习题11.2多元连续函数 1.确定下列函数的自然定义域: (1)u=ln(y-x)+ (2)u=-+-+ (3)u=√R y (R>r) (4)u=arcsin 解()D=(xx+y2x D=(xy=)x>0y>0.z>0} (3)D=(xy2≤x +y2+2≤R2 (4)D=kxy-列5x2+y2x2+y2≠0 2.设 0),求f(x)。 解因为 所以 f(x)= 3.若函数 z(x,y)=y+f(√x-1), 且当y=4时z=x+1,求f(x)和x(x,y) 解由(x,4)=√4+f(x-1)=x+1,可得 f(√x-1) 所以 f(x)=(x+1)2-1 4.讨论下列函数当(x,y)趋于(0,0)时的极限是否存在
习题 11.2 多元连续函数 1. 确定下列函数的自然定义域： （1） 2 2 1 ln( ) x y x u y x − − = − + ； （2） x y z u 1 1 1 = + + ； （3） ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 u = R − x − y − z + x + y + z − r R > r ； （4） 2 2 arcsin x y z u + = 。 解 (1) D = {(x, y) x + y x} 2 2 。 (2) D = { } (x, y,z) x > 0, y > 0,z > 0 。 (3) { } 2 2 2 2 2 D = (x, y,z) r ≤ x + y + z ≤ R 。 (4) {( , , ) , 0} 2 2 2 2 D = x y z z ≤ x + y x + y ≠ 。 2. 设 2 2 3 / 2 3 (x y ) x x y f + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (x > 0)，求 f (x)。 解 因为 3 2 2 3/ 2 3 2 2 1 ( ) 1 y x f x x y y x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ， 所以 2 3 2 (1 ) 1 ( ) x f x + = 。 3． 若函数 z(x, y) = y + f ( x −1)， 且当 y = 4时 z = x +1，求 f (x)和 z(x, y)。 解 由 z( , x f 4) = + 4 ( x −1) = x +1，可得 2 f x ( 1− =) x −1 = ( 1 x − +1) −1， 所以 2 2 f ( ) x x = + ( 1) −1 = x + 2x , z(x, y) = x + y −1。 4． 讨论下列函数当(x, y)趋于(0,0) 时的极限是否存在： 1
(1)x,以x-y (2)f(x,y) (3)f(x,y)= 00,(x,y)→(0,0) Lay 所以当(x,y)趋于(0,0)时函数极限存在且为0。 对多元函数证明极限唯一性,局部有界性,局部保序性和局部 夹逼性 证(1)假设imf(x)=A,imf(x)=B,则vE>0, 361>0,Vx(04x-x0ka1):|f(x)-4|kE 362>0,x(04x-x0k2):|f(x)-BkE 取δ=min{61,2}>0,当04x-x0kδ,成立 IA-Bksf(x)-A+lf(x)-Bk 由于E为任意正数,所以A=B,即极限唯 (2)假设limf(x)=A,则对于E=1, x→x
（1） x y x y f x y + − ( , ) = ； （2） 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ； （3） （4） ⎩ ⎨ ⎧ 0， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 δ 0,∀x x (0 min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | A B− |≤ − | ( f x) A| + | ( f x) − B |< 2ε ， 由于ε 为任意正数，所以 A=B，即极限唯一。 （2）假设 f (x)=A,则对于 0 lim x→x ε =1， 2
36>0,x(0limg(x)=B,则对于=4-B>0, 31>0.,Vx(04x-x0ka):|f(x)-AkE, 即 A+B f(x)>A 2 又 d2>0,Vx(04x-x0kO2):|8(x)-Bk 即 a+ g(xr)0,当04x-xkδ,成立局部保序性 a+B f(x) (4)假定存在p>0,使当00,由limh(x)=A, 361>0,Vx(04x-x0ka1):|h(x)-AkE, 所以 h(x)0,x(04x-x0k2):|g(x)-AkE, 所以 g(x)>A-a 取δ=min{,,2}>0,当04x-xk8,成立 A-E<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+E 即Iimf(x)=A 6.对多元函数证明极限的四则运算法则:假设当x趋于x时函 数f(x)和g(x)的极限存在,则 (1)limf(x)±g(x)=limf(x)±limg(x);
