第十六章 Fourier级数 习题16.1函数的 Fourier级数展开 1.设交流电的变化规律为 E()= A sin ot,将它转变为直流电 的整流过程有两种类型: (1)半波整流(图16.1.5(a) f(=n(sin ot +sin ot D); (2)全波整流(图16.1.5(b) f,(0)=Asin ot: 现取o=1,试将f(x)和f2(x)在 [-x,z展开为 Fourier级数。 解(12x,(=24 图16.1.5 2A f(x)cos nxd (n=2,4.6,…) a=11(k0,(n=135…) b f(x) f(xsin ndx=0 2,3,4, A A、cos2kxr f(x)-2+sinx-2∑ 4A (2 ∫f(x) cosnxdx= x(n2-D)(n=2,4,6…), a=1∫(x)snk=0(n=1353 b=[,( x)sin ndx=0,(n=123…)。 2A 4A f2(x) 丌rk=14k2-1 2.将下列函数在[-z,上展开成 Fourier级数: (1) f(x)=sgx (2)f(x)= cos x I
第十六章 Fourier 级数 习题 16.1 函数的 Fourier 级数展开 (a) (b) 图 16.1.5 ⒈设交流电的变化规律为 ，将它转变为直流电 的整流过程有两种类型： E t( ) = Asin ωt ⑴ 半波整流（图 16.1.5(a)） f t A 1 2 ( ) = (sin f t A t 2 ( ) |sin | ωt t +|sinω |)； ⑵ 全波整流（图 16.1.5(b)） = ω ) x) ； 现取 ω = 1 ，试将 f x 1( 和 f 2 ( 在 [−π ,π ]展开为 Fourier 级数。 解 （1） 0 a = 1 1 f ( ) x dx π π ∫−π 2A π = ， an = 1 1 f ( ) x n cos xdx 2 2 ( 1 A π n = − − ) ( n = 2, 4,6,"), π π ∫−π n a = 1 1 f ( ) x cos nxdx 0 π π −π = ∫ ，（n = 1,3,5,"）； 1 b = 1 1 ( )sin 2 A f x xdx π π −π = ∫ ， bn = 1 1 f ( ) x sin nxdx 0 π π −π = ∫ ，( n = 2,3, 4,")。 1f ( ) x ∼ 2 1 2 cos 2 sin 2 4 k 1 A A A x π π k ∞ = + − kx − ∑ 。 （2） 0 a = 2 1 f ( ) x dx π π ∫−π 4A π = ， an = 2 1 f ( ) x n cos xdx 2 4 ( 1 A π n = − − ) ( n = 2, 4,6,…), π π ∫−π n a = 2 1 f x( ) cos nxdx 0 π π −π = ∫ （n = 1,3,5,…）； bn = 2 1 f ( ) x sin nxdx 0 π π −π = ∫ ，( n =1, 2,3,")。 2f ( ) x ∼ ∑ ∞ = − − 1 2 4 1 2 4 cos 2 k k A A kx π π 。 ⒉ 将下列函数在[−π ,π ]上展开成 Fourier 级数： ⑴ f (x) = sgn x ; ⑵ f x( ) = |cos x |; 1
(3)f(x) (4)f(x) ∫x,x∈-z,0) [O,丌) ax,x∈[-丌,0) (5)f(x) 解(1)f(x)为奇函数,所以an=0,(n=0,1,2,), b,=-/(x)sinnxdx 2(1-cos(n丌) (n=1,2,3…)。 f(x) 4si(2k-1)x (2)f(x)为偶函数,所以bn=0,(n=1,2,3…) 4 f(x)cos (n=2,4,6…) 丌(n ∫(xosn=0,(n=13.5…) f(x) cos 2kx o 丌xk=14k (3)f(x)为偶函数,所以bn=0,(n=1,2,3…), f(x)d f(x)cos nxd (n=1,2,3 n f(x)--2x2+∑ cost。 f(x)dx 2 f(x) coSn (n=1,2,3…) f∫(x) sin ndx= os(nT) ,(n=1,2,3…) f(x)--z+2cs2k州+(1 sIn nx。 (2k+1) (5)a4=1(xk=zb=a
⑶ 2 2 2 ( ) = − π x f x ; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ); , [ ,0), π π x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = , [0, ). , [ , 0), π π bx x ax x 解（1） f x( ) 为奇函数，所以 0 n a = ，（n = 0,1, 2,… ）， bn = 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫−π 2(1 cos(n )) n π π − = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − − 1 2 1 4 sin(2 1) k k k x π 。 （2） f x( ) 为偶函数，所以 0 n b = ，（n =1, 2,3,"）， 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 4 π = ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 2 4( 1) ( 1 n π n − = − − ) ，( n = 2, 4,6,"), π π ∫−π n a = 1 f x( ) cos nxdx 0 π π −π = ∫ ，（n = 1,3,5,"）。