习题14.5场论初步 1.设a=3i+20j-15k,对下列数量场f(x,y,x),分别计算 grad f和 div(fa) (1)f(xy2=(x+y2+2)5 2) (3)f(x,y,z)=ln(x2+y2+z2) 解(1)grad∫=-(x2+y2+x2)(xi+y+k) div(fa)=-(x2+y2+2)2(3x+20y-15-)。 (2) gradf=2(xi+yj+=k) v(a)=2(3x+20y-15z) (3) gradf=2(x'+y2+22(xi+yj+=k) div(fa)=2( 2.求向量场a=x2i+y2j+z3k穿过球面x2+y2+x2=1在第一卦限部分 的通量,其中球面在这一部分的定向为上侧 解设Σ:x2+y2+z2=1(x≥0,y≥0,z≥0),方向取上侧,则所求通量为 dzdx+ 由于=d=j-x-y)b=4-b= 同理可得∫x=y=8, 所以∫xdh+y2d+=hdh 3.设r=xi+y+k,r=rl,求 (1)满足dvf(r)r]=0的函数f(r) (2)满足 divlgrad f(r)=0的函数f(r) 解(1)经计算得到 a(f(r)x) a(r)y =f(r)+f()y a(r)= f(r)+∫(r) 所以 divlf(r)r=3f(r)+rf(r)
习 题 14.5 场论初步 1．设 ，对下列数量场 ，分别计算 和 ： a = 3i + 20 j −15k f x( , y,z) grad f div( fa) （1） f x( , y,z) = + (x y + z ) − 2 2 2 1 2 ； （2） f x( , y,z) = + x 2 2 y + z 2 ； （3） f x( , y,z) = + ln(x 2 2 y + z 2 )。 解（1）grad ( ) ( ) 2 3 2 2 2 f = − x + y + z xi + yj + zk − ， div( ) ( ) (3 20 15 ) 2 3 2 2 2 f = − x + y + z x + y − z − a 。 （2） grad f = 2(xi + yj + zk)， div( fa) = 2(3x + 20y −15z)。 （3）grad f = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) −1 (xi + yj + zk)， div( fa) = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) −1 (3x + 20y −15z) 。 2．求向量场 穿过球面 在第一卦限部分 的通量，其中球面在这一部分的定向为上侧。 a i j k 2 2 2 = x + y + z x y z 2 2 2 + + = 1 解 设 : 1 ( 0, 0, 0)，方向取上侧，则所求通量为 2 2 2 Σ x + y + z = x ≥ y ≥ z ≥ ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 ， 由于 4 8 (1 ) 1 0 3 2 0 2 2 2 π θ π π = − − = − = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ Σ Σ z dxdy x y dxdy d r dr xy ， 同理可得 8 2 2 π = = ∫∫ ∫∫ Σ Σ x dydz y dzdx ， 所以 π 8 2 2 2 3 + + = ∫∫ Σ x dydz y dzdx z dxdy 。 3．设r = xi + yj + zk ，r =|r |，求： （1）满足div[ f (r)r] = 0的函数 f r( )； （2）满足div[grad f (r)] = 0的函数 f r( )。 解（1）经计算得到 r x f r f r x f r x 2 ( ) ( ) ( ( ) ) = + ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) , ( ( ) ) 2 r y f r f r y f r y = + ′ ∂ ∂ r z f r f r z f r z 2 ( ) ( ) ( ( ) ) = + ′ ∂ ∂ ， 所以 div[ f (r)r] = 3 f (r) + rf ′(r)。 1
由divf()r]=0,得3/(r)+r(r)=0,解此微分方程,得到 C f(r) 其中c为任意常数。 (2)t可(=fV,9()x(),y()=x/(),得到 0(xf"()= f()+-2f"() a(yf(I= f(r)+2f"(r), f()+二2f() 所以 ivlgrad f(r]=-f(r)+f"(r) 由 divlgrad f(=0,得2f(r)+rf"()=0,解此微分方程,得到 f()=S 其中c1c2为任意常数 4.计算 grade r+In(c r) 其中c是常矢量,r=x+y+k,且cr>0 解设c=(,c2c2),u=cr+ln(cr),则 C ax c·r)'a 所以 2 cr 5.计算向量场a= grad arctan2沿下列定向曲线的环量: (1)圆周(x-2)2+(y-2)2=1,z=0,从z轴正向看去为逆时针方向 (2)圆周x2+y2=4,z=1,从z轴正向看去为顺时针方向。 解经计算,可得 ,0)
