§1连续性概念 第四章函数的连续性 S1连续性概念 1.按定义证明下列函数在其定义域内连续 (1)f(x)=1(2)r(x)=|x1 证:(1)f(x)=1的定义域为D=(-∞,0)U(0,+∞) 当 ∈D时,有 11 二x 由三角不等式可得:x1≥!x01-1x-x01,故 当1x-x010,则8<1xo1 当x∈D 1<8时,有 1f(x)-f(xo)|= 0 可见∫(x)在x0连续 由x0的任意性知:f(x)在其定义域内连续 (2)f(x)=1x1的定义域为(-∞,+∞),对任何 x0∈(-∞,+∞),由于,1x1-1x0≤|x-xo 从而对任给正数e,取8=e,当1x-x01<8时,有 f(x)-f(x0)|=| 故∫(x)在x连续,由x0的任意性知,f(x)在(-∞,+∞)连续
第四章函数的连续性 2.指出下列函数的间断点并说明其类型 (1)f(x)=x+1(2)f(x)= (3)f(x)=[|csx1](4)f(x)=sgn|x (5)f(z)=sgn(oosr)(6)f(z) x,x为有理数 -x,x为无理数 x+7 ∞<x< (7)f(x)=1x (x-1)nx1,1<x<+o 解(1)f(x)在x=0间断由于imn(+1)不存在,故x=0 是∫(x)的第二类间断点 (2)f(x)在x=0间断由于imf(x)=imx=1 r0 imnf(x)=lm班=-1,故x=0是f(x)的跳跃间断点 (3)f(x)在x=nr间断,(n=0,±1,±2,…)由于 lim f(r)=lim [I cosz 1]=0, lim f(r)=lim [I oos. 1]=0 故x=nr是f(x)的可去间断点(n=0,±1,±2,…) (4)f(x)在x=0间断由于limf(x)= lim sgn|xl=-1, imf(x)= lim sgn|xl=1,故x=0是f(x)的可去间断点 (5)f(x)在x=2kx±2(k=0,±1,±2,…)间断由于 lim f(x)=1, lim f(x)=1 吧,f(x)=1,.f(x)=-1 故x=2kx±2(k=0,士1,±2,)是f(x)的跳跃间断点
§1连续性概念 (6)f(x)在x≠0的点间断且若x0≠0,则limf(x)不存在 故x≠0是∫(x)的第二类间断点 (7)f(x)在x=-7,x=1间断且imf(x)=-7,limf(x) 不存在,故x=-7是f(x)的第二类间断点又因 lim f(x)=lim(x-1) 0, lim f(z)=1 故x=0是f(x)的跳跃间断点 3.延拓下列函数,使其在R上连续 (1)f(x)= (2)f(x) COST (3)f(z)=Icos x 解(1)当x=2时,f(x)没有定义而 im(x21+2x+4)=12于是函数 z-8,x≠2 F(r) 是f(x)的延拓,且在(-∞,+∞)上连续 12,x=2 (2)当x=0时,(x)没有定义,而lm(x)=lm1gx= 于是函数 sx,x≠0 F(x)= 是f(x)的延拓,且在(-∞,+∞)上连续 (3)当x=0时,f(x)没有定义,而lmf(x) 0于 是函数 F(x) 是f(x)的延拓,且在(-∞,+∞)上连续 ≠ 0 4.证明:若f在x0连续,则1f1与产2也在点x0连续又问:若 1f1或严在I上连续,那么∫在I上是否必连续
