精品课程《数学分析》课外训练方案 第十六章多元函数的极限与连续 第十七章多元函数微分学 、基本概念 1、多元函数的概念 n元函数的定义:设D是R"的一个子集,R是实数集,∫是一个规律,如果对D中的每一 点X=(x1…,xn),通过规律∫,在R中有唯一的一个y与此对应,则称∫是定义在D上的一 个n元函数,它在的函数值是y,并记此值为∫(x),即y=∫(x)。通常为方便,也称∫(x)是 个n元函数(不强调定义域) 2、多元函数的极限定义 设D是R”的一个开集,a∈D,A是一个常数,f(x)是定义在D-{a}上的n元函数.如 果VE>0,36>0,VxeO(a)-{a}有f(x)-Aa时n元函数收敛,其 极限是A,记为limf(x)=A或∫(x)→A(x→a)或limf(x1,x2,…xn)=A,其中, x2→a2 x=(x1,…,xn),a=(a1,…,an)) 说明:1)上述极限又称重极限或全极限,它与后面讲的逐次极限或累次极限不同: 2)从形式上看,n元函数极限的定义与一元函数的极限完全一样,但在这里x,a∈R O3(a)-{a}是n维去心开球 3)“x∈O2(a)-{a}”可改写为“0<x-a<6”,用坐标写出来为 4)“x∈O(a)-{a}”、“0<x-a<6”、和下面的叙述是等价的:x1-a1|< xn-an|<n,(x1…,x,)≠(a1,…,an)(即x≠a);但要注意: x-a|<d(i=12,…n),x≠a和0<x1-a<6(i=12,…,n)不是一回事!以R2为 例:x1-a1<6,x2-a2|<d,x≠a表示一个去心开正方形内部,而0<x1-a1|<d 0<x2-a2<,表示取样两条直线x1=a,x2=a的开正方形的内部
精品课程《数学分析》课外训练方案 第十六章 多元函数的极限与连续 第十七章 多元函数微分学 一、基本概念 1、多元函数的概念 n 元函数的定义：设 D 是 n R 的一个子集， R 是实数集， 是一个规律，如果对 中的每一 点 ，通过规律 ，在 f D ( , , ) 1 n X = x L x f R 中有唯一的一个 与此对应，则称 是定义在 上的一 个 元函数，它在的函数值是 y f D n y ，并记此值为 f (x) ，即 y = f (x) 。通常为方便，也称 是 一个 元函数（不强调定义域）。 f (x) n 2、多元函数的极限定义 设 D 是 n R 的一个开集，a ∈ D ， A 是一个常数， 是定义在 上的n 元函数．如 果 f (x) D −{a} ∀ε > 0， ∃δ > 0 ，∀x ∈O (a) −{a} δ 有 f (x) − A < ε ，则称当 时 元函数收敛，其 极限是 x → a n A ，记为 或 或 ，其中， ）． f x A x a = → lim ( ) f ( ) x) → A (x → a f x x xn A x a x a x a n n = → → → lim ( , , ) 1 2 2 2 1 1 L M ( , , ), ( , , ) 1 n a a1 an x = x L x = L 说明：１） 上述极限又称重极限或全极限，它与后面讲的逐次极限或累次极限不同； ２） 从形式上看， 元函数极限的定义与一元函数的极限完全一样，但在这里 ， 是 维去心开球； n n x,a ∈ R O (a) −{a} δ n 3 ）“ x ∈Oδ (a) −{a} ”可改写为“ 0 < x − a < δ ”，用坐标写出来为： < − + + − < δ 2 2 1 1 0 ( ) ( ) n n x a L x a ; ４）“ x ∈Oδ (a) −{a} ”、“ 0 < x − a < δ ”、和下面的叙述是等价的： , x1 − a1 < δ x2 − a2 < δ ， …， n an n x − < δ ， ( , , ) ( , , ) 1 n a1 an x L x ≠ L （即 x ≠ a ）；但要注意： xi − ai < δ （i = 1,2,L, n ），x ≠ a 和0 < xi − ai < δ （i = 1,2,L, n ）不是一回事！以 2 R 为 例： , x1 − a1 < δ x2 − a2 < δ ， x ≠ a 表示一个去心开正方形内部，而 0 < x1 − a1 < δ ， 0 < x2 − a2 < δ ，表示取样两条直线 x = a 1 ， x = a 2 的开正方形的内部。 1
精品课程《数学分析》课外训练方案 5)和一元函数的情形一样,如果limf(x)=A,则当x以任何点列及任何方式趋于a时, f(x)的极限即是A;反之,x以任何方式及任何点列趋于a时,f(x)的极限即是A,即在的极 限存在且为( Hermit定理)。但若x在某一点列或沿某一曲线→>a时,f(x)的极限为A,还不 能肯定∫(x)在a的极限是A。所以说,比一元函数的情形复杂得多。 2、二元函数极限定义 设D是R2中的一个开集,a∈D,A∈R,f定义在D-{a}上,若对 vE>0,96>0,V(x,y)∈O(a)-{a},有(x,y)-Ay)。 3、二元函数的连续、偏导数、可微的概念 都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限,切勿混淆。考虑函数∫(x,y)在(x0,y0)点 的情形,则它们分别为 f(x,y)在点(x0,y)连续定义为:limf(x,y)=f(x,y0) f(x,y)在点(x,y0)存在偏导数定义为: 0,yo)= lim f(x, yo)-f(xo,yo) f (ro, yo)=lim f(xo, y)-f(xo, yo) f(x,y)在点(x0,y)可微定义为 f(xo+Ax, yo+Ay)-f(o, yo)-f(xo, yo)Ax-f(o, yo )Ay 0 A→0 √Ax2+4y2 因此,要讨论∫(x,y)点(x0,y0)的可微性,首先要求fx(x0,y),f,(xo,y0)。这三个概念之间 的关系可以用下图表示(在(x0,y0)点 f∫连续 f’J,连续 ∫可微 fx,f,存在