由div[ f (r)r] = 0，得3 f (r) + rf ′(r) = 0，解此微分方程，得到 3 ( ) r c f r = ， 其中c为任意常数。 （2）由 ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ，得到 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r x f r r r x f r r x x ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r y f r r r y f r r y y ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r z f r r r z f r r z z ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， 所以 2 div[grad f (r f )] (r) f "( ) r = ′ + r 。 由div[grad f (r)] = 0，得2 f ′(r) + rf ′′(r) = 0，解此微分方程，得到 1 2 ( ) c f r c r = + ， 其中c1 ,c2为任意常数。 4. 计算 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ + ln( ⋅ ) 2 1 grad c r c r 其中c是常矢量，r = xi + yj + zk ，且c ⋅r > 0。 解 设 c = (c1 ,c2 ,c3 ) ， ln( ) 2 1 u = c ⋅r + c ⋅r ，则 2( ) , 2( ) , 2( ) 3 3 2 2 1 1 c r c r c ⋅r = + ∂ ∂ ⋅ = + ∂ ∂ ⋅ = + ∂ ∂ c c z c u c y c u c x u ， 所以 c r c c r c r c ⋅ = + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ + ⋅ 2 1 ln( ) 2 1 grad 。 5. 计算向量场 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y a grad arctan 沿下列定向曲线的环量： （1）圆周( ) x y − + 2 2 2 2 ( − ) = 1, z = 0，从 轴正向看去为逆时针方向； 1 z （2）圆周 x y 2 2 + = 4, z = ，从 z 轴正向看去为顺时针方向。 解 经计算，可得 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y a grad arctan 2 2 1 ( , y x,0 x y = − + )， 2
y x-+ 它在除去z轴的空间上是无旋场。 (1)设L={(x,y)(x-2)+(y-2)=1=0},从=轴正向看去为逆时针 方向;={x,y,2)(x-2)2+(y-2)1:2=0,方向取上侧。由于=轴不 穿过曲面Σ,根据 Stokes公式, 「 rot ads=0 (2)令x=2cos0,y=2sin0,z=0,则 dy-yd 6.计算向量场r=xz(i+j+k)在点M(132)处的旋度,以及在这点沿 方向n=i+2j+2k的环量面密度。 解由 xy= xyz xy= 可得 r(M) 向量场r=xz(计++k)在点M1,32)沿方向n的环量面密度为 n li rdr= rotr(m) 7.设a=a计+a,+ak向量场,f(x,y,x)为数量场,证明:(假设函数 an,an,a.和f具有必要的连续偏导数) (1) div(rot a)=0 (3) grad(diva)-rot(rot a)=Aa 证(1)rota aa da 设a,aa.二阶偏导数连续,则
2 2 2 2 rot 0 y z y x x y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ − + + 0 i j k a = x ， 它在除去 z 轴的空间上是无旋场。 （1）设 { } 2 2 L x = − ( , y,z) (x 2) + ( y − 2) =1,z = 0 ，从 轴正向看去为逆时针 方向； z { } 2 2 Σ = ( , x y,z) (x − 2) + ( y − 2) ≤ 1,z = 0 ，方向取上侧。由于 轴不 穿过曲面 ，根据 Stokes 公式， z Σ d rot d 。 L Σ ⋅ = ⋅ = ∫ ∫∫ a s a S 0 （2）令 x y = = 2cosθ , 2sinθ ,z = 0，则 2 2 d L L xdy ydx x y − ⋅ = + ∫ ∫ a s 2 0 d 2 π = − θ = − π ∫ 。 6. 计算向量场r = xyz(i + j + k) 在点 M( , 1 3,2) 处的旋度，以及在这点沿 方向n = i + 2 j + 2k 的环量面密度。 解 由 rot x(z y) y(x z) z( y x) x y z xyz xyz xyz ∂∂∂ = = − + − + ∂ ∂ ∂ i j k r i j − k ， 可得 rot r (M ) = −i − 3j + 4k 。 向量场r = xyz(i + j + k)在点 M( , 1 3,2) 沿方向n的环量面密度为 ⋅ = Σ ∫ ∂Σ Σ→ r dr M m( ) 1 lim rot r (M ) 3 1 ⋅ = n n 。 7. 设 向量场， 为数量场，证明：（假设函数 和 具有必要的连续偏导数） a = ax i + ay j + azk f x( , y,z) a a x y , ,az f （1）div(rot a) = 0； （2）rot (grad f ) = 0； （3）grad(diva) − rot(rot a) = ∆a 。 证（1） rot z y y x x z a a a a a a y z z x x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ = − ⎜ ⎟ + − + ⎜ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ∂ ∂ a i ⎞ ⎟ ⎠ j k 。 设ax , ay , az 二阶偏导数连续，则 3