第四章函数的连续性 证:(1)若f在x0连续,则1f|与严也在x0连续 (1)1∫|在x0连续事实上,由于∫(x)在x0连续,从而对任给 正数e,存在正数8当|x-x010及81>0使当|x-x01<81时,有 f(x)<2①,由连续的定义知:对任给正数e,存在正数82 当|x-x0<a2时,有1f(x)-f(x)<M②现 6=min{1,2},则当1x-x01<δ时,①与②同时成立,因此 1f2(x)-f(xo)l=lf(x)-f(xo)|·lf(x)+f(x0) <I f(r)-f(co)I(I f(x)1+l f(ro)1)<e 故产2在x0连续 (2)逆命题不成立,例如设f(x)= 1,x为有理数 1,x为无理数 则f1,严均为常函数故是连续函数但f(x)在(-∞,+∞)中 的任一点都不连续 5设当x≠0时f(x)≡g(x),而f(0)≠g(0)证明:f与g两 者中至多一个在x=0连续 证:(反证)假设f(x)与g(x)均在x=0连续,则 imf(x)=f(0),ling(x)=g(0)又因x≠0时,f(x)≡g(x) 于是limf(x)=limg(x)从而f(0)=g(0),这与f(0)≠g(0)相矛 盾故∫与g至多有一个在x=0处连续 6设f为区间I上的单调函数证明:若x0∈I为f的间断点,则 x0必是f的第一类间断点 证不妨设∫为区间Ⅰ上的递增函数于是当x∈I且x<x0时, f(x)<∫(x0).从而由函数极限的单调有界定理可知:f(x0-0)存
1连续性概念 在且f(x0-0)=limf(x)≤f(xo) 同理可证f(x0+0)存在且f(x0+0)=limf(x)≥f(xo) 因此,x0是∫(x)的第一类间断点 7.设函数∫只有可去间断点,定义g(x)=lm(y)证明g为连 续函数 证设∫的定义域为区间I,则g(x)在I上处处有定义(因∫只 有可去间断点,从而极限处处存在)任取x0∈I,下证g(x)在x0连 续由于g(x0)=limf(y)且g(x)=limf(y)(x∈I),从而对任给正 数e,存在正数8,当0<1y-x01<8时,有 :(zo)-2<f(y)<g(zo)+2 任取x∈U"(x0,8),则必存在U(x,)CU"(xo6)于是当 y∈U(x,n)时,(1)成立.由极限的不等式性质知 g(x0)-号≤g(x)=lm(y)≤g(x0)+5 因此当x∈U(x0,8)时,有1g(x)-g(x0)1<e故g(x)在x0处 连续 8.设f为R上的单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明g在R上 每一点都右连续 证由于∫为(-∞,+∞)上单调函数,故∫只有第一类间断点 故右极限处处存在于是g(x)处处有定义,任取x0∈(-∞,+∞) 下证g在x0右连续.由于g(x0)=f(xo+0)=limf(y) 且g(x)=limf(y)(-∞<x<∞),从而对任给正数ε, 存在正数8,当0<x-x0<δ时,有 g(x0)-2<f(y)<E(x)+2(1) 任取x∈U°(x0,8),则必存在U+(x,y)CU+(x0,δ).于是
第四章函数的连续性 当y∈U+“(x,y)时,(1)成立由极限不等式性质知 g(x0)-2≤g(x)=mf(y)≤g(x0)+ 因此当x∈U+‘(x0,δ)时,有1g(x)-g(xo)|<e, 故g(x)在x0处右连续 9.举出定义在[0,1]上符合下述要求的函数 )只在2和4三点不连续的函数 (2)只在号,和三点连续的函数 (3)只在(n=1,2,3,…)上间断的函数; (4)只在x=0右连续,而在其他点都不连续的函数 解(1)f(x) 0,x是[0,1]中有理数 ()Xx)=1(x-1(x-23x-2),是0,]中无理数 (3)f(x)=[1 (4)f(x) x,x是[0,1]中无理数 x,x是[0,1]中有理数 §2连续函数的性质 1.讨论复合函数fg与gof的连续性,设 (1)f(x)=snx,g(x)=1+x2 (2)f(x)=sgnx,g(x)=(1-x2)x 解(1)由于f(x)=x,g(x)=1+x2,故(fg)x)=g(1+x2)=1 是连续函数.又因为 (g可)(x)=,2≠0 因此,x=0是gof的可去间断点,其余点处处连续
