习题10.4函数的幂级数展开 1.求下列函数在指定点的 Taylor展开,并确定它们的收敛范围: 1;(2) (4)sin x, x (5)In x, xo=2 0 1 x+1 (8)(1+x)ln(1-x) 0; 解(1)令x-1=1,则 1+2x3x2+5x3=1+2(+1)-3(+1)2+5(+1) =5+11+1212+5r3=5+11(x-1)+12(x-1) 因为级数只有有限项,所以收敛范围是D=(-∞,+∞)。 (2)由x=-(+5=(x+y,应用逐项求导得到 ∑n( ∑(n+1)(x+1) 级数的收敛半径为R=1 当x=-2与x=0时,级数发散,所以收敛范围是D=(-2,0)。 (3) 2-x-x2(2+x)1-x)3(1-x2+x 3/2x2-(y1121 级数的收敛半径为R=1。 当x=±1时,级数发散,所以收敛范围是D=(-1,1) (4) sin x=sin((x-)+-1=sin-cos(x +cossin(x-) 6 6
习 题 10. 4 函数的幂级数展开 1. 求下列函数在指定点的 Taylor 展开，并确定它们的收敛范围： ⑴ 1 + 2x-3x 2 + 5x 3 ，x0 = 1; ⑵ 2 1 x ， x0 = -1; ⑶ 2 2 x x x − − ， x0 = 0; ⑷ sin x， x0 = 6 π ; ⑸ ln x ， x0 = 2; ⑹ 3 4 − x 2 ， x0 = 0; ⑺ 1 1 + − x x ， x0 = 1; ⑻ (1+x) ln (1-x), x0 = 0; ⑼ ln x x − + 1 1 ， x0 = 0; ⑽ x x − − 1 e , x0 = 0。 解（1）令 x −1 = t，则 1 + 2x-3x 2 + 5x 3 2 3 = 1+ 2(t +1) − 3(t +1) + 5(t +1) 2 3 = 5 +11t +12t + 5t 2 3 = 5 +11(x −1) +12(x −1) + 5(x −1) 。 因为级数只有有限项，所以收敛范围是D = (−∞,+∞)。 （2）由 1 ( 1) 1 1 − + = − x x ∑ ∞ = = + 0 ( 1) n n x ，应用逐项求导得到 2 1 x = ∑ + = ∞ = − 1 1 ( 1) n n n x ∑ ∞ = + + 0 ( 1)( 1) n n n x 。 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = −2与 x = 0时，级数发散，所以收敛范围是D = (−2,0)。 （3） 2 2 x x x − − (2 x)(1 x) x + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = x 2 x 2 1 1 3 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∑ − ∑ ∞ = ∞ =0 0 2 ( 1) 3 1 n n n n n n x x n n n n ∑ x ∞ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = + 0 1 2 ( 1) 1 3 1 。 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = ±1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,1)。 （4） sin sin[( ) ] 6 6 x x π π = − + = − ) + 6 cos( 6 sin π π x cos sin( ) 6 6 x π π − 1
2m6(2n+1)!6 级数的收敛半径为R=+,所以收敛范围是D=(-∞,+∞)。 (5)hx=hn2+(x-2)=1n2+ln1+ 2=ln2+∑ 级数的收敛半径为R=2 当x=4时,级数为m2+∑D,收敛:当x=0时,级数为 n2+∑,发散。所以收敛范围是D=(4。 6)4-×=(=5g=31 n 级数的收敛半径为R=2 当x=时,级数为∑-1)3,令n=(-113,则 3(n+1) 4 1|=li > n→0 由Rabe判别法,级数收敛。所以收敛范围是D=[-2,2]。 (7)x-1=1x1=x-s)(x-1y=-)(x-1 x+1 级数的收敛半径为R=2。 当x=3与x=-1时,级数发散,所以收敛范围是D=(-1,3) (8)(+x)(-x)=(1+x∑ 级数的收敛半径为R=1