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − − − 1 2 cos 2 4 1 2 4 ( 1) k k kx π π k 。 （3） f x( ) 为偶函数，所以 0 n b = ，（n =1, 2,3,"）， 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 5 2 3 = − π ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 2( 1) n n − = ( n =1, 2,3,")。 π π ∫−π f x( ) ∼ nx n n n cos 2( 1) 6 5 1 2 2 ∑ ∞ = − − π + 。 （4） 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 2 π = − ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 1 ( 1) n π n − − = ，( n =1, 2,3,"), π π ∫−π bn = 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫−π cos(n ) n π = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = + + − + 0 2 (2 1) 2 cos(2 1) 4 k k k x π π nx n n n sin ( 1) 1 1 ∑ ∞ = + − + 。 （5） 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π ( ) 2 π b a − = ， 2
f(x) dx (a-b)(1-(-1)”) ,(n=1,2,3,…) f(x)sin noda (a+b)cos(nz) n=1,2,3;…)。 f(x)--(a-b)_2(a-b)y cos(2k+1)x+(a+b)2 丌k(2k+1)2 3.将下列函数展开成正弦级数 (1)f(x)=丌+x,x∈[0,] (2)f(x)=e2,x 3)f(x)= [0,号) 4)f(x)=/份0,m}, [01) 丌,x∈[,z 0,x∈[1,2] 解(1)b=2(x)inh=2.1-2-,(n=123,-) fx)-21-2(- n (2)b,==f(r)sinned 2n[1-(-y n=12.3 r(4+n2) f(r) 小-(-1ye2] SIn nx (3)b,=2C/(x)sin ndx -2 nr(1)"-2sin nT n=1,2,3 f(x)~ 丌 (4)b=5/(x)sin xdx n-sin f∫(x) sin ndx=- ,(n=2,3,4, n n-sIn ∫(x)~- SIn-x+ 丌m=2n2-lsn-x。 4.将下列函数展开成余弦级数: (1)f(x)=x(π-x),x∈[0,];(2)f(x)=ex,x∈[0
n a = 1 f ( ) x n cos xdx π π ∫−π 2 ( )(1 ( 1) n a b π n − − − = ) ，( n =1, 2,3,"), bn = 1 f ( ) x n sin xdx ( ) a b cos(n n + π ) = − ，( n =1, 2,3,")。 π π ∫−π f x( ) ∼ ∑ ∞ = + − + + − − 0 2 (2 1) 2( ) cos(2 1) 4 ( ) k k a b a b k x π π nx n a b n n sin ( 1) ( ) 1 1 ∑ ∞ = + − + + 。 ⒊ 将下列函数展开成正弦级数： ⑴ f (x) = π + x , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e−2 , x ∈[0,π ]; ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = , [ , ]; 2 , [0, ), 2 2 π π π π x x x ⑷ f x( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 0, [1,2]. , [0,1), 2 cos x x πx 解（1）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 1 2( 1) 2 n n − − = ⋅ ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ 1 1 2( 1) 2 s n n nx n ∞ = − − ∑ in 。 （2）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 2 2 2 1 ( 1) (4 ) n n e n π π − ⎡ − − ⎤ ⎣ ⎦ = + ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ [ ] nx n n e n n sin 4 2 1 ( 1) 1 2 2 ∑ ∞ = − + − − π π 。 （3）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 2 2 ( 1) 2sin 2 n n n n π π π ⎡ ⎤ − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n n n n sin 2 sin 4 ( 1) 2 1 2 1 ∑ ∞ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + π π 。 （4） 1 b = 2 0 2 1 ( )sin 2 f x xdx π = ∫ ， bn = 2 0 2 ( )sin 2 f x nxdx ∫ 2 2( sin ) 2 ( 1) n n n π π − = − ，( n = 2,3, 4,")。 f x( ) ∼ x n n n n x n 2 sin 1 2 sin 2 2 sin 1 2 2 π π π π π ∑ ∞ = − − + 。 ⒋ 将下列函数展开成余弦级数： ⑴ f x( ) = x(π − x) , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e , x ∈[0,π ]; 3
