黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章（10.6）高斯（Gauss）公式通量与散度

第六节高斯( Gauss)公式 通量与散度 高斯公式 巴二、简单的应用 四三、物理意义一通量与散度 巴四、小结思考题 回

王一高斯公式 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有 一阶连续偏导数,则有公式 牛。++地h:=pb+Qh+R Q ax ay a z 士 或改 aP a0 OR az H(P cos a+@ cosB+Cosy )dS 反回

设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、R( x, y,z)在上具有 一阶连续偏导数, 则有公式                dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一 、高 斯 公 式 P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( )                   或

这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, 黑cosa,cos月,cosy是∑上点(x,y,处的法向 量的方向余弦 证明设闭区域g在面xO 上的投影区域为Dx 2 ∑由∑,Σ2和∑3三部分组成 ∑ 1: 了=x1(x,y) J Σ2=2(x,y) 0 ∑为柱面上的一部分 反回

这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos  ,cos 是上点( x, y,z)处的法向 量的方向余弦. 证明 设闭区域在面xoy 上的投影区域为Dxy . x y z o 由1 ,2 和3 三部分组成, ( , ) 1 : 1  z  z x y ( , ) 2 : 2  z  z x y  1 2 3 Dxy 3为柱面上的一部分．

这里x1(x,y)≤z2(x,y),Σ取下侧,Σ2取上侧, Σ3取外侧 根据三重积分的计算法 OR =』 2(x,DOR dz jody z Gi(x,y) D z =∫Rx,y,x(x,y)-x,y,x1(x,)at小 根据曲面积分的计算法 R(x,,a)dxdy=-JRLx,y, (x, D)ldxdy, D 反回

根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dv z R Dxy z x y   z x y       { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} .   2  1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1      Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy 这里 ( , ) ( , ) 1 2 z x y  z x y ，1 取下侧, 2 取上侧, 3 取外侧．

R(x, y, z )dxdy=R[x,y, z2(x, y)]dxdy, D R(x,y,孔dcdy=0 于是』R(x,y,)d ∑ JJIRLx,3,2(x,D1-R[x,3, z,(x,y)l)dxdy, D Q2 OZ 反回

( , , ) [ , , ( , )] , 2 2     Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} ,   2  1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy   于是 R(x, y,z)dxdy ( , , ) 0. 3    R x y z dxdy ( , , ) .         dv R x y z dxdy z R

∫ aP 同理 dv=H P(x,y, z)dydz, Q ax ∑ ∑ 和并以上三式得 aP 00 aR cdy +a+o)dv=i Prydz+odzdx+rdx ax ay az ∑ 高斯公式 反回

( , , ) ,        dv P x y z dydz x P 同理 ( , , ) ,        dv Q x y z dzdx y Q                dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) ------------------高斯公式 和并以上三式得：

由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另 王种形式 王+2+m I(P cosa+2cos B+Rcosr)dS. ∑ 士 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 反回

Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( )                P Q R dS dv z R y Q x P    由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一 种形式：

生三、简单的应用 例1计算曲面积分 ∫ x-y)dxdy +(y-z)xdydz ∑ 其中∑为柱面x+y2=1及平 面=0,3=3所围成的空间闭 王区域2的整个边界曲面的外侧 y 上解P=(y-z)x,g=0,x R=x-y, 反回

二、简单的应用 例1 计算曲面积分 (x  y)dxdy  ( y  z)xdydz 其中Σ为柱面 1 2 2 x  y  及平 面z  0,z  3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧.x oz y 1 13 解 , ( ) , 0, R x y P y z x Q     

P 00 OR =0 =0, ax =y- ay az 原式=小(-)dh TTT(sin 0-z)rdrdedz 1 y de f 2 dr.r(sin 8-z)rdz 0 9兀 2 反回

, 0,  0,       zR yQ y z xP  原式  ( y  z)dxdydz   (rsin  z)rdrddz . 29   x oz y 1 13         30 10 20 d dr r(sin z)rdz

使用Guas公式时应注意 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数 2.是否满足高斯公式的条件 3.∑是取闭曲面的外侧 反回

使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