第十一章 Euclid空间上的极限和连续 习题11.1 Eucl id空间上的基本定理 证明定理11.1:距离满足正定性、对称性和三角不等式。 证(a)显然有|x-y≥0,而且 x-y=0分x=y;(i=1,2,…,n)分x=y (b)由距离定义直接可得 x-y闩y (c)由于 f()=∑(a-tb)∑b2-2∑a+∑a220, 所以关于上述两次三项式的判别式有 ∑-∑q∑h2≤0 即 ∑ab 于是 ∑(+b)=∑b2+2∑q+∑ +3立,-( 即 a1+b)2≤ b 令a=x,-y,b=y-,则有 )2=,∑(a+b)
第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 习题 11.1 Euclid 空间上的基本定理 1. 证明定理 11.1.1： 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 证 （a）显然有| x y − |≥ 0，而且 | | x y − = 0 ⇔ ( 1, 2, , ) i i x = = y i … n ⇔ x = y 。 (b) 由距离定义直接可得 | | x y − =| y − x |。 (c) 由于 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 0 n n n n i i i i i i i i i i f t a tb t b t a b a = = = = = − ∑ ∑= − ∑ +∑ ≥ ， 所以关于上述两次三项式的判别式有 2 2 2 1 1 1 0 n n n i i i i i i i a b a b = = = ⎛ ⎞ − ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ， 即 2 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = = ∑ ∑ ≤ ∑ 2 1 。 2 1 n i= ∑ 于是 2 2 1 1 1 ( ) 2 n n n i i i i i i i i i a b b a b a = = = ∑ ∑ + = + ∑ + 2 2 2 2 1 n i i a 1 1 1 = 2 n n n i i i i i i b a b = = = ≤ + ∑ ∑ ∑ +∑ 2 2 2 1 1 n n i i i i a b = = ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ， 即 2 1 ( ) n i i i a b = ∑ + 2 2 1 1 n n i i i i a b = = ≤ ∑ + ∑ 。 令a x i i = − yi ,bi = yi − zi ，则有 2 2 1 1 | | ( ) ( n n i i i i i i x z a ) = = x z − = ∑ ∑ − = + b 1
2.证明:若R"中的点列{x}收敛,则其极限是唯一的 证假设x和y都是点列{xk}的极限,则vE>0 EN,, Vk>N: xr-xks, 于是当k>max{N1,N2}时,成立 I+xr-yk2a 由于E是任意正数,所以x=y,即极限是唯一的。 3.设R”中的点列{x}和{y}收敛,证明:对于任何实数a,B,成立 等式 lim(ax, By,)= a lim x, t B lim y 证设imxk=x, lim yk=y,则ⅤE>0, EN, Vk>N: xr-xka aN,, Vk>N,: Ly,-yke, 于是当k>max{N,N2}时,成立 (ax4+By)-(ax+By)a‖x-x+B‖y4-y0,y≠0}; (2)S={(x,y)100.y≠0};as={x,y)x=0或x>0,y=0} (2)s={x)0x2+y2<l,as=(xy2+y2=0或x2+y2=1 (3)S=0,aS=(x, y)0<xsl, y=sin -pxx=0, -ls ysI (x,y)0<x≤1,y=sin或x=0,-1≤y≤1
2 2 1 1 n n i i i i a b = = ≤ ∑ + ∑ =| | x y − + | y − z |。 2. 证明：若 n R 中的点列{xk }收敛，则其极限是唯一的。 证 假设x和y都是点列{xk}的极限，则∀ε > 0， 1 1 , :| N k N k ∃ ∀ > x x − | x y − | max{N1, N2}时，成立 | | | | | | 2 k k x y − 0， 1 1 , :| N k N k ∃ ∀ > x x − | y y − | max{N1, N2}时，成立 | ( ) ( ) | | || | | || | α x +k k β α y − ≤ x + β y α x x k − + β y y k − 0, y ≠ 0}； （2）S = {(x, y) | 0 0, y ≠ 0 D S ；∂ S = {(x, y) x = 0或x > 0, y = 0}; S = { } (x, y) x ≥ 0 。 (2) {( , ) 0 1} 2 2 = x y < x + y < D S ; ∂ S {( , ) 0 1} 2 2 2 2 = x y x + y = 或x + y = ; {( , ) 1} 2 2 S = x y x + y ≤ 。 (3) = ; D S ∅ ∂ S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ = = 0,−1 ≤ ≤ 1 1 ( , ) 0 1, sin x y x x y x y 或 ; S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ = = 0,−1 ≤ ≤ 1 1 ( , ) 0 1, sin x y x x y x y 或 。 2