(3)f(x)= in2x,x∈[O,) (4)f(x)=x-7+x-,x∈[O,n 1,x∈, 解(1)a=(x)=3, f∫(x) cos ndx= 2(1+(-1)) ,(n=1,2,3:)。 cos 2kx (2) f(x)dx=-(e-1) 2|e(-1) (n=1,2,3…)。 n (e-1) 丌旧n2+1 CoS nx。 (3)a==2f(x) 2 a,=-12f(x)cos 2xx= f(x)cos 2nxdx sIn 2,3,4, (n2-1)n 2、1 f(x)-(+2丌 --cOS 2x cOS n (4)a=2f(x)k=, n 4(-1)-cos f∫(x) cos nxo ,(n=1,2,3…) coS osnx o 5.求定义在任意一个长度为2x的区间[aa+2x]上的函数f(x)的 Fourier级数及其系数的计算公式
⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 1, [ , ]; sin 2 , [0, ), 4 2 4 π π π x x x ⑷ 2 2 ( ) π π f x = x − + x − , x ∈[0,π ]. 解（1） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 3 π = ， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 2(1 ( 1) ) n n + − = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − 1 2 2 cos 2 6 k k π kx 。 （2） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 (e 1 π π = − )， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 2 ( 1) 1 (1 ) n e n π π ⎡ ⎤ − − ⎣ ⎦ = + ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ( 1) 1 − π π e [ ] nx n e n n cos 1 2 ( 1) 1 1 ∑ 2 ∞ = + − − + π π 。 （3） 0 a = 2 0 4 f ( ) x dx π π ∫ 2 π π + = ， 1 a = 2 0 4 f ( ) x x cos 2 dx π π ∫ 1 π = − ， n a = 2 0 4 f ( ) x n cos 2 xdx π π ∫ 2 2 sin ( 1) 2 n n n n π π ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠，( n = 2,3,4,")。 f x( ) ∼ 1 1 1 ( ) cos 2 2 2 2 1 1 sin 1 cos 2 n 1 2 n nx n n π π ∞ = ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ 。 2 x π π + − （4） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 π = ， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 4 ( 1) cos 2 n n n π π ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n n n cos 2 ( 1) cos 4 4 1 ∑ 2 ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + π π π 。 ⒌ 求定义在任意一个长度为 2π 的区间[a, a + 2π ] 上的函数 的 Fourier 级数及其系数的计算公式。 f x( ) 4
解设f(x)~+∑( a coS nx+ b sin nx),则 f(x)cos mdo an cos nx+b in n )cos mda ao [a+2r a+2丌 +2丌 cos mdx∑(a cos nx cos mxdx +b sin nx cos mdx) 「"八)mm12+m+如o小m ∫。 sin mxd+∑(aJ。 cos nisin mxd+∫ sin nx sin mxdx) br(m=1,2.), 所以 f(x)cos ndx (n=0,1, 2,) b,=o f(x)sin ndx (n=1, 2, .) 6.将下列函数在指定区间展开成 Fourier级数 (1)f(x)= 兀-x,x∈[O,2x], (2)f(x)=x2,x∈[0,2r] (3)f(x)=x,x∈[0,1 0,x∈[O,1); (5)f(x)= C,x∈[-7,0) (C是常数) 0,x∈[0,7) 解(1)an f(x) cos ndx=0,(n=0,1,2;…) b.=∫/()smnx=1,(n=123…) f∫(x) (2) 。f(x)d =-丌, f(x) cos ndx=,(n=1,2,3…) f∫(x) sin nxdx =1.2.3 f(x)-r2+4y/1 cOs丌、2 sInx