div(rot a) 0。 ax\ ay az)ay( az ax)az( ax ay (2)rot(grad) Ox ay a (3)由 adive adiva grad(diva) a-a aa aa. a ax2 dxdy axd: andy ay2 ayd adz ayo Q:2k 以及 da da da ta ay az (②-p(a ay aa a2a rot(rot a) andy ay a=- dxdz aaaa aa 2a a2a aa a axa ax 得到 grad(diva)-rot(rota)=△ai+△a,j+△ak=△a 8.位于原点的点电荷q产生的静电场的电场强度为 E=9(x+y+k),其中r=√x2+y2+x2,2为真空介电常数。 tEO 求rotE。 解 3=x 3=x 3xy 3x 所以 rotE=0,(x,y,=)≠0
div(rot ) = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = y a x a x z a z a z y a y a x z y x z y x a 。 （2）rot (grad f ) y z fff x y z ∂∂∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 x i j k 。 （3）由 k a j a i a a x y ∂z ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = div div div grad(div ) i j ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = y z a y a x y a x z a x y a x a z x y z x y 2 2 2 2 2 2 2 2 k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + 2 2 2 2 z a y z a x z a z x y ， 以及 a i j k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = y a x a x a z a z a y az y x z y x rot ， rot(rot a) = i ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ x z a z a y a x y a x x z y 2 2 2 2 2 2 j k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + y z a y a x a x z a x y a x a z a y z a y x x z z y y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ， 得到 grad(diva) − rot(rot a) = ∆ax i + ∆ay j + ∆azk = ∆a 。 8. 位于原点的点电荷 q 产生的静电场的电场强度为 ( ) 4 3 0 E xi yj zk r q = + + πε ，其中r x = + y + z 2 2 2 ，ε 0为真空介电常数。 求rot E 。 解 0 3 3 3 3 4 4 ⎟ = − + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ r yz r yz r y r z z y ， 3 3 x z z r x r ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 3 3 0 zx zx r r − + = ， 3 3 y x x r y r ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 3 3 0 xy xy r r − + = ， 所以 rot , E 0 = ≠ (x y, ,z) 0。 4
9.设a为常向量,r=xi+y+k,验证 (1)V(axr)=0; (2)V×(axr)=2a; (3)V·(r·r)a)=2r·a 000 ax ay az 证(1) a( da.x-a 0 k (2)V a=-aJ 2(ai+aj+ak)=2 (3)V(rrh)=ar3),aa,y2)+2(a2)=2ra 10.求全微分(x2-2ydx+(y2-2x)d+(x2-2xy)d的原函数。 解记a=(x2-2y)i+(y2-2x)j+(x2-2xy)k,由于 所以向量场a=(x2-2y)i+(y2-2x)+(x2-2xy)k是一个无旋场,其原函 数为 U(xy2)=00(x2-2y)+(y2-2c)+(=2-2xy)+C xad+y+(2-2)h=5(+ 1证明向量场a=3-,i+x+yj(x>0)是有势场并求势函数。 证当x>0时 xy a 所以向量场a是有势场,其势函数为 )(x-y)dx+(x+ y)dy x dy+C=-arctan 2-In(x2+y2)+C 12.证明向量场a=(2x+y+z)yzi+(x+2y+2)x+(x+y+2)xk是有势场