5.求下列点集的全部聚点 (1)S={(-1) k k (2 2k丌 k=1,2 (3)S={(x,y)(x2+y2)y2-x2+1)≤0}。 解(1)S"={tl}。 S'=x,y 6.证明定理113:x是点集S(cRn)的聚点的充分必要条件是:存 在S中的点列{xk},满足xk≠x(k=12…),且 lim xk=x。 证必要性:假设x是点集s的聚点,对于=1,在x的。=1邻域中任 k 取一点xk≠x,则有 lim xk=x。 充分性:用反证法。假设x不是点集S的聚点,则在x的某邻域 O(x,δ),o>0中,最多只有S的有限个点,所以S∩Ox,)-{x}为有限集, 于是d=infy-xly∈S,y≠x}>0,故不存在S中满足xk≠x的点列{x 以x为极限,产生矛盾。 7.设U是R2上的开集,是否U的每个点都是它的聚点。对于R2中 的闭集又如何呢? 解开集U中的每个点x一定是它的内点,所以x的任意邻域都有U 中的无限个点,所以x一定是U的聚点。 由于S={00)}是R2上的闭集,而S只有一个点,所以无聚点, 即闭集中的点不一定是它的聚点 8.证明ScR"的所有内点组成的点集S°必是开集 证假设x∈S,则3>0,O(x,。)cS。而vy∈O(x,δ),由于 O(y,6-1y- dco(x,),所以y也是S的内点,从而O(x,δ)cS°,于是 S必是开集。 9.证明scR"的闭包§=SUS必是闭集。 证假设x∈S,则xgS,且x不是S的聚点,于是在x的某邻域O(x,δ) 中至多只有S的有限项,故存在x的邻域O(x,)不含S的点,即
5. 求下列点集的全部聚点： （1）S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + − 1,2," 1 ( 1) k k k k ； （2）S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1,2," 5 2 , sin 5 2 cos k kπ kπ ； （3）S = {(x, y) | (x 2 + y 2 )( y 2 − x 2 +1)≤0}。 解 (1) S' = {±1}。 (2) S' = ∅。 (3) S' {( , ) 1 0} 2 2 = x y y − x + ≤ 。 6. 证明定理 11.1.3：x是点集S（ n ⊂ R ）的聚点的充分必要条件是：存 在S中的点列{xk}, 满足xk ≠ x（ k =1,2,"），且 x k→∞ lim k = x 。 证 必要性：假设x是点集S的聚点，对于 1 k δ = ， 在x的 1 k δ = 邻域中任 取一点xk ≠ x，则有 x k→∞ lim k = x 。 充分性：用反证法。假设x不是点集S的聚点，则在x的某邻域 O( , x δ ), δ > 0中，最多只有S的有限个点，所以 S ∩ O( , x δ ) −{x}为有限集， 于是d = − inf{| y x | y∈ S, y ≠ x} > 0，故不存在S中满足xk ≠ x的点列{xk} 以x为极限，产生矛盾。 7. 设 U 是 2 R 上的开集，是否 U 的每个点都是它的聚点。对于 2 R 中 的闭集又如何呢？ 解 开集 U 中的每个点 x 一定是它的内点，所以 x 的任意邻域都有 U 中的无限个点，所以 x 一定是 U 的聚点。 由于 S = {(0,0)}是 2 R 上的闭集，而 S 只有一个点，所以无聚点， 即闭集中的点不一定是它的聚点。 8. 证明S ⊂ Rn 的所有内点组成的点集SD 必是开集。 证 假 设 x ∈SD ， 则 ∃ > δ 0 ， O( , x δ ) ⊂ S 。 而 ∀y ∈ O( , x δ ) ，由于 O( , y y δ − − | x |) ⊂ O(x,δ ) ，所以 y 也是 S 的内点，从而 ，于是 必是开集。 o O( , x δ ) ⊂ S D S 9. 证明S ⊂ Rn 的闭包S = S ∪S′必是闭集。 证 假设 x c ∈S ，则 x∉ S ，且 x 不是 S 的聚点，于是在 x 的某邻域O( , x δ ) 中至多只有 S 的有限项，故存在 x 的邻域 1 O( , x δ )不含 S 的点，即 3
