第十章定积分的应用 第十章定积分的应用 s1平面图形的面积 1.求由抛物线y=x2与y=2-x2所围图形的面积 解两曲线的交点是(-1,1),(1,1),所以所围的平面图形的面 积为 S=[(2-x2)-x2]dx= 2.求由y=|nx与直线x=1,x=10,和x轴所围图形的面 A S=IInx i dr=,-Inxdr+Inzdx (ahx-x)+(hx-x)|=010-8 3.抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两部分,求这两部分面积 之比 解抛物线y2=2x与圆x2+y2=8的交点P(2,2),Q(2,-2), 抛物线y2=2x把圆分成两部分,记它们的面积分别为A1、A2,则 A1=8-3-)=8B-号=3+2x A2=8r-A1=8 4 2x=6x A 2π+ 故A26x-3
§1平面图形的面积 4.求内摆线x=as3t asin2t(a>0)所围图形的面积 解S=412asin2(ax2t)tl 423a2sin'toos tdt .求心形线r=a(1+00s)(a>0) 图10-1-4 所围图形的面积 解r=a(1+csa)(a>0)是心脏线,其 参数方程为 JI=a(1+cos0)cos0 y=a(1+∞s)sin0≤0≤r 则 S=i a(1+as0)sin[a(1+aB0)B0 Jao I 图10-1-5 6求三叶形曲线r=asin30(a>0)所围 图形的面积 解所求的面积为 S=6 aisin 3000= 7.求 1(a,b>0)与坐标轴 所围图形的面积 图10-1-6 解曲线与z轴交点为(a,0),与y轴交点为(0,b),y=[√b-
第十章定积分的应用 x]2,所以所求面积为 a)2z=6(-√a)d 2ab(1-t)2udt 8.求由曲线x=t-t2,y=1-t4所围 图形的面积 解当t=-1,1时,x=0,y=0.故当 t由-1变到1时,曲线从原点出发到原点,构 成了一个封闭曲线围成的平面图形,故 I y(t)lx(t)dt (1-t1)(1图10-1-8 3t2)d (1-t4-3t2+3t)dt 9求二曲线r=sn0与r=√3s0所围公共部分的面积 图10 图10-1-10 10.求椭圆2+y2=1与2+y2=1(a>0,b>0)所围公共 部分的面积(图10-7)
§2由平行截面面积求立体体积 解图形关于两坐标轴对称,故只须求第一象限的图形面积在 第一象限内,解得交点为(ab/√a2+b2,ab/√a2+b2),又根据对称 性,所求面积S=8S1,其中 x)da sim. 1_a2b2 2a2+b2 arcsin-6 所以,S=4 abasin 2+b2 §2由平行截面面积求立体体积 1如图10-13所示,直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积 解如图所示建立直角坐标系,则椭圆柱面的方程为 101 1,斜面的方程为Z=2用平面x=t截这个立体,得一长方形,其边 长是 所以A(x)=4x1 从而 2.求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积 (1)y=sinx,0≤x≤π,绕x轴 (2)x=a(t-snt),y=a(1-∞ost)(a>0),0≤t≤2x,绕x 轴
第十章定积分的应用 (3)r=a(1+∞s0)(a>0),绕极轴; (4) 1,绕y轴 解(1)V=rsin2adz 至」(1 2[x-2m2= (2)V=r a2(1-cos)dla(t-sint) a2(1-cost )3di oSt)dt =52a3 (3)r=a(1+cs0)(a>0)是心脏线,而 a(1 (1+cos0) 是心脏线极轴之上部分的参数方程, v=I Tydr 1-12.ydr ra (sin 0+2sin0oos0+sin 0co20)(1+2c0s0) (4)原方程可写成y=b√1-x2a2,所以 62 m2(1-2)ldr 3已知球半径为验证高为h的球缺体积V=m(”-3 254