9. 设a为常向量，r = xi + yj + zk ，验证： （1）∇ ⋅(a × r) = 0 ； （2）∇ × (a × r) = 2a ； （3）∇ ⋅((r ⋅r)a) = 2r ⋅ a 。 证（1） x y z a a a x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅(a × r) = 0 ( ) ( ) ( ) = ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − = z a y a x y a x a z x a z a y y z z x x y 。 （2） ( ) y z z x x y x y z a z a y a x a z a y a x ∂ ∂ ∂ ∇ × × = ∂ ∂ ∂ − − − i j k a r 2( ) x y z = + a a i j + a k = 2a 。 （3） 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (( ) ) 2 x y z a x a y a z x y z ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅ ⋅ = + + = ⋅ ∂ ∂ ∂ r r a r a 。 10. 求全微分( ) x y 2 2 − + 2 2 z dx ( ) y − xz dy + (z 2 − 2xy)dz的原函数。 解 记 a ( 2 )i ( 2 ) j ( 2 )k ，由于 2 2 2 = x − yz + y − xz + z − xy y a z x a x a y z a z a x y az y x z y x ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 2 , 2 , 2 ， 所以向量场 是一个无旋场，其原函 数为 a ( 2 )i ( 2 ) j ( 2 )k 2 2 2 = x − yz + y − xz + z − xy ( , , ) 2 2 2 (0,0,0) ( , , ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) x y z U x y z = x − yz dx + y − + xz dy z − + xy dz C ∫ 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( 2 ) ( ) 2 3 x y z = + x dx y dy + z − xy dz = x + y + z − xyz C ∫ ∫ ∫ + 。 11.证明向量场 ( 0) 2 2 2 2 > + + + + − = x x y x y x y x y a i j 是有势场并求势函数。 证 当 x > 0时， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∂ ∂ = + − − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x xy x y x y y ( ) ， 所以向量场a是有势场，其势函数为 ( , ) 2 2 (1,0) ( ) ( ) ( , ) ( , ) x y x y dx x y dy V x y U x y C x y − + + = − = − + + ∫ 2 2 2 2 1 0 1 arctan ln( ) 2 x y dx x y y dy C x y C x x y x + = − − + = − − + + + ∫ ∫ 。 12.证明向量场a = (2x + y + z) yzi + (x + 2y + z)zxj + (x + y + 2z)xyk 是有势场， 5
并求出它的势函数 证设a=ai+a+ak,则 +2x(y+2) =2-+2x(x+ 所以向量场a是有势场。设原函数为U=U(x,y,2),则 dU =(2x+y+=)yxdx+(x+2y+3)=xdy+(x+y+2=)xyz = Lyzdx+x(edy ydz)+Ly(zdx+xd)+= I =(dx+ xdy)+xydx-] +d(xy2-)=[xy(x+y+- 所以势函数为 V(x,y,==-U(x,y,3)=-xyz(x+y+:)+C 13.验证 (1)u=y3-3x2y为平面R2上的调和函数; (2)u=ln√(x-a)2+(y-b)2为R2{(ab)}上的调和函数 3) 为R3\{(0,0,0)}上的调和函数 解(1)因为 a2u a2 6 所以 a-u a-u 即u=y3-3x2y为平面R2上的调和函数。 (2)因为 (x-a)2+(y-b)2'ay(x-a)2+(y-b)2 a-u (y-b)"-( )2+(y-b)2]ay2[(x-a)2+(y-b)2] 所以 a2u a 即un=l(x-a)2+(y-b)2为R2\{(ab)}上的调和函数。 (3)记r +y 则 a-u 1
并求出它的势函数。 证 设a = ax i + ay j + azk ，则 x a y y x z z a z a x x y z y az y x z ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ 2 ( ) , 2 ( ) 2 2 ， y a z z x y x ay x ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ 2 ( ) 2 ， 所以向量场a是有势场。设原函数为U U= ( , x y,z)，则 dU = + (2x y + z) yzdx + (x + 2y + z)zxdy + (x + y + 2z)xydz [ ( )] [ ( ) ] 2 2 2 2 = yzdx + x zdy + ydz + y zdx + xdz + zxdy [ ( ) ] 2 2 + z ydx + xdy + xydz ( ) ( ) ( ) [ ( )] 2 2 2 = d x yz + d xy z + d xyz = d xyz x + y + z ， 所以势函数为 V ( , x y z, ) = −U ( , x y z, ) = −xyz(x + y + z) + C 。 