精品课程《数学分析》课外训练方案 5） 和一元函数的情形一样，如果 f x A x a = → lim ( ) ，则当 以任何点列及任何方式趋于 a 时， 的极限即是 x f (x) A ；反之，x 以任何方式及任何点列趋于 a 时， f (x) 的极限即是 A ，即在的极 限存在且为（Hermit 定理）。但若 x 在某一点列或沿某一曲线→ a 时， f (x) 的极限为 A ，还不 能肯定 f (x) 在 a 的极限是 A 。所以说，比一元函数的情形复杂得多。 2、 二元函数极限定义 设 D 是 2 R 中 的 一个开集 ， a ∈ D, A∈ R ， f 定 义 在 D −{a} 上，若 对 ∀ > 0, ∋ > 0, ∀(x, y) ∈O (a) −{a} δ δ ε ，有 f (x, y) − A < ε ，则称当 时二元 函数 收敛，其极限是 ( , ) ( , ) 0 0 x y → x y f A ，记为 lim ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 f x y A or f x y A x y x y y y x x = → → → → → 。 3、二元函数的连续、偏导数、可微的概念 都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切勿混淆。考虑函数 在 点 的情形，则它们分别为： f (x, y) ( , ) 0 0 x y f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 连续定义为： lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 存在偏导数定义为： 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim0 x x f x y f x y f x y x x x − − = → ， 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim0 y y f x y f x y f x y y y y − − = → f (x, y) 在点( , ) 可微定义为： 0 0 x y 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ − − ∆ − ∆ ∆ →∆ → x y f x x y y f x y f x y x f x y y x y y x 因此，要讨论 点 的可微性，首先要求 ， 。这三个概念之间 的关系可以用下图表示（在 点） f (x, y) ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 f x y x ( , ) 0 0 f x y y ( , ) 0 0 x y 3 1 2 4 f 连续 x f ，f y 存在 f x ，f y 连续 f 可微 2
精品课程《数学分析》课外训练方案 在上述关系中,反方向均不成立。下面以(x0,y)=(0,0)点为例,逐一讨论。 0 小2,43例:,(xy)={x2+y 0 这是教材中的典型例题,f2(00)=f,(0.0)=0均存在,但f(x,y)在(00)点不可微,且 imf(x,y)不存在,即f(x,y)在(0.0)点不连续。 34,3+2例2f(x,y)=√x2+y2,这是上半圆锥,显然在(00点连续, limf(x,y)=0=f(0,0) f(x0)-f(0)√x2_|x1 x> l,x<0 故f2(00)不存在。由xy的对称性,f(0)不存在。从而,f(x,y)在(0,0)点不可微(否则, f(00),J,(00)均存在) 21倒3:f(xy) (x+y)sin x2+y2x+y2≠0 f(0)=m(x,0)-f(00)=m、 x 由x,y的对称性,f,(00)=0 f(x,y)-f(0)-fx(00)x-f,(00)y (x+y)sin 0 t y sin 故f(x,y)在(00)点可微。且d(0)=f2(00)x+J,(00d=0 xsin coS x2+y2≠0 f(x,y) 0
精品课程《数学分析》课外训练方案 在上述关系中，反方向均不成立。下面以( , ) (0,0) x0 y0 = 点为例，逐一讨论。 4⇒2 ，4⇒3 例 1： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 这是教材中的典型例题， f x (0,0) = f y (0,0) = 0 均存在，但 f (x, y) 在(0,0) 点不可微，且 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在，即 f (x, y) 在(0,0) 点不连续。 3⇒4 ，3⇒2 例 2： 2 2 f (x, y) = x + y ，这是上半圆锥，显然在(0,0) 点连续， lim ( , ) 0 (0,0) 0 0 f x y f y x = = → → 但 ⎩ ⎨ ⎧ − = = = − 1, 0 ( ,0) (0,0) | | 1, 0 2 x x x x x x x f x f 故 f x (0,0) 不存在。由 x, y 的对称性， 不存在。从而， 在 点不可微（否则， ， 均存在）。 (0,0) y f f (x, y) (0,0) (0,0) x f (0,0) y f 2⇒1 例 3： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + = 0, 0 , 0 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 0 1 sin lim ( ,0) (0,0) (0,0) lim 2 2 0 0 = = − = → → x x x x f x f f x x x ， 由 x, y 的对称性， f y (0,0) = 0 。 2 2 ( , ) (0,0) (0,0) (0,0) x y f x y f f x f y x y + − − − 0 1 sin 1 ( )sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → + = + + + + = x y x y x y x y x y （ ） 0 0 → → y x 故 f (x, y) 在(0,0) 点可微。且 df (0,0) = f x (0,0)dx + f y (0,0)dy = 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + − = + 0, 0 , 0 1 cos 1 2 2 sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x x y x f x y x 3
精品课程《数学分析》课外训练方案 取点列Pn(xn,yn),xn= yn=0,显然Pn(xn,yn)>(0.0)(n→>∞) 2 f2(xn,yn)=-2√2 nZ cOS2nn→>-∞(m→>∞) 故1imf(x,y)不存在,从而Jx(x,y)在(0,0)点不连续。由x,y的对称性,f,(x,y)在(00)点 也不连续。 对一元函数,可微与可导是等价的,即:可微分→可导。但对二元函数,可微与偏导存在并 不等价,即:可微→偏导存在,反之未必。应特别引起注意。 5、 Taylor公式的几种形式 若函数f(x,y)在P(x0,y0)点的某领域内有直到n+1阶连续偏导数,则 (1)f(x,y)=f(x0+x,y+4y)=2(rx+4po )f(xo, yo)+R 其中Rn (Δx+yx)f(xa+Ax,yo+的Ay) (2)为方便,记h=△x,k=△y,则 f(x,y)=f(x0+hy0+k)=∑(h+k。)f(x,y)+R,其中 R ∞.,0y-f(x+m1+) (n+I)! x a (3)f(x,y)=/(o+Ax,yo +y)=I d"f(o, yo)+R 其中Rn=,df(x0+Ax,y+y) (n+1) 、基本方法 1、求复合函数与隐函数的偏导数,关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶 偏导时,尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系,才可能正确使 用链式法则。 2、泰勒展式求极值 三、基本要求
精品课程《数学分析》课外训练方案 取点列 Pn (xn , yn )， nπ xn 2 1 = ， yn = 0 ，显然 Pn (xn , yn ) → (0,0)(n → ∞) ， f (x , y ) = −2 2n cos2n → −∞(n → ∞) x n n π π 故lim ( , ) 不存在，从而 在 点不连续。由 0 0 f x y x y x → → f (x, y) x (0,0) x, y 的对称性， 在 点 也不连续。 f (x, y) y (0,0) 对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微⇔ 可导。但对二元函数，可微与偏导存在并 不等价，即：可微⇒偏导存在，反之未必。应特别引起注意。 5、Taylor 公式的几种形式 若函数 f (x, y) 在 P0 (x0 , y0 ) 点的某领域内有直到 n +1阶连续偏导数，则 （1） n k n k f x y R y y x x k f x y f x x y y + ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = + ∆ + ∆ = ∑ ∆ = ( ) ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( ) ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x x y y y y x x n R n n + ∆ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ ∆ + = + θ θ 。 （2）为方便，记 h = ∆x, k = ∆y ，则 n k n k f x y R y k x h k f x y f x h y k + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + = ∑= ( ) ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 ，其中 ( ) ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x h y k y k x h n R n n +θ +θ ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + 。 （3） n k n k d f x y R k f x y = f x + ∆x y + ∆y = ∑ + = ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 d f x x y y n R n n + ∆ + ∆ + = + θ θ 。 二、基本方法 1、求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶 偏导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系，才可能正确使 用链式法则。 2、泰勒展式求极值。 三、基本要求 4
