第十三章重积分 习题13.1有界区域上的重积分 1.设一平面薄板(不计其厚度),它在xy平面上的表示是由光滑的简 单闭曲线围成的闭区域D。如果该薄板分布有面密度为山(x,y)的电 荷,且μ(x,y)在D上连续,试用二重积分表示该薄板上的全部电 荷 解设电荷总量为ρ,则 0=u(x,y)do 2.设函数f(x,y)在矩形D=[0,x]×[0上有界,而且除了曲线段 y=sinx,0≤x≤丌外,f(x,y)在D上其它点连续。证明f在D上可 积 证设(x,y≤M(x,y)∈D,将D用平行于两坐标轴的直线分成n个小 区域△D(=12…n),记λ=max{diam△D},不妨设△D(=12,…,k)将曲 线段y=sinx,0≤x≤z包含在内,于是fxy)在有界闭区域U△D上连 续,因此f(x,y)在∪△D上可积,即VE>0,361>0,当<d1时 @,Ac, 而当A<时 4kM Aa1<2M∑△a1<2AM< 取δ=minl1 当λ<δ时,就有 4kM 1△G 所以∫在D上可积 3.按定义计算二重积分∫db,其中D=0x 解将D分成n2个小正方形 ADi=(r,vI ≤y≤}(,j=12,…m), nn
第十三章 重积分 习 题 13.1 有界区域上的重积分 1. 设一平面薄板（不计其厚度），它在 xy平面上的表示是由光滑的简 单闭曲线围成的闭区域 D。如果该薄板分布有面密度为µ( , x y) 的电 荷，且µ( , x y) 在 D 上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电 荷。 解 设电荷总量为Q，则 ∫∫ = D Q µ(x, y)dσ 。 2. 设函数 f x( , y) 在矩形 D = [0,π ]×[0,1] 上有界，而且除了曲线段 y x = sin , 0 ≤ x ≤ π 外， 在 D 上其它点连续。证明 在 D 上可 积。 f x( , y) f 证 设 f (x, y) ≤ M,(x, y) ∈ D，将 D 用平行于两坐标轴的直线分成n个小 区域∆Di(i = 1,2,",n)，记 { } 1 max diam i i n λ D ≤ ≤ = ∆ ，不妨设 D (i 1,2, , k) ∆ i = " 将曲 线段 y x = sin , 0 ≤ x ≤ π 包含在内，于是 在有界闭区域 上连 续，因此 在 上可积，即 f x( , y) ∪ n i k Di = +1 ∆ f x( , y) ∪ n i k Di = +1 ∆ 0, 0 ∀ε > ∃δ 1 > ，当λ < δ 1时， 2 1 ε ∑ω ∆σ < = + n i k i i 。 而当 4kM ε λ < 时， 2 2 2 1 1 ε ∑ω ∆σ < ∑∆σ < λ < = = M kM k i i k i i i 。 取 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 4kM min , 1 ε δ δ ，当λ < δ 时，就有 ε ε ε ∑ω ∆σ < + = = 2 2 1 n i i i ， 所以 f 在 D 上可积。 3. 按定义计算二重积分 xydxdy，其中 D D ∫∫ = [0,1]×[0,1]。 解 将D分成 个小正方形 2 n ( , 1,2, ) 1 , 1 ( , ) i j n n j y n j n i x n i D x y ij = " ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − ≤ ≤ − ∆ = ， 1
取 ∫xh=lm∑5nAon=lmn1∑ n-20on lim (n+1) 4.设一元函数f(x)在[ab上可积,D={a,b×c,d。定义二元函数 y)=f(x),(x,y)∈D 证明F(x,y)在D上可积。 证将[ab、[ed分别作划分: b 和 = yo <yI <y2 < d, 则D分成了m个小矩形ADn(=1,2…,n,j=12,…,m)。 记a是f(x)在小区间[x1,x上的振幅,on(F)是F在△D上的振 幅,则 于是 (F)△ Ax2y=(d-c)∑Ax 由f(x)在[b上可积,可知∑oAx→0(2→0),所以 On(F)Aa=lm{d-c∑a 即F(x,y)在D上可积。 5.设D是R2上的零边界闭区域,二元函数f(x,y)和g(x,y)在D上可积 证明 H(, y)=maxf(x,y),g(x, y)) 和 h(x, y)=miff(x,y),g(x,y)) 也在D上可积 证首先我们有 H(xy)=((x,y)+g(x,y)+|(x,y)-g(x,y), )=((x,y)+g(xy)-(x,y)-g(xy)