13.验证： （1）u y = −3 3x 2 y 为平面 2 R 上的调和函数； （2） 2 2 u = ln (x − a) + ( y − b) 为R2 \ {(a,b)}上的调和函数； （3） 2 2 2 1 x y z u + + = 为R3 \ {(0,0,0)}上的调和函数。 解（1）因为 y y u y x u y x y u xy x u 6 , 3 3 , 6 , 6 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ ， 所以 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u ， 即u y = −3 3x 2 y 为平面 2 R 上的调和函数。 （2）因为 2 2 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) x a y b y b y u x a y b x a x u − + − − = ∂ ∂ − + − − = ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) , [( ) ( ) ] ( ) ( ) x a y b x a y b y u x a y b y b x a x u − + − − − − = ∂ ∂ − + − − − − = ∂ ∂ ， 所以 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u ， 即 2 2 u = ln (x − a) + ( y − b) 为R2 \ {(a,b)}上的调和函数。 （3）记 2 2 2 r = x + y + z ，则 2 3 1 r x r x x r u = − = − ∂ ∂ ， 5 2 2 3 4 3 2 3 1 3 1 r x r r x r x x r u = − + = − + ∂ ∂ ， 6
a-u +3y=-1+3 r/ 所以 a21 0 即=1为R21(09上的调和函数。 14.设u(x,y)在R2上具有二阶连续偏导数,证明u是调和函数的充要条 件为:对于R中任意光滑封闭曲线C,成立d=0,为沿C的 外法线方向的方向导数。 证必要性。设C是R2中任意光滑封闭曲线,由 Ou a,cos(n, x)+cos(n, y)=cos(t, y)-Ou cos(t, x) an ax ax 其中n、分别是曲线C上点(x,y)处的单位外法向和单位切向,得到 由gren公式,得到 au a2u ddy=0。 充分性。如果存在点M(x0),使得83u(x,1).a2uxy)≠0, 不妨设其大于零。由于u(x,y)具有二阶连续偏导数,所以存在δ>0, 使得在D=O(M0,)上,成立 a2u a2u Ox a 于是 ds dxdy>0 与条件矛盾,所以u是调和函数。 15.设u=u(x,y)与v=v(x,y)都为平面上的调和函数。令F=√m2+y2。证 明当p≥2时,在F≠0的点成立 (FP)≥0 证由 P Fp-Iu+Wx=PFP-2(uux +vv,)
2 3 u 1 y y r r r ∂ = − = − ∂ y ， 2 2 2 3 4 3 1 1 3 3 u y y y r r r r r ∂ = − + = − + ∂ 5 y ， 2 3 u z 1 z r r r ∂ = − = − ∂ z ， 2 2 2 3 4 3 1 1 3 3 u z z z r r r r r ∂ = − + = − + ∂ 5 z 所以 3 0 3 5 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 = + + = − + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r x y z z r u y u x u ， 即 2 2 2 1 x y z u + + = 为R3 \ {(0,0,0)}上的调和函数。 14.设u( , x y)在 2 R 上具有二阶连续偏导数，证明 是调和函数的充要条 件为：对于 u 2 R 中任意光滑封闭曲线C ，成立 = 0 ∂ ∂ ∫ C ds n u ， n u ∂ ∂ 为沿C 的 外法线方向的方向导数。 证 必要性。设C 是 2 R 中任意光滑封闭曲线，由 cos( , ) cos( , y) y u x x u u n n ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ n cos( , ) cos( , x) y u y x u τ τ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ， 其中n、τ分别是曲线C 上点(x, y)处的单位外法向和单位切向，得到 ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ C C dx y u dy x u ds u n 。 由 green 公式，得到 ∫ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ C D dxdy y u x u ds n u 2 2 2 2 = 0。 充分性。如果存在点M 0 (x0 , y0 ) ，使得 0 ( , ) ( , ) 2 0 0 2 2 0 0 2 ≠ ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x y x u x y ， 不妨设其大于零。由于u( , x y)具有二阶连续偏导数，所以存在δ > 0， 使得在 ( , ) D = O M0 δ 上，成立 2 2 2 2 y u x u ∂ ∂ + ∂ ∂ > 0， 于是 ∫ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ C D dxdy y u x u ds n u 2 2 2 2 > 0， 与条件矛盾，所以u是调和函数。 15.设u u = ( , x y)与v v = ( , x y)都为平面上的调和函数。令 2 2 F = u + v 。证 明当 p ≥ 2时，在 F ≠ 0的点成立 ∆( ) F p ≥ 0。 证 由 ( ) 1 2 x x p x x p p pF uu vv F uu vv pF x F = + + = ∂ ∂ − − 7