精品课程《数学分析》课外训练方案 1、会求求复合函数与隐函数的偏导数 2、会展开泰勒展式,并求极值 四、典型例题 例1设v=g(-c为常数,函数g二阶可导,r=√x2+y2+z2,证明 证变量之间的关系为 注意这里g是某变量n的一元函数,而=1-。 Ov av ar a-va-v a a-r 因为 ax ar ax ax ar2 ax ar ax 由x,y,z的对称性得 oy )2+Pb ar az a2r 而 由x,y,z的对称性得 y Cy ay ar a-r 于是02paa2 v av. ar r2.Or、2,,02ro2ra Ov 37 a-v av 2 又因为 g(t g'( a2y 2 2=38(--)+=28(--)+-2g"(t
精品课程《数学分析》课外训练方案 1、会求求复合函数与隐函数的偏导数； 2、会展开泰勒展式，并求极值。 四、典型例题 例 1 设 c c r g t r v ( ), 1 = − 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r = x + y + z ，证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t v z c v y v x v ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 证 变量之间的关系为 ，注意这里 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ t z y x r v g 是某变量u 的一元函数，而 c r u = t − 。 因为 x r r v x v ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x r r v x r r v x v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 由 x, y,z 的对称性得 2 2 2 2 2 2 2 ( ) y r r v y r r v y v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) z r r v z r r v z v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 而 r x x r = ∂ ∂ ， 2 2 2 r x r r x x r ∂ ∂ − = ∂ ∂ 3 2 2 2 2 r r x r r x r − = − = ， 由 x, y,z 的对称性得 r y y r = ∂ ∂ ， = ∂ ∂ 2 2 y r 3 2 2 r r − y ， r z z r = ∂ ∂ ， = ∂ ∂ 2 2 z r 3 2 2 r r − z 。 于是 [( ) ( ) ( ) ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z r y r x r r v z r y r x r r v z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 3 2 2 2 2 2 2 2 3 [( ) ( ) ( ) ] r r r r v r z r y r x r v − ∂ ∂ + + + ∂ ∂ = r r v r v 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = 又因为 ( ) 1 ( ) 1 2 c r g t c cr r g t r r v − − ′ − − = ∂ ∂ ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 3 2 2 2 c r g t c c r r g t c cr r g t r r v = − + ′ − + ′′ − ∂ ∂ 5
精品课程《数学分析》课外训练方案 g(I t a-v av 2 a21 arr.8( 注1在求时,要特别注意一的函数关系仍然是 注2在求C时,注意正确使用导数符号g(-f),不要写成__,也不要写成 O 或。事实上, g(t--) a2v 注3上面的证明简洁清楚,所要求证的微分方程的左边是2+ ,函数V作为自 变量xy,的函数,是由中间变量r=√x2+y2+2复合而成,利用 2+0+② a-r arar 2 我们得到了 av a2y a2v a2y av 2 这样把求ν对自变量x,y,z的偏导数转化为对中间变量r的偏导数,从而使计算简单了。试 a-y ay av 比较直接求2+ 的情形 2g( g(t 3x ar 少g g(t g(t--) C Cr30r8(- g(t--) 2r2 ax lg(t lg(t--)- r