0 ∃ > δ 0,∀x x (0 g (x)=B，则对于 0 lim x→x 0 lim x→x 0 2 A B ε − = > ， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 − = 。 又 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | 0 ，使当 0 0 | ε 0 , 由 h (x)=A， 0 lim x→x 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 δ 0,∀x x (0 A−ε 。 取δ ρ = > min{ ,δ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < x x − |< δ ，成立 A g − < ε ( ) x x ≤ f ( ) ≤ h( ) x < A+ ε ， 即 f (x)=A。 0 lim x→x 6． 对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当 x 趋于 x 时函 数 f (x)和 g (x)的极限存在，则 0 （1） f (x)±g (x)) = f (x)± g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 3
(2)lim(f(x) g(x))=lim f(x); lim g(x); 3)lim (f(x)/g(x))=lim f(xr)/lim g(x)( lim g(x)=0) 证假设imf(x)=A,img(x)=B。则对任意E>0, 361>0,Vx(04x-x0ka1):|f(x)-4|kE 82>0,Vx(00,当04x-x0kd,成立 (f(x)±g(x))-(A±B)图∫(x)-A+|g(x)-Bk2E, 所以(1)成立 由于g(x)在x有极限,所以g(x)在x局部有界,即存在正数Ⅹ 和8">0 04x-x0ka):|g(x)kX。取δ=min{,6,0}>0,当 00,x(04x-xk6"): g(xlB B 取δ=min{6”,,62}>0,当04x-xk,成立 I(x)A B((x)-A)-A(g(x)-B Bg(x) 2(4|+|B| IBI 所以(3)成立。 求下列各极限: (1) (2) 1+x2+ m y (3) lim (4)lim (xy)10)y1+x2+y2-1 (5) lim n(x+e (6) lim sin(x+y (x,y)(0,0) (x,y)→+(0.0)x-+y (7) 1-cos(x+y) (xy)00(x2+y2)x2y2 (8)lim(x2+y2)e-(x+y lim (1-xy) 解(1)lin (x,y)+(0,1)x-+ (x2+y2)
（2） (f (x) ·g (x)) = f (x)· g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x （3） (f (x)／g (x)) = f (x)／ g (x) （ g (x) ≠ 0）。 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 证 假设 f (x)=A， g (x)=B。则对任意 0 lim x→x 0 lim x→x ε > 0， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 δ 0,∀x x (0 min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | 0 ， ∀x 0 (0 0 ， 当 0 0 | 0， 0 ∀x x (0 −ε ≥ 。 取δ δ = > min{ ",δ 1 2 ,δ } 0 ，当 0 0 | < x x − |< δ ，成立 ( ) ( ( ) ) (() ) ( ) ( ) f A B f A A g B g B Bg − − − − ≤ x x x x x 2 2(| | | |) | | A B B ε + < ， 所以（3）成立。 7． 求下列各极限： （1） 2 2 ( , ) (0,1) 1 lim x y xy x y + − → ； （2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → ； （3） xy xy x y 1 1 lim ( , ) (0,0) + − → ； （4） 1 1 lim 2 2 2 2 ( , ) (0,0) + + − + → x y x y x y ； （5） 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim 2 x y x e y x y + + → ； （6） 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → ； （7） 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( ) 1 cos( ) lim x y x y x y x y + − + → ； （8） 。 2 2 ( ) lim ( ) x y y x x y e − + →+∞ →+∞ + 解 （1） ( , ) (0,1) 2 2 2 2 ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) lim (1 ) 1 lim 1 lim ( ) x y x y x y xy xy x y x y → → → − − = = + + 。 4
(2)lim(x2+y2)=0,lim(1+x2+y2)=1,所以 (3)1in√+x-1 4)x+m++=2 (5)ln(x2+e)=lm(+x2+e2-1)=x2+y2+o(y2)=x2+y2+o(x2+y2) 所以 lim (6) sin(x+y)x'yEx+ylx+y2-xyk21x+yllx2+y2I 所以 lim sin(x+y) 0。 x,y)→+(0x-+y (7)因为 1-cosx2+y)-(x2+y2)2(xy)→(020), (x2+y2xy21xyi’mo+1 所以 +1 cos(x"+y lim (xy)00)(x2+y2)x2y (xy)0)(x2+y)x (8)imn(x2+y)c)imn[(xe")e]+imn[oy2e)e-]=0 J→+ M→+ 8.讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限:
（2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim ( ) 0, lim (1 ) 1 x y x y x y x y → → + = + + = ，所以 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → = + ∞ 。 （3） ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 1 1 1 lim lim 1 1 x y x y xy → → xy xy + − = + + = 2 1 。 （4） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 ( , ) (0,0) lim lim ( 1 1) 2 1 1 x y x y x y x y x y → → + = + + + + + − = 2 2 。 （5） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln( ) ln(1 1) ( ) ( ) y y x + = e x + + e − = x + y + o y = x + y + o x + y ， 所以 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim y x y x e → x y + = + 1。 （6） 3 3 3 3 2 2 2 2 | sin(x + y x ) |≤| + y |=| x + + y || x y − xy |≤ 2 | x + y || x + y |， 所以 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → =0。 （7）因为 ( ) 2 2 1 2 2 2 1 cos( ) ( ) ( , ) (0, 2 − + x y ∼ x y + x y → 0) ， 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 ( ) | | x y x y x y xy + ≥ + ( , ) (0,0) 1 lim x y → xy ， = +∞ ， 所以 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 cos( ) lim ( ) x y x y → x y x y − + = + 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 ( ) 2 lim ( ) x y x y → x y x y + = + + ∞。 （8） 2 2 ( ) 2 2 lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 x y x y y x x x x y y y x y e x e e y e e − + − − − − →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + = ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 。 8． 讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限： 5
f(x, y) x v+ (x-y) (2)f(x,y) x2(1+x2)-y2(1+y2) x2+y2 (3) f(x,y)=xsin-+sin- 解(1)由于 f(x, y)=lin x1(1+kx)2 (1+kx)2+k2x41+k2 所以二重极限不存在。 由皿/(x)、0=0,y≠0,可知 limlim f(x,y)=0。同理可知 lim lim f(x,y)=0。所以二次极限存在且都等于0。 (2)由于 limf(x,y)=limx(+x)-kx2(1+k2x2)1-k2 (1+k2) 所以二重极限不存在。又 lilim f (x, y)=-lim(1+y=-1, lilim f(x, y)=lim(1+x)=1 x→0y→0 所以二次极限都存在但不相等。 (3)由于f(x,y)图x|+1y,所以limf(x,y)=0。 由于 lim yin(y≠0)和 lim xsin(x≠0)都不存在,所以两个二次 极限都不存在 9.验证函数
（1） 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) x y x y x y f x y + − = ； （2） 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) ( , ) x y x x y y f x y + + − + = ； （3） x y y f x y x 1 sin 1 ( , ) = sin + 。 解 (1) 由于 2 4 2 4 2 2 4 0 0 (1 ) 1 lim ( , ) lim x x (1 ) 1 y x kx x kx f x y 2 → → x kx k x k = + + = = + + + ， 所以二重极限不存在。 由 2 0 0 lim ( , ) 0, 0 x f x y y → y = = ≠ ，可知 0 0 limlim ( , ) 0 y x f x y → → = 。