和 l.+11 得到 =p(p-2)FP4( 和 a2=p(P-2)F(a,+w,)2+pF"(a2+y2、x+wn), 所以 △(FP) p(P-2)F"(mx+wx)2+(mn+w,)2]+pF2(n2+n2+n2+v2)≥0。 16.设B={(x,y,)x2+y2+x2≤1},F(x,y,):R3→R3为具有连续导数的 向量值函数,且满足 Fa=(00),VFB=0 证明:对于任何R3上具有连续偏导数的函数g(x,y,)成立 ∫jvg:Fot=0 证由v(gF)=VgF+gV.F及 Gauss公式,得到 ∫ Vg. Fdxdy=v(gFoh-vtd gF·dS fardd==0 最后一个等式利用了条件到n=(000),VFn=0。 17.设D={(x,y)∈R2x2+y2<l},u(x,y)在D上具有连续二阶偏导数。进 一步,设u在D上不恒等于零,但在D的边界aD上恒为零,且在D 上成立 a-u a-u An(元为常数 证明 adu dxdy+a [ju-dxdy 证由gren公式, t dy )-+(-)2+l( Oy ay 由于在D上uxy)恒为零,所以[-t+n=0,另一方面,在D
和 1 2 ( ) p p p y y y y F uu vv pF pF uu y F − − ∂ + = = ∂ + vv ， 得到 ( 2) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 x x xx xx p x x p p p p F uu vv pF u v uu vv x F = − + + + + + ∂ ∂ − − 和 ( 2) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 y y yy yy p y y p p p p F uu vv pF u v uu vv y F = − + + + + + ∂ ∂ − − ， 所以 ∆( ) = p F p( p − 2)F p−4 [(uux + vvx ) 2 + (uuy + vvy ) 2 ] + pF p−2 (ux 2 + vx 2 + u 2 y + v 2 y ) ≥ 0。 16.设 ， ： 为具有连续导数的 向量值函数，且满足 {( , , ) | 1} 2 2 2 B = x y z x + y + z ≤ F(x, y,z) 3 3 R → R ≡ (0,0,0) ∂B F ，∇ ⋅ ≡ 0 B F 。 证明：对于任何 3 R 上具有连续偏导数的函数 g(x, y,z)成立 ∇ ⋅ = 0 ∫∫∫ g dxdydz B F 。 证 由∇ ⋅(gF) = ∇g ⋅F + g∇ ⋅F 及 Gauss 公式，得到 ∇ ⋅ = ∫∫∫ g dxdydz B F ∇ ⋅ − ∫∫∫ g dxdydz B ( F) g dxdydz ∫∫∫ ∇ ⋅ B F = g ⋅ dS ∫∫ ∂B F g dxdydz ∫∫∫ − ∇ ⋅ B F = 0， 最后一个等式利用了条件 ≡ (0,0,0) ∂B F ，∇ ⋅ ≡ 0 B F 。 17.设D ={(x, y) ∈ R2 | x 2 + y 2 < 1}，u(x, y)在D上具有连续二阶偏导数。进 一步，设u在D上不恒等于零，但在D的边界∂D上恒为零，且在 上成立 D u y u x u = λ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 （λ 为常数）。 证明 grad 0 2 2 ∫∫ + ∫∫ = D D u dxdy λ u dxdy 。 证 由 green 公式， D u u u dx u dy y x ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∫ dxdy y u x u u y u x u D ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 。 由于在∂D上u(x, y)恒为零，所以 D u u u dx u dy y x ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∫ = 0，另一方面，在D 8
上成2un 所以 ∫(c)2+()2+n2ad=0, 即 ∫| grad ul dxdy+ afu'dxdy=0。 18.设区域Ω由分片光滑封闭曲面Σ所围成,(x,y,)在g上具有二阶 连续偏导数,且在Ω上调和,即满足 a2u au a -=0 (1)证明 dS=0 其中n为Σ的单位外法向量: (2)设(xn,yo,=0)∈9为一定点,证明 xo,yo,20)-4π23 on 其中r=(x-x,y-ya,z-z0),r=rl。 证(1)设n=(cosa,cos,cosy),由方向导数的计算公式及 Gauss公式, 得到 ds=l(cosa+ cos B+cosy)ds ut )dxdydx=0 (2)由于cos(r,n)= r·n √=(gadm)n,于是 4z从<s/mJnh+Q在h+Rh, 其中P=(x=M0+7吵,9=3-m+r2n R 0)+r-2 经计算得到 aP ax r3 uL