2 0 1 ( 1) ( ) 2 (2 )! 6 n n n x n π ∞ = − = − ∑ + 2 1 0 3 ( 1) ( ) 2 (2 1)! 6 n n n x n π ∞ + = − − + ∑ 。 级数的收敛半径为R = +∞ ，所以收敛范围是D = (−∞,+∞)。 （5） ln x x = + ln[2 ( − 2)] ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + 2 2 ln 2 ln 1 x n n n n x n ( 2) 2 ( 1) ln 2 1 1 − ⋅ − = + ∑ ∞ = + 。 级数的收敛半径为R = 2 。 当 x = 4时，级数为 ∑ ∞ = + − + 1 1 ( 1) ln 2 n n n ，收敛；当 x = 0时，级数为 ∑ ∞ = − + 1 1 ln 2 n n ，发散。所以收敛范围是D = (0,4]。 （6） 3 2 4 − x = ⋅ 3 4 3 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x n n n n x n 2 0 2 3 3 1 2 ( 1) 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ ∞ = 。 级数的收敛半径为R = 2 。 当 x = ±2时，级数为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ − ∞ = n n n 3 1 4 ( 1) 0 3 ，令 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − n u n n 3 1 ( 1) ，则 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ lim 1 n 1 n n u u n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + →∞ 1 3 1 3( 1) lim n n n n 1 3 4 > ， 由 Raabe 判别法，级数收敛。所以收敛范围是D = [−2,2]。 （7） 1 1 + − x x = − + − = ⋅ 2 1 1 1 2 1 x x − = − − ∑ ∞ = n n n n x x ( 1) 2 ( 1) 2 1 0 n n n n (x 1) 2 ( 1) 1 1 − − ∑ ∞ = − 。 级数的收敛半径为R = 2 。 当 x = 3与 x = −1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,3)。 （8） 1 1 (1 )ln(1 ) (1 ) ( ) n n x x x x n ∞ = + − = + ∑ − = n n x n n x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − 2 1 1 1 。 级数的收敛半径为R = 1。 2
当x=1时,级数发散;当x=-1时,级数收敛。所以收敛范围是 D=[-1)。 (9) 1 级数的收敛半径为R=1 当x=±1时,级数发散,所以收敛范围是D=(-1)。 (10) m5+ 设级数的x"项的系数为an,则 (n≥4) 所以级数的收敛半径为R=1。 当x=±1时,级数的通项不趋于零,级数发散。所以收敛范围是 D=(-1,1)。 2.求下列函数在x0=0的 Taylor展开 至 (2)emx至 3) In cos x至 (),+x至x 解(1) =1+(x-10 1+-x2+-x (2) en x=1+sin x+sin x+=sin'x+sin*x+
当 x = 1时，级数发散；当 x = −1时，级数收敛。所以收敛范围是 D = [−1,1)。 （9） 1 ln 1 x x + − [ ] 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 = + x − − x 1 1 1 ( 1) 1 2 n n n n x x n n ∞ − = ⎡ − ⎤ = + = 2 1 0 2 1 1 + ∞ = ∑ + n n x n ⎢ ⎥ 。 ⎣ ⎦ ∑ 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = ±1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,1)。 （10） x x − − 1 e ∑ ∑ ∞ = ∞ = ⋅ − = 0 ! 0 ( ) n n n n x n x n n n x n ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − + − + 2 ! ( 1) 4! 1 3! 1 2! 1 1 " 。 设级数的 xn项的系数为an ，则 2! 1 3! 1 2! 1 − < an < (n ≥ 4)， 所以级数的收敛半径为R = 1。 当 时，级数的通项不趋于零，级数发散。所以收敛范围是 。 x = ±1 D = (−1,1) 2. 求下列函数在x0 = 0 的Taylor展开 ⑴ x x sin 至 x 4 ； ⑵ sin x e 至 ； 4 x ⑶ ln cos x至 x 6 ； ⑷ x x − + 1 1 至x 4 。 解 (1) = x x sin = − 3 + 5 −" 120 1 6 1 x x x x 2 4 1 1 1 1 6 120 x x ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ " 1 1 2 4 1 6 120 x x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ " 2 1 1 2 4 6 120 x x ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ − + + ⎝ ⎠ " " 1 7 2 4 1 6 360 = + x + x +"。 (2) sin x e = + x + 2 x + 3 x + sin 4 x +" 24 1 sin 6 1 sin 2 1 1 sin 3
