =g(a+h)-g(a)=g(1)h =[f(1)-f(1-h)lh=f()h2 其中1在a与a+h之间,在1与1-h之间因此 lm(a+b)+(2-h)-2(a)=mf(e), 注意到当h→0时,有E→a,且f(x)在点a连续,所以 (a+h)+fa-h)-2f(a f"(a) 4.设0<a<B<试证明存在∈(a,),使得 sina- sinB= cane Csa 证因为f(x)=-sinx,g(x)=08x在[a,月上连续,在(a,B) 内可导,f(x cx,g(x)=-sinx在(a,B)内不同时为零 g(a)≠g(P),所以由柯西中值定理知:存在0∈(a,B),使得 sina-sing cano aos CoSa 138
§2柯西中值定理和不定式极限 5.求下列不定式极限 (1)lim et-1 (2) lim 1-2sint (3)Iin In(1+2-I(4)lim tantI cos-1 D SInr (5)lim tanI-6 (7)imn(amx)如;(8)lmz (9)lmn(1+x2) (10)lim sinrInz; (1)(32-21-);(12)hm(如)2 F (1)lim sint= lim osz=1 (2)lim I-2sinx In(1+x-x 1+x (3)ig 一sn (4) 2secxtanr=2 limped=2 (5)lim tanzt-6 \it sect tanz r2 secr+ (6)limt 1)=1x(-1)=1-1+ 2e + xe (7)lim(tanr )aint lim e ainrintanr=elim sinrintanr =e lim bane Iim aec raint =ex-0 r limen