82连续函数的性质 (2)由于f(x)=sgx,g(x)=(1-x2)x,于是(gof)(x)≡0, 可见gof处处连续.因为 1,x∈(-∞,-1)U(0,1) (fg)(x)={0,x=-1,0,1 1,x∈(-1,0)U(1,+∞) 故x=-1,0,1是fg跳跃间断点 2.设∫,g在点x0连续,证明 (1)若f(x)>g(x0),则存在U(x,8),使在其内有∫(x)>g(x) (2)若在某U(x0)内有f(x)>g(x),则f(x0)≥g(x0) 证(1)由于f(x0)>g(x0),从而ef(x)-6(x)0,因 ∫在x连续,于是limf(x)=f(xo).因此,存在正数81,使得当 Ix-xo1(x)+g(z2)(1) 又因g在x0连续,从而存在正数a2,当|x-x0|g(x),x∈U(x0,8) (2)假设命题不真,从而f(x0)g(x)矛盾,故f(x0)≥g(x0) 3.设fg在区间Ⅰ上连续,记F(x)=maxf(x),g(x)} G(x)=minf(x),g(x)证明F和G也都在I上连续 提示:利用第一章总练习题1 证:由F(x)=1f(x)+g(x)+1f(x)-g(x)} G(x)=[f(x)+g(x)-1f(x)-g(x)1
第四章函数的连续性 又由,若f(x)在I上连续∴h(x)=1f(x)在I上也连续 由∫(x),g(x)在I上连续所以,F(x),G(x)在I上连续 4.设f为R上连续函数常数c>0,记 c,若f(x)c 证明F在R上连续 提示:F(x)=max{-c, minic,f(x) 证明因为F(x)=c+f(x)|-1c-f(z)l 由题设,f(x)在R上连续.从而!f(x)±c|在R上连续 所以F(x)在R上连续 5设八(x)=smx,g(x)={x-x,x≤0 证明:复合函数∫q x+π,x>0 在x=0连续,但g在x=0不连续 x-x,x≤0 证由于f(x)=sinx,g(x)= >0 sin(x-),x≤0 于是f(g(x)= n(x+x),x>0 mf(g(r))=lim sin(x-x)=0 lim fog(x)= lim sin(x+r)=o fog(0)=0 #h lim fog(z)=lim fog(x)=f og(0) 从而∫g(x)在x=0连续 1E lim g(x)=lim(r+r)=r, lim g(r)=lim(r-r)=-x r+o 于是x=0是g的跳跃间断点,从而g在x=0不连续 6.设∫在[a,+∞)上连续,且limf(x)存在.证明:f在 [a,+∞)上有界,又问f在[a,+∞)上必有最大值或最小值吗? 证由于imf(x)存在,不妨记limf(x)=A,对∈=1,存在正数
第四章函数的连续性 证假设f(x)在[a,b]上不恒为正且不恒为负,则必存在 x1,x2∈[a,b]使f(x1)与f(x2)异号,不妨设x10, f(x2)0,由于f(x)在Ⅰ上一致收敛,故彐81>0对任意 x,x∈只要|x-x0,对任意x’,x"∈I,只要 1x-x"10, x在[0,a]上连续,故在[0,a]上一致连续,所以对任给的e>0,总 彐81>0对[0,a]中的任意x1,x2,当|x1-x21<81时有
第四章函数的连续性 证假设f(x)在[a,b]上不恒为正且不恒为负,则必存在 x1,x2∈[a,b]使f(x1)与f(x2)异号,不妨设x10, f(x2)0,由于f(x)在Ⅰ上一致收敛,故彐81>0对任意 x,x∈只要|x-x0,对任意x’,x"∈I,只要 1x-x"10, x在[0,a]上连续,故在[0,a]上一致连续,所以对任给的e>0,总 彐81>0对[0,a]中的任意x1,x2,当|x1-x21<81时有