解 设 f x( ) ~ a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)，则 2 2 0 1 ( ) cos ( cos sin ) cos 2 a a n n a a n a f x mxdx a nx b nx mxdx π π ∞ + + = ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑ 2 2 2 0 1 cos ( cos cos sin cos ) 2 a a a n n a a a n a mxdx a nx mxdx b nx mxdx π π π ∞ + + + = = +∑ + ∫ ∫ ∫ m = a π ，( m = 0,1, 2,…), 2 2 0 1 ( )sin ( cos sin ) sin 2 a a n n a a n a f x mxdx a nx b nx mxd π π ∞ + + = ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑ x 2 2 2 0 1 sin ( cos sin sin sin ) 2 a a a n n a a a n a mxdx a nx mxdx b nx mxdx π π π ∞ + + + = = +∑ + ∫ ∫ ∫ m = b π ，( m = 1, 2,…), 所以 an = ∫ + π π 2 ( ) cos 1 a a f x nxdx ( n = 0,1,2,"), bn = ∫ + π π 2 ( )sin 1 a a f x nxdx ( n = 1,2,")。 ⒍ 将下列函数在指定区间展开成 Fourier 级数： ⑴ 2 ( ) x f x − = π , x ∈[0, 2π ]; ⑵ f x( ) = x 2 , x ∈[0, 2π ]; ⑶ f (x) = x , x ∈[ , 0 1]; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0,1); e , [ 1,0), 3 x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ) , [ ,0), x T C x T (C 是常数). 解（1） n a = 2 0 1 f ( ) x cos nxdx 0 π π = ∫ ，( n = 0,1, 2,"), bn = 2 0 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 1 n = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n sin 1 1 ∑ ∞ = 。 （2） 0 a = 2 2 0 1 8 ( ) 3 f x dx π π π = ∫ ， n a = 2 0 1 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 4 n = ，( n =1, 2,3,"), bn = 2 0 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 4 n π = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 2 cos sin 1 4 3 4 n nx n nx n π π 。 5
(3)a=2(x a,=2f/(x)cos 2rnxdx=0,(n=1, 2, 3. b,=2,/(x)sin 2rnxdx=-I,(n=1,2,3.) x)-I-IyISin 2mx (4) f∫(x)dx a=/(x)=+n[1-(ye],(n=123-), b,=I f(x)sin ndx 9+n2丌 [-1+(-1)e],(n=123…) 3-(-1) n(-(-1)"e n T+9 cONn n2m2+9 sin n I。 (5) f(dx=C an=J(msx=0,(m=123…), f(x)sin -1+(-1)],(n=12,3…) C-2C∑ -sin 7.某可控硅控制电路中的负载电流为 0≤t<T (t) 5 sinor,7o≤t<T, 其中为圆频率,周期T=2x。现设初 始导通时间x=(见图16.16),求I0) 在[0,上的 Fourier级数 解a= f(xdx 2丌x 图16 ⌒J。f(x)cos x=- f(x)cos (n+1)丌1(n-1)
（3） 0 a = 1 0 2 ( f x d) x = 1 ∫ ， n a = 1 0 2 ( f x n ) cos 2π xdx = 0 ∫ ，( n =1, 2,3,"), bn = 1 0 2 ( f x n )sin 2π xdx ∫ 1 nπ = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n π π sin 2 1 1 2 1 1 ∑ ∞ = − 。 （4） 0 a = 1 3 1 1 ( ) (1 ) 3 f x dx e− − = − ∫ ， n a = 1 1 f ( ) x n cosπ xdx ∫− 3 2 2 3 1 ( 1) 9 n e n π − = ⎡ − − ⎤ ⎣ ⎦ + ，( n =1, 2,3,"), bn = 1 1 f ( ) x n sinπ xdx ∫− 3 2 2 1 ( 1) 9 n n e n π π − = −⎡ + − ⎤ ⎣ ⎦ + ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ (1 ) 6 1 −3 − e ( ) ( ) ∑ ∞ = − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − + − − + 1 2 2 3 2 2 3 sin 9 1 ( 1) cos 9 31 ( 1) n n n n x n n e n x n e π π π π π 。 （5） 0 a = 1 ( ) T T f x dx C T − = ∫ ， n a = 1 ( ) cos T T nx f x dx T T π ∫− = 0，( n =1, 2,3,"), bn = 1 ( )sin T T nx f x dx T T π ∫− 1 ( 1) C n nπ = −⎡ + − ⎤ ⎣ ⎦，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ x T n n C C n π π (2 1) sin 2 1 2 1 2 1 − − − ∑ ∞ = 。 ⒎ 某可控硅控制电路中的负载电流为 图 16.1.6 ≤ < ≤ < , , 0 , 0 0 T t T t T ⎩ ⎨ ⎧ = 5sin 0, ( ) t I t ω 其中ω为圆频率，周期 ω 2π T = 。现设初 始导通时间T T 0 8 = （见图 16.1.6），求 在[ , 上的 Fourier 级数。 I t( ) 0 T] 解 0 a = 0 2 5( ( ) 2 T f x dx T π − = ∫ 2 2) ， 1 a = 0 2 2 ( ) cos T x f x dx T 5 4π = − ， T π ∫ n a = 0 2 2 ( ) cos T nx f x dx T T π ∫ 2 5 1 ( 1) 1 ( 1) 2 cos cos 2 1 4 1 4 n n n n π π π + − n 1 ⎡ ⎤ = − + ⎢ ⎥ ⎣ + − − ⎦ ， 6
(n=2,3.4…) f(x)sin 5(7x+2) b,=F/(x)sin 2丌nx (n+1)丌 (n-1)丌 SIn (n=2,3,4 4)-2-5-.w+(+3)mar (n+1)z (n-1)x2 cos cOs CoS not 2 n+1 4 4 sin(n-1) 1(n+1)x1( 4-snot。 8.设f(x)在-z,n]上可积或绝对可积,证明 (1)若对于任意x∈[-z,n],成立f(x)=f(x+n),则a21=bn1=0 (2)若对于任意x∈[-z,],成立f(x)=-f(x+),则a2n=b2n=0 证(1)an1=1∫2/(0-)h f(x)cos(2n-1)xdx+=f(x)cos(2n-1).xdx 「。(0)cs2n-1)-(2n-1)1+(x)o2n-1)oh(=x+) 0,(n=1,2,3 b, f(x)sin(2n-1)xdx f()sin(2n-1)xdx+- f(x)sin(2n-1)xdx 10-(21+(xm0)U=x =0,(n=1,2,3 (2)an=1 f∫(x)cos(2nx)dh f(x)cos(2nx)dx+_Jo/(x)cos(2nx)dx f(ocos(2nt-2nz ) dt+-f(x)cos(2nx)dx (t=x+r) 1,2,3
( n = 2,3, 4,"), 1 b = 0 2 2 ( )sin T x f x dx T T π ∫ 5(7 2) 8 π π + = ， bn = 0 2 2 ( )sin T nx f x dx T T π ∫ 5 1 ( 1) 1 ( 1) sin sin 2 1 4 1 4 n n n n π π π ⎡ + − ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ + − ⎦ ， ( n = 2,3, 4,")。 f x( ) ∼ t ω t π ω π π sin 8 35 4 5 cos 4 5 (2 2) 4 5 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + + n t n n n n n n ω π π π cos 1 2 4 ( 1) cos 1 1 4 ( 1) cos 1 1 2 5 2 ∑ 2 ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − + + + n t n n n n n ω π π π sin 4 ( 1) sin 1 1 4 ( 1) sin 1 1 2 5 2 ∑ ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + + + 。 ⒏ 设 f (x)在[−π ,π ]上可积或绝对可积，证明： ⑴ 若对于任意 x ∈[−π ,π ]，成立 f (x) = f (x + π ) ，则a b 2 1 n n − = 2 −1 = 0； ⑵ 若对于任意 x ∈[−π ,π ]，成立 f (x) = − f (x + π ) ，则a b 2 2 n n = = 0 . 证 (1) 2 1 n a − = 1 f ( ) x n cos(2 1)x π π −π − ∫ dx 0 0 1 1 f ( ) x n cos(2 1)xdx f (x) cos(2n 1)x π π π −π = − + ∫ ∫ − dx 0 0 1 1 f t( ) cos[(2n 1)t (2n 1) ]dt f (x) cos(2n 1)xdx (t x ) π π π π π π = − − − + − ∫ ∫ = + = 0 , ( n =1, 2,3,…), 2 1 n b − = 1 f ( ) x n sin(2 1)x π π −π − ∫ dx 0 0 1 1 f ( ) x n sin(2 1)xdx f (x n )sin(2 1)x π π dx π − π = − + ∫ ∫ − 0 0 1 1 f t( )sin[(2n 1)t (2n 1) ]dt f (x)sin(2n 1)xdx (t x ) π π π π π π = − − − + − ∫ ∫ = + = 0 , ( n =1, 2,3,…)。 (2) 2n a = 1 f ( ) x n cos(2 x) π π ∫ −π dx 0 0 1 1 f ( ) x n cos(2 x)dx f ( ) x cos(2nx) π π π −π = + ∫ ∫ dx 0 0 1 1 f t( ) cos(2nt 2n )dt f (x) cos(2nx)dx (t x ) π π π π π π = − − + = + ∫ ∫ = 0 , ( n =1, 2,3,…), 7