上成立 u y u x u = λ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 ，所以 ( ) ( ) 0 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∫∫ u dxdy y u x u D λ ， 即 grad 0 2 2 ∫∫ + ∫∫ = D D u dxdy λ u dxdy 。 18.设区域Ω 由分片光滑封闭曲面Σ 所围成，u(x, y,z) 在Ω 上具有二阶 连续偏导数，且在Ω上调和，即满足 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u 。 （1）证明 = 0 ∂ ∂ ∫∫ Σ dS n u ， 其中n为Σ 的单位外法向量； （2）设(x0 , y0 ,z0 ) ∈Ω 为一定点，证明 ∫∫ Σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + dS n u r r u x y z u cos( , ) 1 4 1 ( , , ) 0 0 0 2 r n π ， 其中 ( , , ) 0 0 0 r = x − x y − y z − z ，r =| r |。 证（1）设n = (cosα, cos β, cos γ ) ，由方向导数的计算公式及 Gauss 公式， 得到 ∫∫ ∫∫ Σ Σ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ dS z u y u x u dS n u ( cosα cos β cosγ ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫∫∫ Ω dxdydz z u y u x u 。 （2）由于 r r ⋅ n cos(r,n) = ， = ⋅ n ∂ ∂ (gradu) n u ，于是 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∫∫ + Σ dS n u r r u cos( , ) 1 4 1 2 r n π ∫∫ Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 4π 1 ， 其中 3 2 0 ( ) r x x u r u P − + x = ， 3 2 0 ( ) r y y u r u Q − + y = ， 3 2 0 ( ) r z z u r u R − + z = 。 经计算得到 r u u r x x r u x P xx + − = − ∂ ∂ 5 2 0 3 ( ) 3 ， r u u r y y r u y Q yy + − = − ∂ ∂ 5 2 0 3 ( ) 3 ， 9
所以 0。 Cx ay az 现在取一个以(x0,y0,=0)为中心,δ>0为半径的球面S,使得 S。cg,并设n为S0的单位外法向量,然后在Σ与S所围的区域g上 应用 Gauss公式,得到 cos(r, n),I Ou les_1 从而 cos(r, n) 1 au dS cos(r,n n)1adS。 r on 注意r=为常数,cos(r,n)=1与∫S=0,则 cos(r, n) 1 au r on 4n82J2(x,y,=)dS, 利用积分中值定理并令δ→0,即得 (x0,y0,=0) s(r, n) 1 a
r u u r z z r u z R zz + − = − ∂ ∂ 5 2 0 3 ( ) 3 ， 所以 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z R y Q x P 。 现在取一个以(x0 , y0 ,z0 )为中心，δ > 0为半径的球面S0，使得 S0 ⊂ Ω，并设n 为S0的单位外法向量，然后在Σ 与 所围的区域 上 应用 Gauss 公式，得到 S0 Ω′ 0 2 ( ) 1 cos( , ) 1 1 ( ) 4 4 S u P Q R u dS dx π π r r n x y z Σ+ − Ω′ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = + + ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∫∫∫ r n dydz = 0， 从而 2 1 cos( , ) 1 4 u u dS π r r n Σ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∫∫ r n 0 2 1 cos( , ) 1 4 S u u d π r r n ⎛ ⎞ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∫∫ r n S 。 注意r = δ 为常数，cos(r n, ) =1与 0 0 = ∂ ∂ ∫∫ dS n u S ，则 2 1 cos( , ) 1 4 u u dS π r r n Σ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∫∫ r n ∫∫ = 0 ( , , ) 4 1 2 S u x y z dS πδ ， 利用积分中值定理并令δ → 0，即得 ∫∫ Σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + dS n u r r u x y z u cos( , ) 1 4 1 ( , , ) 0 0 0 2 r n π 。 10