3) In cos x=In[1-(1-COS x)]=-(1-cos x)-(1-cos r)s I (1-cos x) 2(2 1+x =1+2(x+x2+x3 )=1+(x x+x+x+ 24 =1+x+-x2+-x3+-x++ 3.利用幂级数展开,计算下列积分,要求精确到0.001 sIn x cosx ax arctan x d dx Tx 解(1 (-1) 0(2n+1)! (2n+1)(2n+1) 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值, 设 ,由于u3≈0.0003因此前面4项之和的小数部 (2n+1)!(2n+1) 分具有三位有效数字,所以 x n (2m)! 2n)(4n+1 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值 设 由于u3≈0001,因此前面4项之和的小数部分具 (2n)(4n+1)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − 3 +" 6 1 1 x x 2 3 6 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x − x +" 3 3 6 1 6 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x − x +" "⎟ +" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + 4 3 6 1 24 1 x x = + + 2 − 4 +" 8 1 2 1 1 x x x 。 (3) ln cos x = − ln[1 (1− cos x)] = − − − − 2 − (1− cos ) 3 −" 3 1 (1 cos ) 2 1 (1 cos x) x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 − 4 +" 24 1 2 1 x x 2 2 4 24 1 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x − x +" "⎟ −" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + 3 2 4 24 1 2 1 3 1 x x = − 2 − 4 − 6 −" 240 7 12 1 2 1 x x x 。 (4) x x − + 1 1 1 2( ) = + x + x 2 + x3 + x 4 +" 1 ( ) = + x + x 2 + x 3 + x 4 +" 2 3 2 ( ) 2 1 − x + x + x +" 2 3 ( ) 2 1 + x + x +" 4 ( ) 24 15 − x +" = + + 2 + 3 + 4 +" 8 3 2 1 2 1 1 x x x x 。 3. 利用幂级数展开，计算下列积分，要求精确到 0.001。 ⑴ ∫ 1 0 d sin x x x ； ⑵ ∫ 1 0 2 cos x d x； ⑶ ∫ 2 1 0 d arctan x x x ； ⑷ ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x 。 解 (1) ∫ 1 0 d sin x x x ∫ ∑ ∞ = + − = 1 0 0 2 d (2 1)! ( 1) x x n n n n ∑ ∫ + − = ∞ = 1 0 2 0 (2 1)! ( 1) x dx n n n n ∑ ∞ = + + − = 0 (2 1)!(2 1) ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 (2 1)!(2 1) 1 + + = n n un ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小数部 分具有三位有效数字，所以 u3 0.00003 4 ∫ 1 0 d sin x x x ≈ ∑ = + + − 3 0 (2 1)!(2 1) ( 1) n n n n ≈ (2) ∫ 1 0 2 cos x d x ∫ ∑ ∞ = − = 1 0 0 4 d (2 )! ( 1) x x n n n n ∑ ∫ − = ∞ = 1 0 4 0 d (2 )! ( 1) x x n n n n ∑ ∞ = + − = 0 (2 )!(4 1) ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 (2 )!(4 1) 1 + = n n un ，由于u3 ≈0.0001，因此前面4项之和的小数部分具 4