2由平行截面面积求立体体积 解球冠体积可看作是曲线y=√R2-x2,R-h≤x≤R绕 x轴旋转而得到的,所以体积为 =x[R2x-1x2]1=mh2(R-B 4.求曲线x=Ro3t,y=Rsin3连上绕x轴旋转 所得立体体积(这里R为正实数) 解V dr= rr"sin tdRcos't 5.导出曲边梯形0≤y≤f(x),a≤x≤b绕y轴 旋转所得立体的体积公式为 图10-2-4 证如曲线梯形,绕y轴旋转一周后,其在x处的截面图形面积 (为一圆柱的侧面积)为 A f(x)a≤x≤b 则仿照课本思想,所围立体体积为 V=2rxf(x)dx证毕 6.求0≤y≤sinx,0≤x≤r所示平面图 形绕y轴旋转所得立体的体积 解曲线y=sinx可分成两部分 ,0≤y≤1 用y=t截这个立体,其截面面积为 图10-2-6 A(r)=[(- arcsin )2-(arcsin )2] 3-2r2 arcsin
第十章定积分的应用 即面积函数为A(y)=x2-2x2 arcsin,故 V=|(3-2 S3平面曲线的弧长与曲率 1.求下列曲线的弧长 ≤x≤ (3)x=a∞s3t,y=asin3t(a>0),0≤t≤2r; (4)I= a(oost tsint),y= a(sint-toost(a >0),00),0≤0≤3x; (6)r=a0(a>0),0≤0≤2x 解(1)由于y=3x,故 dr (1 (10√10-1) (2)由√x+ 1得y=(1 )2,0≤x≤1, 从而,y=-(1-√x)/x,所以, 2x-2√x+1d√x =1+y2ln(1+√2) (3)由于x′=-3aos2tint,y=3ain2tost,所以 S 3avsin2toos't (sin?t +cost )dt sin2t i dt 6 (4)因为x= atcost,y= atsina,所以
83平面曲线的弧长与曲率 S (5)S=」y√(asn3)2+[(asin39)y2d (1-cs sin2 g dO (6)S=√a2a2+a2d=a√1+2d =ax√1+4x2+分ln(2x+√1+4x2) 2.求下列各曲线在指定点处的曲率 (1)xy=4,在点(2,2);(2)y=lnx,在点(1,0); (3)x=a(t-sint),y=a(1-st)(a>0),在t=5的点 (4)x=ao2t,y=asin3t(a>0),在t=的点 解(1)y=,y 4,y=3,从而 所以,曲线在点(2,2)处的曲率为 (1+1)2 )由于y1x=1=11 所以 12)2 (3)由于x1==a(1-∞)1t=2=a, xIsi aint I 257
第十章定积分的应用 yz2= acost It=2=0, 所以,k a+ a (4)x(t)=-3acos tsint, I'(t) y'(t)=basin toost,y(t)=3asint(cos2't-sin2t) 所以,x(4)=-32 4a,x"(4)=32 32a,故 (342a)2 )21 K Ity -Ty a 342)2+(342a 3.求a,b的值,使椭圆x= a cost,y= bint的周长等于正弦曲 线y=sin在0≤x≤2π上一段的长 解椭圆x=acst,y= bint的圆长为 Sn="√ a2sin2t+boxt 正弦曲线y=snx在0≤x≤2m上一段的长为 1+cos2 rdr 2cosT sinca 由sinx,csx地位的对等性,知 a=2,b=1或a=1,b= 4.设曲线由极坐标方程r=r(0)给出,且二阶可导,证明它在点 (r,0)处的曲率为 3 证当方程由极坐标系转换成直角坐标系时,曲线以O为参数的 方程为x=f(0)c0,y=f(0)sin0,从而 r(0)=f(0)cos0-f(osino
§3平面曲线的弧长与曲率 x"(0)=f(0)os0-f(0)sin0-f(0)sin0-f(0)cs [f"(0)-f(0)]cxs0-2f(0)sin0 y(0)=f(asing+ f(a)cos0, y(0)=[f(0)-f(0)lsin0+2f()cs0 故 xy =r4+2 所以 K 5.用上题公式,求心形线r=a(1+s0)(a>0)在=0处的 曲率、曲率半径和曲率圆 解对于心形线r=a(1+cos0)(a>0),由r(0)=2a 0|a=0=0, 0=0=- 10=0=-a 故它在θ=0处的曲率为 K ⊥(2a)2-2a(-a) [(2a)2]2 14 曲率半径为R=1=3a,曲率圆的圆心在x轴上,半径为a,方程 为 )2+y2 6.证明抛物线y=ax2+bx+c在顶点处的曲率为最大 证在点(x,y)处抛物线y=ax2+bx+c的曲率半径为 R(x)= +y2)2(4a2x2+4az+b2+1)2 k 令∫(x)=4a2x2+4abx+b2+1,则 f(x)=8a2x+4ab,f(x)=8a2 所以当x b 时,f( 0,f( b =8a2>0
