第十一节欧拉方程 欧拉方程 四二、小结
庄一欧拉方程 形如 x"yn+px"-y(n- +. +Pxy'+p,y=f(x) 的方程(其中P1,P2P为常数)叫欧拉方程 特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同. 中解法:欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变 牛量代换可化为常系数微分方程 上页
解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程. 一、欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y pn xy pn y f x n n n n + + + − + = − − 的方程(其中 p1 p2 pn , 形如 为常数) 叫欧拉方程. 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同．
作变量变换x=e或t=lnx, 将自变量换为t, dy dy dt 1 dy d x dt dx x dt dy1(d'y dy dx2 x2 dt2 dt d'ye 2 +2 y dx' x dt dy-32 dt 上页
作变量变换 x e t ln x, t = 或 = , 1 dt dy dx x dt dt dy dx dy = = , 1 2 2 2 2 2 = − dt dy dt d y dx x d y 将自变量换为 t, 3 2 , 1 2 2 3 3 3 3 3 = − + dt dy dt d y dt d y dx x d y
用D表示对自变量求导的运算m 上述结果可以写为 xy= Dy, 4(0=80-0_!x d y dy d+2的 dt =(D-3D2+2D)y=D(D-1)(D-2)J, 上页
用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt d 上述结果可以写为 xy = Dy, ( ) ( 1) , 2 2 2 2 D D y D D y dt dy dt d y x y = − = − = − ( 3 2 ) ( 1)( 2) , 3 2 3 2 2 2 3 3 3 D D D y D D D y dt dy dt d y dt d y x y = − + = − − = − +
般地,x2y14)=D(D-1)…(D-k+1)y 将上式代入欧拉方程,则化为以t为自变量 的常系数线性微分方程求出这个方程的解后, 丰把换为mx即得到原方超的解 c例求欧拉方程 工工 x3y"+x2y-4xy’=3x2的通解 解作变量变换x=e或t=lnx, 上页
( 1) ( 1) . ( ) x y D D D k y k k = − − + 将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量 的常系数线性微分方程. 求出这个方程的解后， 把 t 换为 ln x ，即得到原方程的解. 一般地， 例 求欧拉方程 3 2 2 x y + x y − 4xy = 3x 的通解． 解 作变量变换 x e t ln x, t = 或 =
原方程化为 D(D-1(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e", 即D3y-2D2y-3Dy=3e, 或 dy-2dy+3"=3e2 dt dt 方程(1)所对应的齐次方程为 dady x3 2 =0 dt dt dt 其特征方程r3-2r2-3r=0, 上页
原方程化为 ( 1)( 2) ( 1) 4 3 , 2t D D − D − y + D D − y − Dy = e 即 2 3 3 , 3 2 2t D y − D y − Dy = e 或 2 3 3 . 2 2 2 3 3 t e dt dy dt d y dt d y − + = (1) 方程(1)所对应的齐次方程为 2 3 0, 2 2 3 3 − + = dt dy dt d y dt d y 其特征方程 2 3 0, 3 2 r − r − r =
特征方程的根为r=0,r1=-1,r=3 所以齐次方程的通解为 Y=C+C 3t 2 e to e 3 C1+2+C 1 3 设特解为y=b 2 e =bt 3 代入原方程,得b 即 2 2 王所给欧拉方程的通解为=C++Cx-1x 上页
特征方程的根为 0, 1, 3. r1 = r2 = − r3 = 所以齐次方程的通解为 t t Y C C e C e 3 = 1 + 2 + 3 − 设特解为 , 2 2 y be bx t = = 代入原方程，得 . 2 1 b = − 所给欧拉方程的通解为 . 2 3 1 2 3 2 1 C x x x C y = C + + − , 2 2 x y = − 即 . 3 3 2 1 C x x C = C + +
二、小结 欧拉方程解法思路 变系数的线变量代换 常系数的线 性微分方程 x=e或t=lnx 性微分方程 注意:欧拉方程的形式 上页
二、小结 欧拉方程解法思路 变系数的线 性微分方程 常系数的线 性微分方程 变量代换 注意：欧拉方程的形式． x e t x t = 或 = ln
练习题 求下列欧拉方程的通解: 1.x2y"+xy-y=0; 2. xy"2xy+2y=In x-2In x; 3. x"-3xy+4y=x+x Inx 工工工 上页
练 习 题 3 3 4 ln . 2 2 2 ln 2ln ; 1 0; 2 2 2 2 2 x y xy y x x x x y xy y x x x y xy y − + = + − + = − + − = ． ． ． 求下列欧拉方程的通解：
练习题答案 1.y=C1+2 2. y=Cx+C2x +(n x+In x)+ 2 4 3. y=Cx+Cx Inx+x+-x In'x 工工工 上页
练习题答案 ln . 6 1 3 ln . 4 1 (ln ln ) 2 1 2 1 . 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 2 1 y C x C x x x x x y C x C x x x x C y C = + + + = + + + + = + ． ． ．