精品课程《数学分析》课外训练方案 ( ) 1 c r g t t r v = ′ − ∂ ∂ ， ( ) 1 2 2 c r g t t r v = ′′ − ∂ ∂ 故 r r v r v 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) 1 2 c r g t c r = ′′ − 2 2 2 1 t v c ∂ ∂ = 。 注 1 在求 2 2 x v ∂ ∂ 时，要特别注意 r v ∂ ∂ 的函数关系仍然是 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ t z y x r r v 注 2 在求 r v ∂ ∂ 时，注意正确使用导数符号 ( ) c r g′ t − ，不要写成 g v ∂ ∂ ( ) c r t g ∂ − ∂ ，也不要写成 ( ) c r t g ∂ − ∂ 或 r g ∂ ∂ 。事实上， = ∂ ∂ r g ( ) 1 c r g t c ′ − − 。 注 3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是 2 2 2 2 2 2 z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ，函数 作为自 变量 v x, y,z 的函数，是由中间变量 2 2 2 r = x + y + z 复合而成，利用 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z r y r x r ， z r r y r x r 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 我们得到了 2 2 2 2 2 2 z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r v r v 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = 。 这样把求v 对自变量 x, y,z 的偏导数转化为对中间变量 r 的偏导数，从而使计算简单了。试 比较直接求 2 2 2 2 2 2 z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 的情形。 x r c r g t x cr r c r g t x r v ∂ ∂ − ′ − ∂ ∂ − − = ∂ ∂ ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) 3 2 c r g t cr x c r g t r x − − ′ − − = ( ) ( ) 3 ( ) 1 2 3 4 3 2 c r g t x r cr x c r g t x r r x c r g t x r v ′ − ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + − = ∂ ∂ ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 3 2 2 c r g t x r c r x c r g t x r cr x c r g t cr ′′ − ∂ ∂ ′ − + ∂ ∂ − ′ − + ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r x r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r x c r g t cr x cr + − + ′ − + ′′ − 6
精品课程《数学分析》课外训练方案 由x,y,z的对称性得 13 3y2 - g(t 1g(--)+[-2+=4lg(--)+ a-v av 1 则ax2oy c38V-5)=13y 例2设u(x,y)的所有二阶偏导数都连续 a2u a2u 2=0,(x,2x)=x,2(x,2x)=x 试求x2(x,2x),ln(x,2x),ll(x,2x)。 证注意1(x,2x)= a =1(x,2x),是u(x,y)对x求偏导数之后,令y=2x所得的 函数,而不是u(x,2x)作为x的一元函数对x的导函数。 在l(x,2x)=x两边对x求导,得 l1(x,2x)+22(x,2x)=1 将l1(x,2x)=x2代入,得 上式两边对x求导,得 l21(x,2x)+2u2(x,2x)=-x 在(x,2x)=x2两边对x求导,得1(x,2x)+2u12(x,2x)=2x 因为l(x,y)有连续的二阶偏导数,则a12(x,2x)=l21(x,2x),又已知l1(x,2x)-l2(x,2x)=0, 将上两式联立解得 12(x2x)=2(x,2x)=x,1(x2x)=l2(x,2)=、早 u(x, 2x)=u(x, 2x)=x, lx(x,2x)=l1(x,2)、4 例3若函数f(x,y,2)对任意正实数t满足关系f(x,,)=t"∫(x,y,),则称f(x,y,z) 为n次奇次函数。设∫(x,y,z)可微,试证明∫(x,y,z)为n次齐次函数的充要条件是 a+,a+:a =nf(x,y,=) 7