取 n j n i ξ i = ,η j = ，则 xydxdy D ∫∫ ∑ ∑ = →∞ = →∞ = ∆ = n i j n n i j i j ij n ij n , 1 4 , 1 1 lim ξ η σ lim 4 1 ( 1) 4 1 1 lim 2 2 4 = ⋅ + = →∞ n n n n 。 4. 设一元函数 f (x)在[a,b]上可积，D = [a,b]×[c, d]。定义二元函数 F(x, y) = f (x)，(x, y) ∈ D。 证明F(x, y) 在D上可积。 证 将[a,b]、[c, d]分别作划分： a = x0 < x1 < x2 < " < xn−1 < xn = b 和 c = y0 < y1 < y2 < " < ym−1 < ym = d ， 则D分成了nm个小矩形 D (i 1,2, , n, j 1,2, ,m) ∆ ij = " = " 。 记ωi 是 f (x) 在小区间[xi−1, xi]上的振幅， (F) ωij 是 在 上的振 幅，则 F ∆Dij ωij (F) = ωi， 于是 , 1 , 1 1 ( ) ( ) n n n ij ij i i j i i i j i j i ω σ F x ω y d c ω = = = ∑ ∑ ∆ = ∆ ∆ = − ∑ ∆x ， 由 f (x)在[a,b]上可积，可知 ∑ = ∆ n i i i x 1 ω → 0 (λ → 0)，所以 0 , 1 lim ( ) n ij ij i j F λ ω σ → = ∑ ∆ = 0 1 lim ( ) 0 n i i i d c x λ ω → = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ − ∆ = ⎩ ⎭ ∑ ， 即F(x, y) 在D上可积。 5．设D是 2 R 上的零边界闭区域，二元函数 和 在 上可积。 证明 f (x, y) g(x, y) D H (x, y) = max{ f (x, y), g(x, y)} 和 h(x, y) = min{ f (x, y), g(x, y)} 也在D上可积。 证 首先我们有 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 H (x, y) = f x y + g x y + f x y − g x y ， ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 h(x, y) = f x y + g x y − f x y − g x y 。 2
设o(x,y)=f(x,y)-g(xy),将D划分成n个小区域△D(=12,…,n), 利用不等式|=b--叫=ka-b)-(c-d)≤-4+-,可得 1(q)≤o1(O+1(g)(=1,2,…,n), 于是 01(H)≤O1()+O1(g)(=1,2,…,n), 所以 0≤∑0(H)AG1s∑a()△a1+∑o(g)△a, i=1 由f,g在D上可积,可知 im∑o(H)△G1=0, 即H(x,y)=max{f(x,y),g(x,y)}在D上可积。 类似地可得 O1(h)≤1()+o(g)(=1,2,…,n), 从而得到h(x,y)=mn{(x,y),g(x,y)}在D上也可积
设ϕ(x, y) = f (x, y) − g(x, y) ，将D划分成n个小区域 D (i 1,2, , n) ∆ i = " ， 利用不等式 a − b − c − d ≤ (a − b) − (c − d) ≤ a − c + b − d ，可得 ( ) ( f ) (g) (i 1,2, ,n) ωi ϕ ≤ ωi +ωi = " ， 于是 (H) ( f ) (g) (i 1,2, ,n) ωi ≤ ωi +ωi = " ， 所以 ∑ ∑ ∑ = = = ≤ ∆ ≤ ∆ + ∆ n i i i n i i i n i i H i f g 1 1 1 0 ω ( ) σ ω ( ) σ ω ( ) σ ， 由 f , g 在D上可积，可知 lim ( ) 0 1 0∑ ∆ = = → n i ωi H σ i λ ， 即H (x, y) = max{ f (x, y), g(x, y)}在D上可积。 类似地可得 (h) ( f ) (g) (i 1,2, , n) ωi ≤ ωi +ωi = " ， 从而得到h(x, y) = min{ f (x, y), g(x, y)}在D上也可积。 3