有三位有效数字,所以 coSx ax ≈ n arctan x dx=∑ (1)x2n dx -xdx= 2n+1 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值, 设u 由于u3≈0.0006,因此前面4项之和的小数部 n 分具有三位有效数字,所以 T2 arctan x (4)∫ d d x ∫2 (-1)2 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值, 设un 由于l4≈0.0004,因此前面4项之和的小数部分 具有三位有效数字,所以 d 4.应用°-在x=0的幂级数展开,证明 n 证 -1)=∑ n (n+1)! 应用逐项求导,得到 =1(n+1) 以x=1代入,即得到 5.求下列函数项级数的和函数 n(n+1)(2-x
有三位有效数字，所以 ∫ 1 0 2 cos x d x≈ ∑ = + − 3 0 (2 )!(4 1) ( 1) n n n n ≈ (3) ∫ 2 1 0 d arctan x x x ∫ ∑ ∞ = + − = 2 1 0 2 0 d 2 1 ( 1) x x n n n n ∑ ∫ + − = ∞ = 2 1 0 2 0 d 2 1 ( 1) x x n n n n 2 1 0 2 2 1 (2 1) ( 1) + ∞ = ⋅ + − = ∑ n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 2 2 1 2 1 (2 1) 1 + ⋅ + = n n n u ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小数部 分具有三位有效数字，所以 u3 0.00016 4 ∫ 2 1 0 d arctan x x x ≈ 2 1 3 0 2 2 1 (2 1) ( 1) + = ⋅ + − ∑ n n n n ≈ (4) ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 3 3 1 1 d x x x ∫ ∑ +∞ ∞ = − − = 2 1 3 1 ( 1) dx n x n n ∑ ∫ +∞ ∞ − = − = 2 3 1 1 ( 1) dx x n n n ∑ ∞ = − − − − = 1 3 1 1 (3 1)2 ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 3 1 (3 1)2 1 − − = n n n u ，由于 ≈ ，因此前面4 项之和的小数部分 具有三位有效数字，所以 4 u 0.00004 ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x ≈∑ = − − − − 4 1 3 1 1 (3 1)2 ( 1) n n n n ≈ 4. 应用 x x e −1在 x = 0 的幂级数展开，证明： ∑ ∞ =1 ( +1)! n n n = 1。 证 = − x e x 1 ∑ − = ∞ = 1) ! ( 1 n 0 n n x x ∑ = ∞ = − 1 1 n ! n n x ∑ ∞ n=0 ( +1)! n n x , 应用逐项求导，得到 = − + 2 1 x xe e x x ∑ ∞ = − 1 + 1 n ( 1)! n n nx ， 以 x = 1代入，即得到 ∑ ∞ =1 ( +1)! n n n = 1。 5．求下列函数项级数的和函数 （1）∑ ∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − 1 2 1 2 2 ( 1) ( 1) n n n x x n n ； 5
2) 解(1)令()=上(m,应用逐项求导,得到 n(n+1 f"(1)=∑(-1)”t 于是 f()=ln(1+1),f(1)=Jn(1+)dt=(1+1)n(+1)-t, 从而得到 t"=(1+-)ln(1+t)-1,t∈[-1,] n(n+1) 以 代入,得到 y(-1)n-1 2(x2+4) In1,求级数∑的和 解设an=c+(n-l)d,n=1,2,…,则 d b 首先我们有 ib"b I d。设(以= 「0(x)=21x.上b X =26 b 于是f(x) ,所以