同理可知 。所以二次极限存在且都等于 0。 0 0 limlim ( , ) 0 x y f x y → → = （2）由于 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 (1 ) (1 ) 1 lim ( , ) lim x x (1 ) 1 y kx 2 x x k x k x k f x y → → x k k = + − + − = = + + ， 所以二重极限不存在。又 l y x i → → m 0 0 lim f x( , y) = −l y im →0 (1+ y 2 ) = −1， 。 2 0 0 0 limlim ( , ) lim(1 ) 1 x y x f x y x → → → = + = 所以二次极限都存在但不相等。 （3）由于| f x( , y) |≤ + | x | | y |，所以 0 0 lim ( , ) 0 x y f x y → → = 。 由于 0 1 lim sin ( 0) x y y → x ≠ 和 0 1 lim sin ( 0) y x x → y ≠ 都不存在，所以两个二次 极限都不存在。 9. 验证函数 6
0且 0,(x)=2(x-x)=1,所以当点(xy沿y=x2(x>0)趋 于原点时函数f(x,y)的极限为1,而当点(x,y)沿x轴趋于原点时函数 f(x,y)的极限为0,所以函数f(x,y)在原点不连续 对于函数f(x,y)在其它点的连续性只要考虑函数在下述曲线 y?NN=+2(x>0) 上的情况(因为在除去上述曲线和原点的区域上函数显然连续)。 设x>0。在(x1)=(2)点,由于 2(y--x2) lim f( m =0=f(x0,y), lim f(x, y)=0=f(xo, yo), 所以函数∫(xy)在(xn,x)=(xn,x)连续。同理可知函数f(x,y在 (xn,y)=(xn,2x2)也连续。 在(x0,y)=(x,x)点,由于 mf(xy=1m.2-2=2-h=1=x,y), 2(y--x2)2(x2-x2) lim f(x,y)= lim =1=f(x0,y), 所以函数f(x,y)在(x0,y)=(xn,x2)也连续 综上所述,函数f(x,y)除了在原点不连续,在其它点都连续 10.讨论函数 y2≠0, 的连续范围
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − > 0， 2 f x( , x ) = 2 2 2 2 1 1 2 x x x ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ = ⎝ ⎠ ，所以当点( , x y)沿 趋 于原点时函数 的极限为 1，而当点 2 y x = (x > 0) f x( , y) ( , x y)沿 轴趋于原点时函数 的极限为 0，所以函数 在原点不连续。 x f x( , y) f x( , y) 对于函数 f x( , y)在其它点的连续性只要考虑函数在下述曲线 2 2 2 ( 0 x > 1 , , 2 2 y x = = y x y = x ) 上的情况（因为在除去上述曲线和原点的区域上函数显然连续）。 设 x0 > 0。在 2 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) 2 x y x = x 点，由于 0 0 0 0 2 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) / 2 1 2( ) 2 lim ( , ) lim 0 ( , ) x y x y x y x y y x y x f x y f x y → → x > − = = = ， 0 0 2 ( , ) ( , ) / 2 lim ( , ) 0 x y x y y x f x y → ≤ = 0 0 = f ( , x y )， 所以函数 f x( , y) 在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 1 ( , ) 2 x x 连续。同理可知函数 f x( , y) 在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 ( , x 2x )也连续。 在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 ( , x x )点，由于 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 2 ( , )(, ) ( , )(, ) 0 2 2 2 lim ( , ) lim 1 x y x y x y x y x y x x y x x f x y → → x x > > − − = = = 0 0 = f ( , x y )， 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 2 ( , )(, ) ( , )(, ) 0 / 2 1 1 2( ) 2( ) 2 2 lim ( , ) lim 1 x y x y x y x y x y x y x x x f x y → → x x < ≤ − − = = = 0 0 = f ( , x y )， 所以函数 f x( , y)在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 ( , x x )也连续。 综上所述，函数 f x( , y)除了在原点不连续，在其它点都连续。 10. 讨论函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的连续范围。 7