精品课程《数学分析》课外训练方案 由 x, y,z 的对称性得 2 2 y v ∂ ∂ ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r y r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r y c r g t cr y cr + − + ′ − + ′′ − 2 2 z v ∂ ∂ ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r z r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r z c r g t cr z cr + − + ′ − + ′′ − 则 2 2 2 2 2 2 z v y v x v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) 1 2 c r g t c r = ′′ − 2 2 2 1 t v c ∂ ∂ = 。 例 2 设u(x, y) 的所有二阶偏导数都连续， 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ y u x u ， u(x,2x) = x ， 2 u (x,2x) x x = 试求uxx (x,2x)，uxy (x,2x) ，uyy (x,2x) 。 证 注意 | 2 ( ,2 ) y x x x u u x x = ∂ ∂ = ( ,2 ) 1 = u x x ，是 对 求偏导数之后，令 所得的 函数，而不是 作为 的一元函数对 的导函数。 u(x, y) x y = 2x u(x,2x) x x 在 u(x,2x) = x 两边对 x 求导，得 ( ,2 ) 2 ( ,2 ) 1 u1 x x + u2 x x = 将 代入，得 2 1 u (x,2x) = x 2 2u2 (x,2x) = 1− x 上式两边对 x 求导，得 u (x,2x) + 2u (x,2x) = −x 21 22 在 两边对 求导，得 2 1 u (x,2x) = x x u (x,2x) 2u (x,2x) 2x 11 + 12 = 因为u(x, y) 有连续的二阶偏导数，则 ( ,2 ) ( ,2 ) 12 21 u x x = u x x ，又已知 ( ,2 ) ( ,2 ) 0 u11 x x − u22 x x = ， 将上两式联立解得 u x x u x x x 3 5 ( ,2 ) ( ,2 ) 12 = 21 = ， u x x u x x x 3 4 ( ,2 ) ( ,2 ) 11 = 22 = − 。 即 u x x u x x x xy yx 3 5 ( ,2 ) = ( ,2 ) = ， u x x u x x x xx yy 3 4 ( ,2 ) = ( ,2 ) = − 。 例 3 若函数 对任意正实数t 满足关系 ，则称 为 次奇次函数。设 可微，试证明 为 次齐次函数的充要条件是 f (x, y,z) f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = f (x, y,z) n f (x, y,z) f (x, y,z) n nf (x, y,z) z f z y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 7
精品课程《数学分析》课外训练方案 f(tr, ty, t) )=(x,0)+yf(xy)+子(x,9,)-nf(x=0 故G(m)与t无关,从而G(t)=G(1)=f(x,y,),即 f(ax, ty, t)=t"f(x,y, 3) "→"方程∫(x,,)=tf(x,y,z)两边分别对x,y,z,t求导,得 y,(Er, ty, t)=t'f(x,y,=) v2(x,y)=1"f,(x,y,2), J3(x,0,)=t"∫2(x,y,=), x+yf2+/5=m(x,y,2), 将前面三式代入第四式即得 +,+f nf(x,y, =) 或在上面四式中令t=1,得 f=fx,f2=f,f3=J2,+y2+/3=nf(x,y,=) +,y+9 nf(x,y,=) 例4设l= x+yv= x-y ze,变换方程 (假设出现的导数都连续)。 解这里既有自变量的变换∥≈x+y,22,也有函数的变换=ze。自变量由原 y 来的x,y变换为u,v,函数由原来的z变换为W。为了把原来的函数z(x,y)变换为函数 =v(u,v),可以把原来的函数z(x,y)视为如下的复合 x+y
精品课程《数学分析》课外训练方案 证 "⇐" 令 n t f tx ty tz G t ( , , ) ( ) = ，则 0 [ ( , , ) ( , , ) ( , , )] ( , , ) ( ) 1 1 2 3 = + + − ′ = n+ t xf tx ty tz yf tx ty tz zf tx ty tz t nf tx ty tz G t ， 故G(t) 与t 无关，从而G(t) = G(1) = f (x, y,z) ，即 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = "⇒" 方程 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) 两边分别对 n = x, y,z,t 求导，得 tf1 (tx,ty,tz) = t n f x (x, y,z) ， ( , , ) ( , , ) 2 tf tx ty tz t f x y z y n = ， ( , , ) ( , , ) 3 tf tx ty tz t f x y z z n = ， xf1 + yf 2 + zf 3 = nt n−1 f (x, y,z) ， 将前面三式代入第四式即得 nf (x, y,z) z f z y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 或在上面四式中令t = 1，得 x f = f 1 ， f 2 = f y ， z f = f 3 ， ( , , ) 1 2 3 xf + yf + zf = nf x y z 即 nf (x, y,z) z f z y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 例 4 设 2 x y u + = ， 2 x y v − = ， w = ze y ，变换方程 z x z x y z x z = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 （假设出现的导数都连续）。 