（2）∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + 1 1 2 1 1 n n x n " 。 解 (1) 令 1 1 1 ( 1) ( 1) ( ) + ∞ = − ⋅ + − = ∑ n n n t n n f t ，应用逐项求导，得到 t f t t n n n + = − = − ∞ = − ∑ 1 1 "( ) ( 1) 1 1 1 ， 于是 f '(t) = ln(1+ t) ， = ∫ + = t f t t dt 0 ( ) ln(1 ) (1+ t)ln(1+ t) − t ， 从而得到 )ln(1 ) 1 1 (1 ( 1) ( 1) 1 1 ⋅ = + + − + − ∑ ∞ = − t t t n n n n n ，t ∈[−1,1]。 以 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = x x t 代入，得到 1 ( 2) 2( 4) ln ( 2) 2( 4) 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2 1 1 − − + + + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − ∑ ∞ = − x x x x x x n n n n n , x ∈(− ∞,0]。 (2) 由级数乘法的 Cauchy 乘积， ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = n n x 1 n 1 2 1 1 " ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=1 n n x − x − x = 1 1 ln 1 1 , 其中 x ∈ (−1,1) 。 6．设{an }是等差数列，b > 1，求级数∑ ∞ n=1 n n b a 的和。 解 设an = c + (n −1)d , n = 1,2,"，则 ∑ = ∞ n=1 n n b a ∑ + ∞ =1 1 n n b c ∑ ∞ = − 2 1 n n b n d 。 首先我们有 1 1 1 1 1 1 1 1 − = − ∑ = ⋅ ∞ = b b n b b n 。设 2 2 1 ( ) − ∞ = ∑ − = n n n x b n f x ，则 ∫ ∑ ∞ = − = x n n n b x f x dx 0 2 1 ( ) b b x x − = ⋅ 1 1 2 b(b x) x − = ， 于是 2 ( ) 1 ( ) b x f x − = ，所以 6
f(1)= 从而得到 an =c∑+d)n-1 c(b-1)+d (b-1)2 7.利用幂级数展开,计算 dx 解 lr d=∫(∑x2hnx=∑x2 利用例题1046中得到的结果∑=x,等式两边乘以1,得到 ,两式相减,得到 n=1(2n 24 于是得到 8.(1)应用= arctan+ arctan,计算r的值,要求精确到10-; (2)应用兀= arcsin-,计算π的值,要求精确到10-。 解(1)z=4 arctan+ arctan)=2(-)-/4/11 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值, 设un=2n ,由于u1≈0.00038,因此前面7项之和的小 数部分具有四位有效数字,所以 ≈∑(-1 ≈3.1416 丌=6 arcsin=+∑ (2n-1)!! (2m)!(2n+1) 设 2n-1)!! 由于 ≈00000125,因此前面 7项之和的小数部分具有四位有效数字,所以
2 2 ( 1) 1 (1) 1 − = = − ∑ ∞ = b f b n n n 。 从而得到 ∑ = ∞ n=1 n n b a ∑ + ∞ =1 1 n n b c 2 2 ( 1) 1 ( 1) − − + = − ∑ ∞ = b c b d b n d n n 。 7．利用幂级数展开，计算∫ − 1 0 2 1 ln dx x x 。 解 ∫ ∫ ∑ ∑∫ ∞ = ∞ = = = − 0 1 0 1 2 0 0 1 2 0 2 ( ln ) ln 1 ln n n n n dx x x dx x xdx x x ∑ ∞ = + = − 0 2 (2 1) 1 n n ， 利用例题 10.4.6 中得到的结果 6 1 2 1 2 π ∑ = ∞ n= n ，等式两边乘以 4 1 ，得到 (2 ) 24 1 2 1 2 π ∑ = ∞ n= n ，两式相减，得到 (2 1) 8 1 2 0 2 π = + ∑ ∞ n= n ， 于是得到 1 8 ln 2 1 0 2 π = − − ∫ dx x x 。 8． (1) 应用 4 π = arctan 2 1 + arctan 3 1 , 计算π的值，要求精确到10 −4 ； (2) 应用 6 π = arcsin 2 1 , 计算π的值，要求精确到10 −4 。 解 (1) π = 4( arctan 2 1 + arctan 3 1 ) ∑ ∞ = − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − 1 2 1 2 1 1 3 1 2 1 2 1 4 ( 1) n n n n n 。 