f(x)sin(2nx)dx f(x)sin(2nx)dx+- f(x)sin(2nx )ds f(sin(2nt-2nrydt +-/(x)sin(2nx)dx(=x+) 9.设f(x)在(0,x/2)上可积或绝对可积,应分别对它进行怎么样的延 拓,才能使它在[-π,π上的 Fourier级数的形式为 (1)f(x)-2a, cos(2n-1)x; (2)f(x)~∑ b sin2mx 解(1)显然,f(x)为偶函数,而且 f(x)cos(2nx )dx f(x)cos(2nx)dx+=[f(x)cos(2nx)dx (At=T-x) (9)+2(x-002m)h 2「([(+(x-)]x)k=0, 所以 f(x)+f(n-x)=0, 于是f(x)可以按下面方式进行延拓 f(丌+x)x∈(-丌, x∈ f(x) ∈(0,-) f(x-x)x∈( 2 (2)显然,f(x)为奇函数,而且 ∫。/(x)sn[(2n-1) (x)m(2n++/(x)mn(2n-对(令=z-x)
2n b = 1 f ( ) x n sin(2 x) π π ∫ −π dx 0 0 1 1 f ( ) x n sin(2 x)dx f ( ) x sin(2nx) π π π −π = + ∫ ∫ dx 0 0 1 1 f t( )sin(2nt 2n )dt f (x)sin(2nx)dx (t x ) π π π π π π = − − + = + ∫ ∫ = 0 , ( n =1, 2,3,…)。 ⒐ 设 f x( )在(0, π / 2)上可积或绝对可积，应分别对它进行怎么样的延 拓，才能使它在[ , −π π]上的 Fourier 级数的形式为 ⑴ f x a n x n n ( ) ~ cos(2 1) 1 − = ∞ ∑ ; ⑵ f x b nx n n ( ) ~ sin 2 =1 ∞ ∑ . 解 （1）显然， f x( )为偶函数，而且 2n a = 0 2 f ( ) x n cos(2 x) π π ∫ dx 2 0 2 2 2 f x( ) cos(2nx)dx f x( ) cos(2nx)dx π π π π π = + ∫ ∫ （令t x = π − ） 2 2 0 0 2 2 f (x n ) cos(2 x)dx f ( t) cos(2nt) π π π π π = + − ∫ ∫ dt [ ] 2 0 2 f ( ) x f ( x) cos(2nx)dx 0 π π π = + − ∫ = , 所以 f x( ) + − f (π x) = 0 ， 于是 f x( )可以按下面方式进行延拓 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − ∈ ∈ − ∈ − − + ∈ − − = , ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) (0, ,0) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( ) ~ π π π π π π π π f x x f x x f x x f x x f x 。 （2）显然， f x( )为奇函数，而且 2 1 n b − = [ ] 0 2 f ( ) x n sin (2 1)x π dx π − ∫ [ ] [ ] 2 0 2 2 2 f x( )sin (2n 1)x dx f x( )sin (2n 1)x dx π π π π π = − + ∫ ∫ − （令t x = π − ） 8
2/(x32n-对+21x-0sn(2n=mh 2∫[(x)+f(x-)]sn(2n-1)1x=0, 所以 ∫(x)+f(-x)=0, 于是f(x)可以按下面方式进行延拓 f(丌+x)x∈(-丌-) x∈(一 f(x) x∈(0 f(x-x)x∈(,丌) 10.设周期为2x的函数f(x)在[-元,7上的 Fourier系数为an和bn,求下 列函数的 Fourier系数an和b (1)g(x)=f(-x); (2)H(x)=f(x+C)(C是常数); (3)F(x)=O)(x-0d(假定积分顺序可以交换)。 解(1)an= z.g(x)cos ndx (令 f(cos ntdx 所以 an=an(n=0,1,2,…), g(r)sin ndx f(- r)sin ndx(令=-x) f(osin ntdx 所以 (2)因为x+C∈[-n,x],所以x∈[-n-C,z-C]
[ ] [ ] 2 2 0 0 2 2 f ( ) x n sin (2 1)x dx f ( t)sin (2n 1)t π π π π π = − + − ∫ ∫ − dt [ ] [ ] 2 0 2 f ( ) x f ( x) sin (2n 1)x π π π = + − − ∫ dx = 0 , 所以 f x( ) + − f (π x) = 0 ， 于是 f x( )可以按下面方式进行延拓 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − ∈ ∈ − − ∈ − + ∈ − − = , ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) (0, ,0) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( ) ~ π π π π π π π π f x x f x x f x x f x x f x 。 ⒑ 设周期为2π 的函数 f x( )在[ , −π π]上的 Fourier 系数为a 和 ，求下 列函数的 Fourier 系数 和 n bn ~an ~ bn： ⑴ g x( ) = f (−x); ⑵ h x( ) = f (x + C) (C 是常数)； ⑶ ∫− = − π π π F x f (t) f (x t)dt 1 ( ) （假定积分顺序可以交换）。 解（1） n a = 1 1 g( ) x cos nxdx f ( x) cos nxdx π π π π − − π π = − ∫ ∫ （令t = −x ） 1 f ( )t cos ntd π π −π = ∫ x ， 所以 an = an ~ (n = 0,1,2,")， n b = 1 1 g( ) x sin nxdx f ( x)sin nxdx π π π π − − π π = − ∫ ∫ （令t = −x ） 1 f ( )t sin ntd π π −π = − ∫ x， 所以 bn = −bn ~ (n = 1,2,")。 （2）因为 x C+ ∈[ , −π π ]，所以 x∈[ , − − π C π −C]。 9
a T -x-C =1(x+sth(令=x+C =5L/(cos n(t-C)dx f(ocos nt cos nDx+- f(o)sin nt sin nCd =a, cos nC+b, sin nC (n=0,1, 2, .. ∫M)smnk=(x+Csm(令r=x+C /(sin n(t-C f(sin nt cos nDx f(ocos nt sin nCd (3)an=F(x) cos nxax ∫:|(0(x-0d1smt(交换次序) f(r-1)cos nx dx f(odt 丌-丌1- 当n=0时 f(x-odx f(odr ao f(odt=ab, 当n>0时, f(x-o[cos n(x-t)cos nt-sin n(x-1)sin nt]dx f( n)dt ( a cos nt- b sin n)f()d=a2-b2,(n=1,2,…)。 F(2m1〔20x-0as(交换次序) f(x-1)cos nx dx f(odt f(x-OEsin n(x-1)cos nt +cos n(x-t)sin nt]dx f()dr
1 1 ( ) cos ( ) cos C C n C C a h x nxdx f x C nxdx π π π π π π − − − − − − = = + ∫ ∫ （令t x = +C ） 1 f ( )t n cos (t C)d π π x π − = − ∫ 1 1 f ( )t n cos t cos nCdx f ( )t sin ntsin nCd π π π π x π − − π = + ∫ ∫ cos sin n n = a nC + b nC (n = 0,1,2,")， n b 1 1 ( )sin ( )sin C C C C h x nxdx f x C nxdx π π π π π π − − − − − − = = + ∫ ∫ （令t x = +C ） 1 f ( )t n sin (t C)d π π x π − = − ∫ 1 1 f ( )t sin nt cos nCdx f ( )t cos ntsin nCdx π π π − − π π π = − ∫ ∫ cos sin n n = b nC − a nC (n = 1,2,")。 （3） n a = 1 1 1 F( ) x cos nxdx f (t) f (x t) dx cos nxdx π π π π π − − π π π −π ⎡ = − ⎢ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ⎤ ⎥ （交换次序） 1 1 f ( ) x t cos nx dx f (t)dt π π π π − − π π ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 。 当n = 0时， 2 0 0 1 1 1 a f (x t) dx f ( )t dt a f ( )t dt a π π π π π − − π π π −π ⎡ ⎤ = − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ = 0 ， 当n > 0时， 1 1 ( )[cos ( ) cos sin ( )sin ] ( ) n a f x t n x t nt n x t nt dx f t dt π π π π − − π π ⎡ ⎤ = − − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 1 ( cos sin ) ( ) n n a nt b nt f t dt π π −π = − ∫ 2 n a b2 = − n ， (n = 1,2,")。 n b = 1 1 1 F( ) x sin nxdx f (t) f (x t) dt cos nxdx π π π π π − − π π π −π ⎡ = − ⎢ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ⎤ ⎥ （交换次序） 1 1 f ( ) x t cos nx dx f (t)dt π π π π − − π π ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 1 1 f ( ) x t [sin n(x t) cos nt cos n( ) x t sin nt]dx f (t)dt π π π π − − π π ⎡ ⎤ = − − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 10