解 这里既有自变量的变换 2 x y u + = ， 2 x y v − = ，也有函数的变换 。自变量由原 来的 y w = ze x, y 变换为 ，函数由原来的 变换为 。为了把原来的函数 变换为函数 ，可以把原来的函数 视为如下的复合 u, v z w z(x, y) w = w(u, v) z(x, y) z = we − y ， w = w(u, v) ， 2 x y u + = ， 2 x y v − = 8
精品课程《数学分析》课外训练方案 l 则 au ax ay ax 2 c1.a-w au a-wa ax auay axax 0y 2 ax 4 au2 a a=1.a-w au a-w au av a-w av. 1 Oxo 102va2w.1 waw 故 +==e ax away ax out aw a21 21 例5设F(x+=,y+)=0,求d2=,=x,=y,n 证方程F(x+z,y+)=0确定了函数(x,y),在方程两边求微分,得 (dx +d=F+(dy+d)F,=0 dz (Fdx Fdy F1+F2 两边再求微分,得Fd2+[(a+dF1+(dy+d)F12l(ax+dz) +F2d2z+[x+d)F21+(d+d)F2](d+d)=0 解得d [F1ax2+F2dy2+(F1+2F12+F2) +2Frdxdy+ 2((F2+ F2 )dy+(Fu+ F2udx]de (Fdx+ Fdy) F1+F2 [Fudx+Fody +(F+2F
精品课程《数学分析》课外训练方案 即 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ y y x v y x u w z 则 [ ] 2 1 [ ] v w u w e x v v w x u u w e x z y y ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − − [ ( ) ] 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x v v w x v x u u v w x u u w e x z y ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − [ 2 ] 4 1 2 2 2 2 2 v w u v w u w e y ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − [ ( ) ] 2 1 2 2 2 2 2 2 y v v w y v y u u v w y u u w e x y z y ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ − [ ] 2 1 v w u w e y ∂ ∂ + ∂ ∂ − − [ ] 4 1 2 2 2 2 v w u w e y ∂ ∂ − ∂ ∂ = − [ ] 2 1 v w u w e y ∂ ∂ + ∂ ∂ − − 故 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ x z x y z x z 2 2 2 z u v w u w e y = ∂ ∂ ∂ + ∂ − ∂ [ ] 2 1 2 2 2 即 w u v w u w 2 2 2 2 = ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ 例 5 设 F(x + z, y + z) = 0 ，求 d z,z xx ,z xy ,z yy 。 2 证 方程 F(x + z, y + z) = 0 确定了函数 z(x, y)，在方程两边求微分，得 ( ) ( ) 0 dx + dz F1 + dy + dz F2 = ⇒ ( ) 1 1 2 1 2 F dx F dy F F dz + + − = 两边再求微分，得 F d z + 2 1 [( ) ( ) ]( ) 11 12 dx + dz F + dy + dz F dx + dz + F d z + 2 2 [( ) ( ) ]( ) 0 dx + dz F21 + dy + dz F22 dy + dz = 解得 2 11 12 22 2 22 2 11 1 2 2 [ ( 2 ) 1 F dx F dy F F F dz F F d z + + + + + − = 2F dxdy 2[(F F )dy (F F )dx]dz + 12 + 12 + 22 + 11 + 21 [ ( 2 ) 1 11 12 22 2 22 2 11 1 2 F dx F dy F F F F F + + + + + − = 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) F F F dx F dy + + 9