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 2 −1 2 −1 3 1 2 1 2 1 4 n n n n u ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小 数部分具有四位有效数字，所以 u7 0.000038 7 π ≈ ∑ = − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − 7 1 2 1 2 1 1 3 1 2 1 2 1 4 ( 1) n n n n n ≈3.1416。 (2) π = 6 arcsin 2 1 ∑ ∞ = + ⋅ + − = + 1 2 1 2 1 (2 )!!(2 1) (2 1)!! 2 1 n n n n n 。 设 2 1 2 1 (2 )!!(2 1) (2 1)!! + ⋅ + − = n n n n n u ，由于 ∑ < ∞ n=6 n u ∑ ∞ = + 6 2 1 2 1 13 1 n n ≈ ，因此前面 项之和的小数部分具有四位有效数字，所以 0.0000125 7 7
丌=6 arcsin≈+∑ 2=(2n)1(2n+1)22+~3.1416。 9.利用幂级数展开,计算∫cd的值,要求精确到10。 解 ∫e-k=s(y t=罗( n=o n!xx n=0 n!x 13+∑ 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值, m0--y=),由于n1<000,因此前面8项之和的小数 部分具有四位有效数字,所以 eax≈2-ln3+y(-1)
π = 6 arcsin 2 1 ≈ ∑ = + ⋅ + − + 6 1 2 1 2 1 (2 )!!(2 1) (2 1)!! 2 1 n n n n n ≈3.1416。 9．利用幂级数展开，计算∫ 3 − 1 1 e dx x 的值，要求精确到10 −4 。 解 ∫ 3 − 1 1 e dx x ∫ ∑ ∞ = − = 3 1 0 ! ( 1) dx n n x n n ∑ ∫ − = ∞ = 3 1 0 ! ( 1) dx n x n n n ∑ ∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − + 2 1 3 1 1 !( 1) ( 1) 2 ln3 n n n n n 。 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = −1 3 1 1 !( 1) 1 n n n n u ，由于u7 < 0.000033，因此前面 项之和的小数 部分具有四位有效数字，所以 8 ∫ 3 − 1 1 e dx x ≈ ∑ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − + 7 2 1 3 1 1 !( 1) ( 1) 2 ln 3 n n n n n ≈ 8
习题10.5用多项式逼近连续函数 1.求f(x)=x的 Bernstein多项式B,(f,x) 解B(,x)=∑cx(-x)=∑-1)k-2nx2(1-x)yk x 利用等式C k nl ,可分别得到 n k(k-1(k-2 Cx2(1-x)+k=S(n=1)n-2 n-k (n-1)(n-2) -3(1-x)n-k(n- D)(n 22 nCnr(1-x)*=230n-Dck-2x(1-x)k 3(n-1) (1 所以 B,(, x) (n-1)(n-2)3,3(n-1) 2.设f(x)=√x,x∈[0,1],求它的四次 Bernstein多项式B:(fx) 解 B4(,x)=∑ 3+3√2x2(1-x)2+23x(-x)+x (3y2-2√3-1)x4+2(3+√3-3√2)x3+3(√2-2)x 3.设f(x)在[a,b上连续,证明:对任意给定的E>0,,存在有理系数 多项式P(x),使得 P(x)-f(x)0,存在多项式Q(x),使得对 切x∈[a,b]成立 (x)-f(x) 设Q(x)=∑bx4,其中b(k=0.12.…,n)是实数,由于有理数集合在 k=0
习 题 10. 5 用多项式逼近连续函数 1. 求f (x) = x 3 的Bernstein多项式Bn (f , x)。 解 Bn ( f , x) = k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 3 − + − − = − = ∑ k k n k n n k C x x n k k k (1 ) ( 1)( 2) 3 3 − + − − = ∑ k k n k n n k C x x n k k (1 ) 3 ( 1) 2 3 k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 。 利用等式 1 1 !