《线性代数》第二章 矩阵

第二章 矩阵 上页 下页

上页 下页 第二章 矩 阵

§1矩阵的定义 定义1给出mxn个数排成m行m列的矩形数表 21 nt m2 m1 此数表叫做m行n列矩阵,简称mxn矩阵 记为 In 亦记为4=(a) n19 21 2n 或A=(an或4 上页 m2 下页

上页 下页 §1 矩阵的定义 定义1 给出mn个数,排成m行n列的矩形数表             m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 此数表叫做m行n列矩阵,简称mn矩阵。 记为             = m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 亦记为A=(aij) mn, 或A=(aij)或A=Amn

如果矩阵A的元素a全为实(复)数就称4为实(复)数矩阵 只有一行的矩阵A=(ara2….an)叫做行矩阵, 行矩阵也记作A=(a1,a2….,an) 只有一列的矩阵 b b B 叫做列矩阵 两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩阵。 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O 上页 下页

上页 下页 如果矩阵A的元素aij全为实(复)数,就称A为实(复)数矩阵。 只有一行的矩阵A=(a1 a2 ... an )叫做行矩阵, 行矩阵也记作A=(a1 ,a2 ,... ,an )。 只有一列的矩阵             = bm b b B  2 1 叫做列矩阵。 两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩阵。 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O

方阵 0 0 01 E 00 叫做m阶单位阵,简记作En 特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上的元素都 是1,其他元素都是0 上页 下页

上页 下页 方阵             = 0 0 1 0 1 0 1 0 0       En 叫做n阶单位阵,简记作En 。 特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上的元素都 是1,其他元素都是0

如变量12灬,n可由变量x1x2y.xn线性表示,即 y1=a1X1+a12x2+…+a1nn X,+aar, +...+a,x x1+,x+…+x 称由变量x1,x2,…xn到变量y12,…n的变换 为线性变换。 它的系数构成一矩阵(a)mxn(称为系数矩阵)是确定的 上页 下页

上页 下页 如变量y1 ,y2 ,... ,yn可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,即        = + + + = + + + = + + + . , , 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x     称由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的变换 为线性变换。 它的系数构成一矩阵(aij) m  n (称为系数矩阵)是确定的

例线性变换「y1=1x1, 对应n阶矩阵 110 0 0 这个方阵的特点:不在对角线上的元素全为0,这种方 阵称为对角阵,当礼1=2=…=n=时,称为数量矩阵 页 下页

上页 下页 例 线性变换        = = = . , , 2 2 2 1 1 1 n n n y x y x y x     对应n阶矩阵             = n A          0 0 0 0 0 0 2 1 这个方阵的特点:不在对角线上的元素全为0,这种方 阵称为对角阵,当1 =2 = ...=n =时,A称为数量矩阵

§2矩阵的运算 矩阵的加法 定义2设有两个m×m矩阵A=(a),B=(b,那么A与B的 和记为A+B,规定为 a1+b1a12+b12 an+b a21+b 21 2, 2 22 a+b am+ b. a2+bn2…am+bm 注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。 加法满足运算规律: (1)A+B=B+A (交换律) 上页 (2)(4+B)+C=A+(B+C) (结合律) 下页

上页 下页 §2 矩阵的运算 一. 矩阵的加法 定义2 设有两个mn矩阵A=(aij), B=(bij),那么A与B的 和记为A+B,规定为             + + + + + + + + + m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b       1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。 加法满足运算规律: (1) A+B= B + A; (交换律) (2) (A + B)+C= A +(B +C) . (结合律)

二.数与矩阵相乘 定义3数4与矩阵A的乘积记做λA,规定为 12 2A 21 22 1 数乘矩阵满足运算规律: (1)(xA)A=A(4) (2)(+p)4=a4+H (3)a(4+B)=4+AB 上页 下页

上页 下页 二. 数与矩阵相乘 定义3 数与矩阵A的乘积记做A,规定为             = m m mn n n a a a a a a a a a A                 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 数乘矩阵满足运算规律: (1)( )A = (A) (2)( + )A = A+ A (3)(A+ B) = A+ B

设矩阵A=a记4=(-1)4=(-1an)(an,-4称为的 负矩阵,显然有 A+(4)=O. 其中O为各元素均为0的同型矩阵, 由此规定A-B=A+(-B 上页 下页

上页 下页 设矩阵A=(aij),记-A =(-1)A=(-1aij)= (-aij), -A称为A的 负矩阵,显然有 A+(-A)=O. 其中O为各元素均为0的同型矩阵, 由此规定 A-B=A+(-B)

矩阵与矩阵相乘 定义4设A=(an)mx,B=(b)x那么规定矩阵A与B的 乘积是C=(ci)mxm 其中Ccn n1b1;+a202j ++a.b ∑ ikki k=1 并把此乘积记作C=AB 「bn,1 矩阵相和1,y…,an1 行矩阵与列 a 1ji22j ∴ b 注意:只有当第一矩阵(左矩阵)的列数与第二矩陈 (右矩阵)的行数相等时,两个矩阵才能相乘 下页

上页 下页 三. 矩阵与矩阵相乘 定义4 设A=(aij) ms ,B=(bij) sn那么规定矩阵A与B的 乘积是C=(cij) m  n , 其中 = = + + + = s k i j ai b j ai b j ai sbs j ai kbk j c 1 1 1 2 2  并把此乘积记作C=AB。 行矩阵与列 矩阵相乘  , , ,  ( ) 1 1 2 2 2 1 1 2 i j i j i s s j s j j j i i i s a b a b a b b b b a a a    = + +               注意：只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵 （右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