0(x,a)cS°,从而S为开集,所以S必是闭集 10.设E,FcR"。若E为开集,F为闭集,证明:E\F为开集,F\E为 闭集。 证由于F为闭集,所以F为开集,而E\F=E∩F,也是开集。由于E 为开集,所以E为闭集,从而F\E=F∩E也是闭集 11.证明 Cantor闭区域套定理。 证假设S}是非空闭集序列,满足 S1=S2=…=Sk2Sk=…, 以及 lim diam s4=0。任取x∈S,则当m,n>k时,xn,xn∈S4,从而成 立xmxn|≤danS,于是{x}是基本序列,从而收敛,设其极限为x 对于任意k,当m≥k时,xn∈S,所以{x}的极限x∈S=S,于是 x∈∩S,所以∩S非空 再证唯一性。假设y∈∩S,则x- yls diam S,→>0(k→∞),所以 x=) 12.举例说明:满足mx-x=0的点列{x}不一定收敛 解x=∑∈R,则 lim xk-x:|=l →k+1 0,而kk=S1→+,所以 {xk}不收敛 13.设E,FCR"为紧集,证明E∩F和EUF为紧集。 证因为E,FcR"为紧集,所以E,F为有界闭集,于是可知E∩F和EUF 也都是有界闭集,即紧集
1 O( , x δ ) c ⊂ S ，从而 c S 为开集，所以S必是闭集。 10. 设 。若 为开集，F 为闭集，证明： 为开集， 为 闭集。 n E, F ⊂ R E E \ F F \ E 证 由于 为闭集，所以 为开集，而 ，也是开集。由于 为开集，所以 为闭集，从而 也是闭集。 F c F E F\ c = E∩F E c E \ c F E = F∩E 11. 证明 Cantor 闭区域套定理。 证 假设{Sk}是非空闭集序列，满足 1 2 k k 1 S S S S ⊃ ⊃" " ⊃ ⊃ + ⊃ ， 以及lim diam 0 k k S →∞ = 。任取 k S ∈ k x ，则当 m, n>k 时， ，从而成 立 , m n k x x ∈ S x x m n − ≤ diam Sk k ，于是{ 是基本序列，从而收敛，设其极限为 。 对于任意 k，当 时， }k x x m ≥ k m x ∈ S ，所以{xk}的极限 k S S ∈ = k x ，于是 ，所以 非空。 1 k k S ∞ = x ∈∩ 1 k k S ∞ = ∩ 再证唯一性。假设 ，则 1 k k S ∞ = y ∈∩ diam k x y − ≤ S → 0（ ），所以 。 k → ∞ x = y 12. 举例说明：满足lim 0 +1 − = →∞ k k k x x 的点列{xk}不一定收敛。 解 xk 1 1 k i i = = ∑ ∈R ，则 1 1 lim lim 0 1 k k k k k + →∞ →∞ − = + x x = ，而 |xk|= 1 1 k i i = ∑ → +∞ ，所以 {xk}不收敛。 13. 设E, F ⊂ Rn为紧集，证明E ∩ F和E ∪ F为紧集。 证 因为 为紧集，所以 为有界闭集，于是可知 和 也都是有界闭集，即紧集。 n E, F ⊂ R E, F E ∩ F E ∪ F 4
14.用定义证明点集{0Uk=12…}是R中的紧集。 证假定为点集S=0u1k=12,}的任一开覆盖。设0∈U 则36>0:0(0)=0,于是当k、时,k=n4对于{1、、 存在n}中U,使得eUm =0,1,…,[]。于是 n,n|k=0.已构成S的有限开覆盖,所以S为紧集 15.应用 Heine- Borel定理直接证明:R"上有界无限点集必有聚点。 证假定S为R"上有界无限点集,则由习题9,§=S∪S'必是闭集。 如果S无聚点,即S'=⑧,则S为s=S,即S为有界闭集,从而由 Heine- Borel定理知S为R"上的紧集 x∈S,由于x不是S的聚点,存在O(x)只含有S中有限个点。 显然O(x,6)x∈S}构成为S的一个开覆盖,但由于其中有限个O(x,) 只能包含S中有限个点,因而不存在S的有限开覆盖,矛盾!所以S 必有聚点
14. 用定义证明点集 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∪ = 1,2," 1 {0} k k 是R 中的紧集。 证 假定{U }α 为点集 S= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∪ = 1,2," 1 {0} k k 的任一开覆盖。设 0 0∈Uα ， 则 0 0 :O(0, ) Uα ∃ > δ δ ⊂ ，于是当 1 k δ > 时， 0 1 U k ∈ α 。对于 1 1 k 0,1, ,[ ] k δ ⎧ ⎫ ⎨ = ⎬ ⎩ ⎭ " ， 存在{U }α 中 k Uα ，使得 1 1 , 0,1, ,[ k U k k α ] δ ∈ = " 。于是 0 1 , 0,1, ,[ k U U k α α ] δ ⎧ ⎨ = ⎩ ⎭ " ⎫ ⎬构成 S 的有限开覆盖，所以 S 为紧集。 15. 应用 Heine-Borel 定理直接证明： n R 上有界无限点集必有聚点。 证 假定 S 为 n R 上有界无限点集，则由习题 9，S = S ∪S′必是闭集。 如果 S 无聚点，即S' = ∅，则 S 为S = S，即 S 为有界闭集，从而由 Heine-Borel 定理知 S 为 n R 上的紧集。 ∀ ∈x S ，由于 x 不是 S 的聚点，存在O( δ ) x x, 只含有 S 中有限个点。 显然{ ( O δ ) | ∈ } x x, x S 构成为 S 的一个开覆盖，但由于其中有限个O( ) δ x x, 只能包含 S 中有限个点，因而不存在 S 的有限开覆盖，矛盾！所以 S 必有聚点。 5