( )! ! − = − − = ⋅ k n k n C k n k n n k C n k ，可分别得到 − = − − − = ∑ k k n k n n k C x x n k k k (1 ) ( 1)( 2) 3 3 k k n k n n k C x x n n n − − − = − − − ∑ (1 ) ( 1)( 2) 3 3 3 2 − = − − = − − − − = ∑ k k n k n n k x C x x n n n (1 ) ( 1)( 2) 3 3 3 3 3 2 3 2 ( 1)( 2) x n n − n − ； − = − − = ∑ k k n k n n k C x x n k k (1 ) 3 ( 1) 2 3 k k n k n n k C x x n n − − − = − − ∑ (1 ) 3( 1) 2 2 2 2 k k n k n n k x C x x n n − − − − = − − = ∑ (1 ) 3( 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 3( 1) x n n − = ； k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 k k n k n n k C x x n − − − = = ∑ (1− ) 1 1 1 1 2 k k n k n n k x C x x n − − − − = = ∑ (1− ) 1 1 1 1 1 2 x n 2 1 = 。 所以 Bn ( f , x) = k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 3 3 2 ( 1)( 2) x n n − n − = 2 2 3( 1) x n n − + x n 2 1 + 。 2. 设 f (x) = x ，x∈[0, 1]，求它的四次 Bernstein 多项式B4 (f ,x)。 解 B4 ( f , x) = k k k k C x x k − = ∑ − 4 4 4 1 (1 ) 4 3 = 2x(1− x) 2 2 + 3 2x (1− x) 2 3 (1 ) 3 + x − x 4 + x 4 = (3 2 − 2 3 −1)x 3 + 2(3 + 3 − 3 2)x 3( 2 2)x 2x 2 + − + 。 3. 设 f (x)在[a, b]上连续，证明：对任意给定的ε > 0，，存在有理系数 多项式 P(x)，使得 P x( ) − f ( ) x 0，存在多项式 ，使得对一 切 成立 Q(x) x ∈[a,b] 2 ( ) ( ) ε Q x − f x < 。 设 ∑ ，其中 = = n k k k Q x b x 0 ( ) bk (k = 0,1,2,", n)是实数，由于有理数集合在 9
实数集中是稠密的,可以取有理数a(k=0.2,…,n)分别与 b(k=0.12,…,n)充分接近,令P(x)=∑a4x,使得对一切x∈[a,b成立 P(x)-Qx)0,存在多项式P(x),使得对 切x∈a,b]成立 P(x)-f(x)<6 由于 广f(x)-P(x)2d=2(x)-2f(x)P(x)+P2(x)=(x)+P(x), 所以 f2(xs(x)+P2(x)=(x)-Px)dx<(b-a)2 由s的任意性,得到 rr2(x)dx=0 再由f(x)的连续性,得到 f(x)≡0。 设(x)=0,Pn(x)=P(x)+x-5((n=0,1,2…),证明:{P(x) 在[-1,1上一致收敛于|x|。 证首先有0≤B(x)≤冈。设0≤P()刚,由于函数M0)=1+x在
实数集中是稠密的，可以取有理数 ak (k = 0,1,2,", n) 分别与 充分接近，令 ，使得对一切 成立 bk (k = 0,1,2,", n) ∑ = = n k k k P x a x 0 ( ) x ∈[a,b] 2 ( ) ( ) ε P x − Q x 0，存在多项式 ，使得对一 切 成立 P(x) x ∈[a,b] P(x) − f (x) < ε 。 由于 ∫ − = b a f x P x dx 2 [ ( ) ( )] ∫ − + = b a [ f (x) 2 f (x)P(x) P (x)]dx 2 2 ∫ + b a [ f (x) P (x)]dx 2 2 ， 所以 ∫ ≤ b a f (x)dx 2 ∫ + b a [ f (x) P (x)]dx 2 2 = ∫ − b a f x P x dx 2 [ ( ) ( )] 2 < (b − a)ε 。 由ε 的任意性，得到 ( ) 0 2 ∫ = b a f x dx ， 再由 f (x)的连续性，得到 f (x) ≡ 0。 5. 设P0 (x)=0，Pn+1 (x) = Pn (x)+ 2 ( ) 2 2 x P x − n （n = 0,1,2,…），证明：｛ (x)｝ 在[-1,1]上一致收敛于｜x｜。 Pn 证 首先有0 ≤ P (x) ≤ x 0 。设 P x x 0 ≤ k ( ) ≤ ，由于函数 2 ( ) 2 2 x t h t t − = + 在 10