精品课程《数学分析》课外训练方案 +2F12dxdy-2(F12+F2)+(F1+F21)x Fdx+ f,dy F+E (F1 2F(F1+F2),F2(F1+2F2+F2) F1 F1+F2 (F1+F2)2 2F2(F2+F2),F2(F1+2F2+F2 F1+F2 (F1+F2)2 +2(F F(F2+F2)+F(F1+F2)+(F1+2F2+F2)FF F+F (F1+F2)2 F1(F1+F21),F2(F1+2F2+F2) F1+F2 F+F (F1+F2)2 -1 2F2(F2+F2),F2(F1+2F2+F2 F1+F2 F1+F2)2 2 F F(F12+F2)+F2(F1+F21),(F1+2F2+F2)F1F2 F1+ F 1+ F F+F )2 例6设函数∫(x,y)有直到n阶连续偏导数,试证u(1)=f(a+ht,b+kt)的n阶导数 ()=(h2+k)f(a+h,b+k) 证对n用数学归纳法。n=1时,显然a(1)=(h+kx)f(a+ht,b+kt) 设u)(t)=(h+kx)”f(a+h,b+kt),则 m(t)=[(h-+k)f(a+h,b+k)] f(a+ ht, b+kt) Cuhk[h (a+ ht, b+ kr)+k f(a+ht, b+kr) nhk+ a" r Ov-i+r f(a+ht, b+k)+2Cih'km-i+lam+ ax -i+ f(a+ht, b+kt)
精品课程《数学分析》课外训练方案 2 2[( ) ( ) ] 12 12 22 11 21 + F dxdy − F + F dy + F + F dx 1 2 1 2 F F F dx F dy + + 2 2 1 2 11 12 22 2 1 1 2 1 11 21 11 1 2 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) [( 1 dx F F F F F F F F F F F F F F + + + + + + − + − = + + + + + + + + − 2 2 1 2 11 12 22 2 2 1 2 2 12 22 22 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) ( dy F F F F F F F F F F F F ) ] ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 2( 2 1 2 11 12 22 1 2 1 2 1 12 22 2 11 21 12 dxdy F F F F F F F F F F F F F F F F + + + + + + + + + − 故 ] ( ) 2 ( ) ( 2 ) [ 1 2 1 2 11 12 22 2 1 1 2 1 11 21 11 1 2 F F F F F F F F F F F F F F z xx + + + + + + − + − = ] ( ) 2 ( ) ( 2 ) [ 1 2 1 2 11 12 22 2 2 1 2 2 12 22 22 1 2 F F F F F F F F F F F F F F z yy + + + + + + − + − = ] ( ) ( ) ( ) ( 2 ) [ 2 2 1 2 11 12 22 1 2 1 2 1 12 22 2 11 21 12 1 F F F F F F F F F F F F F F F F F F z xy + + + + + + + + − + − = 例 6 设函数 f (x, y) 有直到 n 阶连续偏导数，试证u(t) = f (a + ht,b + kt) 的 n 阶导数 ( ) ( ) ( , ) ( ) f a ht b kt y k x u t h n n + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 。 证 对n 用数学归纳法。 n = 1时，显然 ( ) ( ) f (a ht,b kt) y k x u t h + + ∂ ∂ + ∂ ∂ ′ = 设 ( ) ( ) ( , ) ( ) f a ht b kt y k x u t h n n + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ，则 ( ) [( ) ( , )] ( 1) f a ht b kt y k x h dt d u t n n + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ( , ) 0 f a ht b kt x y C h k dt d i n i n n i i i n i n + + ∂ ∂ ∂ = − = − ∑ [ ( , ) ( , )] 1 1 1 1 0 f a ht b kt x y f a ht b kt k x y C h k h i n i n i n i n n i i i n i n + + ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ = − + + + − + = − ∑ ( , ) ( , ) 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 f a ht b kt x y f a ht b kt C h k x y C h k i n i n n i i i n i i n i n n n i i i n i n + + ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ = − + + = − + − + + + = − − + ∑ ∑ 10