解显然函数f(xy在区域{xyx2+y2≠0}上连续,所以只要考虑函 数∫(x,y)在原点的连续性。由|x2y|x(x2+y2),得到 所以 m x y 即函数在原点也连续。因此函数f(x,y)在平面上点点连续。 11.设f()在区间(a,b)上具有连续导数,D=(a,b)×(a,b)。定义D上的 函数 f(x)-f(y) ≠y, F(x,y) x= y 证明:对于任何c∈(a,b)成立 lim F(x, y)=f( 证由题设,利用 Lagrange中值定理f(x)-f(y)=f()(x-y),其中ξ介 于x和y之间。所以 m0(xy)=xm。()=f(c), lim F(x, y)=lim f(x)=f(c) 综合上面两式可得 lim F(x, y)=f(c) 12.设二元函数f(x,y)在开集DcR2内对于变量x是连续的,对于变 量y满足 Lipschitz条件 其中(x,y),(x,y")∈D,L为常数(通常称为 Lipschitz常数)。证明 f(x,y)在D内连续 证假设(xn,)∈D,由于函数对于变量x是连续,vE>0, 30>0.,Vx(x-xk<a),成立 f(x, yo)-f(o, yo)<8
解 显然函数 f x( , y)在区域{ } 2 2 ( , x y) x + y ≠ 0 上连续，所以只要考虑函 数 f x( , y)在原点的连续性。由 2 1 2 | | | | ( 2 2 x y x ≤ x + y )，得到 2 2 2 1 | | 2 x y x x y ≤ + ， 所以 ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → = 2 2 2 ( , ) (0,0) lim 0 x y x y → x y = + ， 即函数在原点也连续。因此函数 f x( , y)在平面上点点连续。 11．设 f (t)在区间(a,b)上具有连续导数，D = (a,b) × (a,b) 。定义 上的 函数 D ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = ≠ − − = ( ), . , , ( ) ( ) ( , ) f x x y x y x y f x f y F x y 证明：对于任何c ∈ (a,b)成立 lim ( , ) ( ) ( , ) ( , ) F x y f c x y c c = ′ → 。 证 由题设，利用 Lagrange 中值定理 f x( ) − f ( y) = f '(ξ )(x − y) ，其中ξ 介 于 x和 y 之间。所以 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) lim '( ) ( ) x y c c x y c c x y F x y f ξ f c → → ≠ = = ′ , ( , ) ( , ) lim ( , ) lim '( ) ( ) x y c c x c x y F x y f x f c → → = = = ′ , 综合上面两式可得 lim ( , ) ( ) ( , ) ( , ) F x y f c x y c c = ′ → 。 12．设二元函数 f (x, y) 在开集 2 D ⊂ R 内对于变量 是连续的，对于变 量 x y 满足 Lipschitz 条件： | f (x, y′) − f (x, y′′) | ≤L | y'− y′′ |， 其中(x, y′), (x, y′′)∈D ， L 为常数（通常称为 Lipschitz 常数）。证明 f (x, y)在D内连续。 证 假设 ( , x y 0 0 )∈D ，由于函数对于变量 x 是连续， ∀ > ε 0 ， 0 ∃ > δ 0,∀x x (| − x |< δ )，成立 0 0 0 f ( , x y ) − f (x , y ) < ε 。 8
当kx,y)-(x23)在D上都是连续的 证假设x∈D,由∫和g是连续,vE>0, 3>0,x(x-xk),成立f(x)-f(x0)k, a>0,Vx(x-x0k-+在x连续,证毕 14.证明复合映射的连续性定理(定理11.2.3) 证假设g在D上连续,∫在Ω上连续,并且x∈D,Ln=g(x)∈Ω。由∫ 在a上连续,VE>0,3n>0,Vm(u-lnkm)成立
当 0 0 ( , x y) − 0， 0 ∃ > δ 0,∀x x (| − x | δ ∀x x − x f x), g(x) − | 0 | 0 0 = + 0 ≤ + | ( g x)| ε | f (x ) | ε ， 由于 g 连续，所以 g 的每个分量都连续，从而都局部有界，于是 g 也 局部有界。根据上式，＜f , g＞在 x0连续，证毕。 14. 证明复合映射的连续性定理（定理 11.2.3）。 证 假设 g 在 D 上连续，f 在Ω上连续，并且 0 0 0 x u ∈ D, ( = g x )∈Ω。由 f 在u0 上连续， 0 ∀ε > ∃ 0, η η > 0,∀u u (| − u |< ) 成立 9
lf∫()-f(u)kE。 对于上述n>0,由g在x连续知3δ>0,Vx(x-xk。)成立 于是,当|x-xkδ时, l∫°g(x)-∫°g(x)|f()-f(u)kE, 所以复合函数∫。g在x连续
0 | ( f u) − f u( )| 0，由 g 在 x0连续知 0 ∃δ > ∀0, x x (| − x |< δ )成立 0 | ( g x) − g x( ) |<η 。 于是，当 0 | x x − |< δ 时， 0 0 | f D D g(x) − = f g(x ) | | f u( ) − f u( ) |< ε ， 所以复合函数 f D g在 x0连续。 10